I Tiến trình dạy học
1. Vị trớ tương đối giữa hai đường thẳng
(D) : y = ax + b (a ≠ 0) (D’) : y = a’x + b’ (a’ ≠ 0)
Phương trỡnh hồnh độ điểm chung của (D) và (D’) là : (a - a’)x = b’ - b (1) * (D) // (D’) Phương trỡnh (1) vụ nghiệm a = a’ và b ạ b’.
* (D) // (D’) <=> Phương trỡnh (1) cú vụ số nghiệm <=> a = a’ và b = b’.
* (D) cắt (D’) tại một điểm <=> Phương trỡnh (1) cú một nghiệm <=> a ≠ a’.
* (D) ^ (D’) <=> a.a’ = -1.
2.Vị trớ tương đối giữa đường thẳng (D) : y = f(x) và parabol (P) : y = g(x).
Hồnh độ điểm chung của (D) và (P) là nghiệm phương trỡnh : f(x) = g(x) (2) Phương trỡnh (2) là phương trỡnh bậc hai. Ta thấy :
* (D) và (P) khụng cú điểm chung <=> Phương trỡnh (2) vụ nghiệm <=> ∆ < 0.
* (D) tiếp xỳc với (P) <=> Phương trỡnh (2) cú nghiệm duy nhất (nghiệm kộp) <=> ∆ = 0.
• (D) cắt (P) tại hai điểm <=> Phương trỡnh (2) cú hai nghiệm phõn biệt <=> ∆ > 0.
Sau đõy là một số dạng bài tập về biện luận sự tương giao giữa đường thẳng và parabol.
Tuần 9 : SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL
Ngày soạn :30/3/2008 Ngày dạy : 01/4/2008
Dạng 1 : Bài toỏn chứng minh
Vớ dụ : Chứng minh rằng đường thẳng (D) : y = 4x - 3 tiếp xỳc với parabol (P) :
y = 2x2 - 4(2m - 1)x + 8m2 - 3.
Giải :
Hồnh độ điểm chung của (P) và (D) là nghiệm của phương trỡnh : 2x2 - 4(2m - 1)x + 8m2 - 3 = 4x - 3
<=> 2x2 - 8mx + 8m2 = 0 <=> x2 - 4mx + 4m2 = 0.
Ta cú ∆’ = 4m2 - 4m2 = 0 với mọi giỏ trị của m
nờn parabol (P) luụn luụn tiếp xỳc với đường thẳng (D).
Dạng 2 : Bài toỏn tỡm điều kiện
Vớ dụ : Cho đường thẳng (D) : y = 2(m - x) và parabol (P) : y = -x2 + 2x + 4m. a) Với giỏ trị nào của m thỡ (D) tiếp xỳc với parabol (P).
b) Với giỏ trị nào của m thỡ (D) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt A và B. Tỡm tọa độ giao điểm A và B khi m = -3/2.
Giải :
a) Hồnh độ điểm chung của (P) và (D) là nghiệm phương trỡnh : -x2 + 2x + 4m = 2(m - x)
<=> x2 - 4x - 2m = 0 (3)
Đường thẳng (D) tiếp xỳc với parabol (P) <=> Phương trỡnh (3) cú nghiệm kộp <=> ∆’ = 0
<=> 4 + 2m = 0 <=> m = -2.
b) (D) cắt (P) tại hai điểm
<=> Phương trỡnh (3) cú hai nghiệm phõn biệt <=> ∆’ > 0
<=> 4 + 2m > 0 <=> m > -2.
Khi m = -3/2 thỡ hồnh độ hai giao điểm A và B là nghiệm của phương trỡnh :
Từ đú suy ra tọa độ giao điểm A, B của (D) và (P) là :
Dạng 3 : Xỏc định tọa độ tiếp điểm.
Vớ dụ : Cho parabol (P) : y = x2 - 2x - 3. Tỡm cỏc điểm trờn (P) mà tiếp tuyến của (P) tại điểm đú song song với đường thẳng (D) : y = -4x.
Gọi đường thẳng tiếp xỳc với (P) là (d).
Do (d) song song với (D) nờn (d) cú dạng y = -4x + b (b ≠ 0) Hồnh độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm phương trỡnh : x2 - 2x - 3 = -4x + b
<=> x2 + 2x - 3 - b = 0 (4) Ta thấy : (d) tiếp xỳc với (P)
<=> Phương trỡnh (4) cú nghiệm kộp <=> ∆’ = 0
<=> 4 + b = 0 <=> b = -4.
Khi đú, nếu gọi điểm A(x0 ; y0) là tiếp điểm của (P) và (d) thỡ ( do A Є (P) và A Є (d))
ta cú hệ phương trỡnh :
Vậy tiếp điểm cần tỡm là A(-1 ; 0).
Bài tập tự làm
Bài tập 1 : Chứng minh rằng đường thẳng (D) : y = 4x – 3 - 4(2m - 1)x + 8m2 - 3 tiếp xỳc với parabol (P) : y = 2x2.
Bài tập 2: Cho đường thẳng (D) : y = 2(m - x) + 2x + 4m và parabol (P) : y = -x2. a) Với giỏ trị nào của m thỡ (D) tiếp xỳc với parabol (P).
b) Với giỏ trị nào của m thỡ (D) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt A và B. Tỡm tọa độ giao điểm A và B khi m = -3/2.
Bài tập 3: Cho parabol (P) : y = x2. Tỡm cỏc điểm trờn (P) mà tiếp tuyến của (P) tại điểm đú song song với đường thẳng (D) : y = -4x - 3
Tuần 10 : SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL
Ngày soạn :30/3/2008 Ngày dạy : 05/4/2008
Dạng 4 : Lập phương trỡnh tiếp tuyến.
Vớ dụ : Cho đường thẳng (D) : y = ax + b. Tỡm a và b biết :
a) Đường thẳng (D) song song với đường thẳng 2y + 4x = 5 và tiếp xỳc với parabol (P) : y = -x2.
b) Đường thẳng (D) vuụng gúc với đường thẳng x - 2y + 1 = 0 và tiếp xỳc với parabol (P) : y = -x2.
c) Đường thẳng (D) tiếp xỳc với parabol (P) : y = x2 - 3x + 2 tại điểm C(3 ; 2).
Giải :
a) Ta cú 2y + 4x = 5 <=> y = -2x + 5/2.
(D) song song với đường thẳng 2y + 4x = 5 nờn (D) cú dạng : y = -2x + b (b ≠ 5/2). Theo cỏch làm của dạng 2 ta tỡm được b = 1/4.
Vậy đường thẳng (D) cú phương trỡnh là y = - 2x + 1/4. b) Ta cú x - 2y + 1 = 0
<=> y = 1/2x + 1/2.
(D) vuụng gúc với đường thẳng cú phương trỡnh là x - 2y + 1 = 0 <=> a.1/2a = -1
<=> a = -2.
Suy ra (D) : y = -2x + b.
Theo cỏch làm của dạng 2, ta tỡm được b = 1.
Vậy đường thẳng (D) cú phương trỡnh là y = -2x + 1. c) Ta cú : C(3 ; 2) Є (D)
<=> 2 = 3a + b <=> b = 2 - 3a.
Khi đú phương trỡnh của (D) cú dạng : y = ax + 2 - 3a.
Theo cỏch làm của dạng 2 ta tỡm được a = 3 và suy ra b = -7. Vậy đường thẳng (D) cú phương trỡnh là : y = 3x - 7.
Dạng 5 : Xỏc định parabol.
Vớ dụ : Xỏc định parabol (P) : y = ax2 + bx + c thỏa mĩn :
a) Parabol (P) tiếp xỳc với đường thẳng (D) : y = -5x + 15 và đi qua hai điểm (0 ; -1) và (4 ; -5).
b) (P) cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng 2 và cắt đường thẳng (D) : y = x - 1 tại hai điểm cú hồnh độ là 1 và 3.
Giải :
a) (P) đi qua hai điểm (0 ; -1) và (4 ; -5)
Do đú parabol (P) là đồ thị của hàm số y = ax2 - (1 + 4a)x - 1.
ax2 - (1 + 4a)x - 1 = -5x + 15 ax2 - 4(a - 1)x - 16 = 0 (5)
Đường thẳng (D) tiếp xỳc với parabol (P) <=> Phương trỡnh (5) cú nghiệm kộp <=> ∆’ = 0 <=> 4(a - 1)2- 16a = 0 <=> (a + 1)2 = 0 <=> a = -1. Do đú : a = -1 ; b = 3 và c = -1. Vậy (P) là đồ thị hàm số y = -x2 + 3x - 1.
b) Parabol (P) cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng 2 nờn (P) đi qua điểm (0 ; 2). (P) cắt đường thẳng (D) : y = x - 1 tại hai điểm cú hồnh độ là 1 và 3
<=> Giao điểm của (P) với đường thẳng (D) là : (1 ; 0) và (3 ; 2). Vậy parabol (P) đi qua ba điểm (0 ; 2) ; (1 ; 0) và (3 ; 2) khi và chỉ khi
Do đú a = 1 ; b = -3 và c = 2.
Bài tập tự làm Bài tập 1:
Cho đường thẳng (D) : y = ax + b. Tỡm a và b biết :
a) Đường thẳng (D) song song với đường thẳng y + 3x = 5 và tiếp xỳc với parabol (P): y = x2.
b) Đường thẳng (D) vuụng gúc với đường thẳng x + 2y + 1 = 0 và tiếp xỳc với parabol (P) : y = x2.
c) Đường thẳng (D) tiếp xỳc với parabol (P) : y = x2 - 3x + 2 tại điểm C(-3 ; -2).
Bài tập 2:
Xỏc định parabol (P) : y = ax2 + bx + c thỏa mĩn :
a) Parabol (P) tiếp xỳc với đường thẳng (D) : y = 5x - 15 và đi qua hai điểm (0 ; -2) và (3 ; -4).
b) (P) cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng -3 và cắt đường thẳng (D) : y = - x +1 tại hai điểm cú hồnh độ là 2 và -3.
Chuyờn đ ề 5 : PHƯƠNG TRèNH BẬC 2 I)Mục tiờu:
- Kiến thức về xột dấu cỏc nghiệm của một phương trỡnh bậc hai là một trong những kiến thức cơ bản của THCS. Ta nhớ lại những điều cần thiết :
* Cho phương trỡnh bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), ta thường kớ hiệu P = c/a ; S = - b/a , và x1, x2 là cỏc nghiệm của phương trỡnh.
* Cỏc điều kiện quan trọng : +) x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0 +) 0 = x1 < x2⇔ P = 0 và S > 0 +) x1 < x2 = 0 ⇔ P = 0 và S < 0 +) x1 = x2 = 0 ⇔ P = 0 và S = 0 hoặc là Δ = 0 và S = 0 +) 0 < x1 < x2 ⇔ Δ > 0 , P > 0 và S > 0 +) x1 < x2 < 0⇔ Δ > 0 , P > 0 và S < 0
- Sử dụng cỏc kiến thức trờn chỳng ta cú thể xột được số nghiệm của nhiều loại phương trỡnh. Cỏc bài toỏn liờn quan tới định lớ Vi-et rất thường gặp trong cỏc kỡ thi ở THCS và thi vào lớp 10. chỳng ta cựng ụn tập những bài toỏn cơ bản nhất.
- Định li Vi-et thuận :
“Nếu phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cú nghiệm x1, x2 thỡ x1 + x2 = - b/a và x1x2 = c/a ”.
Chỳ ý : Nhiều khi sử dụng định lớ này đĩ quờn mất giả thiết a ≠ 0 và Δ ≥ 0 nờn dẫn tới những sai lầm đỏng tiếc.
II)Chuẩn bị:
GV: Nội dung chuyờn đề.
HS: ễn lại kiến thức về phương trỡnh bậc 2
III)Lờn lớp: