Định nghĩa 3 (T - chuẩn): Hàm T: [0,1]2 → [0,1] là một T - chuẩn (phép hội) khi và chỉ khi thoả mãn các điều kiện sau:
1. T(1, x) = x, với mọi 0 ≤ x ≤ 1.
2. T có tính giao hoán : T(x,y) = T(y,x), với mọi 0 ≤ x, y ≤1.3. T không giảm: T(x,y)=T(u,v), với mọi x ≤ u, y ≤v. 3. T không giảm: T(x,y)=T(u,v), với mọi x ≤ u, y ≤v.
4. T có tính kết hợp: T(x,T(y,z)) = T(T(x,y),z), với mọi 0 ≤x,y, z≤1.Ví dụ: T1(x,y)=min(x,y) là một T-chuẩn, thật vậy: Ví dụ: T1(x,y)=min(x,y) là một T-chuẩn, thật vậy:
- T1(1,x)=min(1,x)=x, với mọi 0 ≤ x ≤ 1.
- T1 có tính giao hoán: min(x,y)=min(y,x), với mọi 0 ≤ x, y ≤1.- T1 không giảm: min(x,y)<=min(u,v), với mọi x ≤ u, y ≤v. - T1 không giảm: min(x,y)<=min(u,v), với mọi x ≤ u, y ≤v.
- T1 có tính kết hợp: min(x,min(y,z))=min(min(x,y),z)= min(x,y,z), với mọi 0 ≤ x, y, z ≤1. mọi 0 ≤ x, y, z ≤1.
Định nghĩa 4 (Phép giao hai tập mờ): Cho hai tập mờ A, B trên cùng không gian nền Ω với hàm thuộc A(x), B(x) tương ứng. Cho T là một T-Chuẩn. Phép giao của hai tập mờ A,B là một tập mờ (ký hiệu (A∩TB)) trên Ω với hàm thuộc cho bởi biểu thức:
(A∩TB)(x) = T(A(x), B(x)), với mỗi x ∈Ω
Ví dụ:
- Với T(x,y)=min(x,y)ta có: (A∩TB)(x) = min(A(x),B(x))- Với T(x,y) = x.y ta có (A∩TB)(x) = A(x).B(x) (tích đại số) - Với T(x,y) = x.y ta có (A∩TB)(x) = A(x).B(x) (tích đại số)
Ta có thể biểu diễn phép giao của hai tập mờ qua hai hàm T(x,y)=min(x,y) và T(x,y) = x.y theo các đồ thị hình 1.3 sau đây:
- Hình a: Hàm thuộc của hai tập mờ A và B
- Hình b: Giao của hai tập mờ theo T(x,y)=min(x,y)- -
2.1.2.3. Phép hợp hai tập mờ
Định nghĩa 5 (T - đối chuẩn): Hàm S:[0,1]2 được gọi là một T - đối chuẩn
(phép tuyển) nếu thoả mãn các điều kiện sau: 1. S(0,x) = x, với mọi 0 ≤ x ≤ 1.
2. S có tính giao hoán: S(x,y)= S(y,x) với mọi 0 ≤ x, y ≤ 1.3. S không giảm: S(x,y) = S(u,v), với mọi x ≤ u, y ≤ v. 3. S không giảm: S(x,y) = S(u,v), với mọi x ≤ u, y ≤ v.
4. S có tính kết hợp: S(x,S(y,z)) = S(S(x,y),z) với mọi 0 ≤ x, y, z≤1.
Định nghĩa 6 (phép hợp hai tập mờ): Cho hai tập mờ A, B trên cùng không gian nền Ω với hàm thuộc A(x), B(x) tương ứng. Cho S là một T - đối chuẩn. Phép hợp của hai tập mờ A, B là một tập mờ (kí hiệu (A∪SB)) trên Ω với hàm thuộc cho bởi biểu thức: (A∪SB)(x)=S(A(x),B(x)), với mỗi x∈Ω
Ví dụ:
- Với S(x,y) = max(x,y): (A∪SB)(x)= max(A(x), B(x))
- Với S(x,y) = x + y – x.y: (A∪SB)(x)=A(x) + B(x) – A(x).B(x)