Trong phụ lục này, chúng tôi trình bày vài định nghĩa về hàm khoảng cách làm cơ sở cho việc tính toán các chỉ số hiệu quả đã trình bày ở trên.
Định nghĩa 1: Hàm khoảng cách đầu vào là hàm số được định nghĩa là D1(y, x) = max {λ: x/λ
∈L(y)}. Trong đó L(y) là tập đầu vào đòi hỏi sản xuất đầu ra y.
y
y x
x/
x L(y)
Hình 1. Hàm khoảng cách đầu vào
x2
L(y)
x/ * x
x1
Hình 2. Hàm khoảng cách đầu vào (N=2)
Hàm khoảng cách đầu vào chấp nh ận một cách tiếp cận để đo khoảng cách từ điểm sản xuất đến biên của đường khả năng sản xuất. Nó cho biết lượng cực đại mà véc tơ đầu vào của người sản xuất có thể giảm bớt mà vẫn duy trì được mức sản lượng mong muốn. Hình 1 biểu thị đồ thị của hàm sản xuất với 1 đầu vào và một đầu ra. Đầu vào x là có thể dùng để sản xuất
y. Tuy nhiên, như đã thấy, y có thể được sản xuất lượng đầu vào nhỏ hơn (x/λ*) và do đó D1(x, y) - λ* > 1.
Hình 2 biểu diễn tập đầu vào đòi hỏi để sản xuất sản lượng y. Với véc tơ x cho trên đồ thị thì theo định nghĩa, người sản xuất có thể sản xuất y, nhưng y có thể được sản xuất với véc tơ đầu vào (x/λ*), và vì thế D1(x, y) - λ* > 1.
Định nghĩa 2: Hàm khoảng cách đầu ra là một hàm được xác định như sau: D0(y, x) = min
{µ: x/λ ∈P(y)}. y y2 y/ P(x) P(x) y y/ * x y x y1
Hình 3. Hàm khoảng cách 1 đầu ra Hình 4: Hàm khoảng cách nhiều đầu ra
Hình 3 biểu thị đồ thị của hàm sản xuất với 1 đầu vào và một đầu ra. Đầu ra y có thể được sản xuất với đầu vào x, nhưng như đã thấy, với lượng đầu vào đã cho y có thể được sản nhiều hơn (y/µ*) và do vậy D1(x, y) -µ* <1.
Phụ lục 2