1.1. Giới thiệu chung
Phƣơng pháp Monte-Carlo là một phƣơng pháp số giải bài toán bằng việc mô phỏng các đại lƣợng ngẫu nhiên, sử dụng loạt các giá trị lựa chọn của các đại lƣợng ngẫu nhiên từ các phân bố khác nhau với hàm mật độ cho trƣớc. Phƣơng pháp Monte-Carlo không giải phƣơng trình vận chuyển hạt một cách tƣờng minh mà nhận các kết quả bằng mô phỏng các hạt riêng rẽ và ghi lại một số tƣơng tác của hạt. Phƣơng pháp Monte – Carlo đƣợc ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực hạt nhân nhƣ : Che chắn, vận chuyển bức xạ và phân tích vật lý neutron. Phƣơng pháp Monte – Carlo có liên quan chặt chẽ tới phƣơng pháp thống kê, từ đó các tính chất mong đợi của hạt đƣợc đánh giá và xác định thông qua việc mẫu hóa một số lƣợng lớn lịch sử các hạt riêng biệt và đƣợc mô phỏng trên máy tính điện tử. Trong một số trƣờng hợp, nhiều bài toán có thể đƣợc mô tả tƣơng đƣơng qua các phƣơng trình và giải đƣợc bằng phƣơng pháp giải tích tất định cũng nhƣ giải đƣợc phƣơng pháp số.
Phƣơng pháp Monte – Carlo so với các phƣơng pháp tất định có lợi thế hơn khi yêu cầu độ chính xác cao trong việc mô tả chi tiết hình học và số liệu hạt nhân ví dụ nhƣ để giải phƣơng trình vận chuyển Boltzman. Phƣơng pháp tất định chỉ có thể giải đƣợc những bài toán với yêu cầu hình học đơn giản một cách hợp lý để giải và sử dụng gần đúng nhiều nhóm cho số liệu tiết diện đối với neutron có năng lƣợng liên tục. Tuy nhiên, các kỹ thuật trong phƣơng pháp Monte – Carlo lại có thể giải quyết đƣợc những hình học phức tạp và số liệu tiết diện liên tục cũng nhƣ hình học đơn giản và số liệu nhiều nhóm. Trong rất nhiều trƣờng hợp, cấu trúc hình học của hệ phức tạp hơn nhiều so với chỉ là một hình trụ hay những khối lập phƣơng, chúng thƣờng là tổng hợp của nhiều mặt trụ và mặt phẳng. Khi đó, Monte – Carlo là phƣơng pháp hiệu quả hơn bởi vì nó đánh giá một cách thống kê cả hệ thống với độ chính xác cao hơn nhiều so với sử dụng phƣơng pháp tất định mô tả gần đúng bằng
44
giải tích. Đây là điều dễ nhận thấy đƣợc bởi rất khó có thể mô tả chính xác một hệ gồm cấu trúc hình học phức tạp bằng các phƣơng trình giải tích. Tuy nhiên, điểm yếu của phƣơng pháp Monte – Carlo là việc thống kê trong tự nhiên không thể cung cấp đƣợc lời giải chính xác cho bài toán. Các kết quả đƣa ra đƣợc đánh giá dựa trên một độ tin cậy nào đó, bên cạnh đó, phƣơng pháp Monte – Carlo cần rất nhiều thời gian xử lý máy tính khi muốn đạt đƣợc độ chính xác đủ nhỏ theo yêu cầu để ra.
1.2. Tiếp cận phƣơng pháp Monte – Carlo
Khi một neutron tƣơng tác với vật liệu, nó sẽ tƣơng tác với các hạt nhân nguyên tử cấu trúc của vật liệu đó. Neutron với năng lƣợng ban đầu xác định có thể bị tán xạ hoặc hấp thụ phụ thuộc vào tiết diện của vật liệu. Những quá trình này xảy ra một cách thống kê trong tự nhiên với xác suất xuất hiện sự kiện đƣợc xác định bởi một tiết diện nào đó. Không ai có thể dự đoán chính xác đƣợc quãng đƣờng mà một neutron có thể di chuyển trong vật chất trƣớc khi xảy ra tƣơng tác, tuy nhiên, chúng ta có thể dự đoán đƣợc phân bố của quãng đƣờng bay của một số lƣợng lớn các hạt neutron trƣớc khi xảy ra tƣơng tác đầu tiên. Bằng cách sử dụng các số ngẫu nhiên, máy tính có thể đƣa ra một thống kê các lịch sử cho “thời gian sống” của từng hạt, nhờ đó, ta sẽ xác định một hạt neutron có thể trải qua rất nhiều quá trình tán xạ rồi cuối cùng bị hấp thụ hoặc rò ra ngoài khỏi hệ. Các số ngẫu nhiên (đƣợc gieo một cách ngẫu nhiên hoàn toàn không theo một quy tắc nào và ở trong khoảng từ 0 tới 1) đƣợc sử dụng trong từng tƣơng tác để xác định xem quá trình vật lý nào xảy ra (hấp thụ, phân hạch, tán xạ đàn hồi…), độ mất năng lƣợng là bao nhiêu hay có bao nhiêu neutron đƣợc tạo ra sau một sự kiện phân hạch.
Thời gian sống của neutron bắt đầu từ khi sinh ra (bao gồm cả nguồn neutron bên ngoài lẫn neutron từ 1 sự kiện phân hạch) cho tới khi kết thúc với việc bị hấp thụ hoặc bởi một sự kiện tán xạ làm cho neutron đi ra ngoài khỏi hệ. Các sự kiện này xảy ra trong suốt thời gian sống của neutron và đƣợc ghi lại vào bảng giá trị và trở thành lịch sử của hạt, bởi vì một lịch sử riêng lẻ không thể biểu diễn cho cả một hệ tổng cộng nên một số lƣợng lớn lịch sử sẽ phải đƣợc đánh giá để ghi nhận và diễn tả một cách chính xác những sự kiện xảy ra.
45
1.3. Tính toán tới hạn bằng Monte – Carlo
Ứng dụng trong tính toán tới hạn, hệ số nhân hiệu dụng của một bó nhiên liệu đƣợc ƣu tiên hàng đầu. Trong những tính toán này, một nhóm các lịch sử neutron đƣợc đƣa ra trong một chu kỳ keff với hệ số nhân của một bó đƣợc xác định bởi tỉ số giữa số lƣợng neutron sinh ra trong các sự kiện phân hạch ở cuối chu kỳ keff với số neutron ban đầu đƣợc đánh giá ở một chu kỳ. Giá trị mong đợi (expected value) của hệ số nhân đƣợc ƣớc lƣợng bởi trung bình các sự kiện trong một chu kỳ tính hệ số nhân hiệu dụng. Một cách tƣơng tự, ta có thể ƣớc lƣợng đƣợc xác suất rò hay tỷ số phân hạch gây ra bắt neutron.
Sai số tƣơng đối trong quá trình ƣớc lƣợng hệ số nhân hiệu dụng thƣờng đƣợc làm giảm bằng cách tăng số lƣợng của chu kỳ keff. Do đó, một số lƣợng lớn các chu kỳ là cần thiết để thu đƣợc sai số tốt. Tuy nhiên, kết quả trong vài chu kỳ đầu tiên là không chính xác bởi do không gian nguồn neutron chƣa đƣợc hội tụ. Phân bố của nguồn neutron phân hạch của hệ phụ thuộc vào cấu trúc hình học của hệ, nó dẫn đến một số chu kỳ không hoạt động để phân bố không gian nguồn trong tính toán Monte – Carlo đạt tới phân bố hội tụ. Vì lý do này, vài chu kỳ đầu của thƣờng đƣợc loại bỏ. Giá trị ƣớc lƣợng của keff từ các chu kỳ còn lại đƣợc lấy trung bình để thu đƣợc giá trị của keff:
G i i=D+1 1 k= k G-D (2-1) Trong đó: k: giá trị k trung bình của hệ
G: Số lƣợng chu kỳ đƣa vào
D: Số lƣợng chu kỳ bỏ qua ban đầu
ki: Hệ số nhân hiệu dụng xác định đƣợc ở chu kỳ thứ i
Sai số của kết quả đƣợc xác định qua độ lệch chuẩn dựa theo công thức toán học của phƣơng pháp thông kê nhƣ sau:
G 2 i i=D+1 1 σ = (k -k) G - D -1 (2-2)
46
Các số ngẫu nhiên lựa chọn trong phƣơng pháp Monte – Carlo tuân theo phân bố Gauss, do đó kết quả của hệ số nhân hiệu dụng trung bình trong khoảng k+σ và k- σ thể hiện 68% bề rộng phần diện tích của phân bố Gauss. Muốn thu đƣợc kết quả chính xác hơn, ta lựa chọn dải (k+2σ, k- 2σ) thể hiện 95% diện tích của phân bố Gauss hoặc (k+3σ, k- 3σ) cho 99% kết quả tin cậy.