hay dưới dạng đối xứng hơn
a=|(m+n)2−2n2|, c=|(m+n)2−2m2|, b=m2+n2
trong đó m, n là các số nguyên dương phân biệt nguyên tố cùng nhau, khác tính chẵn lẻ.
Ví dụ 4.12. Tìm tất cả các cặp số nguyên(x; y) thoả mãn x2+ 1 =y3.
Lời giải. Ta có (x+i)(x−i) =y3. Ta sẽ chỉ ra hai số x+i, x−i là nguyên tố cùng nhau. Giả sử trái lại có số nguyên tố Gauss π sao choπ|x+i, π|x−i. Suy ra π|2i do đó π|2. Vậy N(π)|N(2) = 4, suy ra N(π)chẵn.
Vì N(π)|N(x+i) =x2+ 1 =y3 nên y chẵn do đóx lẻ vàx2+ 1 =y3 chia hết cho 8. Nhưng x2 + 1≡2 (mod 4). Ta có mâu thuẫn.
Ta thấy x+ilà kết hợp với một lập phuơng nào đó. Mà ta có −1 = (−1)3, i= (−i)3,(−i) =i3 nên chính x+i là một lập phương. Vậy
x+i= (a+ib)3 = (a3−3ab2) +i(3a2b−b3)
⇒x=a(a2−3b); 1 =b(3a2−b2)⇒ |b|= 1 ; |3a2−b2|= 1
⇒|3a2−1|= 1⇒a = 0, b=−1.
Do đó x= 0, y= 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Ví dụ 4.13. Chứng minh rằng một số nguyên dương n > 1 được biểu diễn thành tổng của hai số chính phương khi và chỉ khi trong phân tích tiêu chuẩn của n các ước nguyên tố dạng 4k+ 3 có luỹ thừa chẵn.
Lời giải. Giả sử rằngn=x2+y2 ở đó x, y∈N. Khi đón = (x+iy)(x−iy). Vìn > 1nên x+iykhông là đơn vị. Phân tíchx+iythành tích các số nguyên tố Gauss ta được
188 Chương 4. Số phức trong các bài toán số học và tổ hợp
trong đó εi, δj là các đơn vị,qi là các số nguyên tố thông thường dạng4k+ 3
(đó cũng là các số nguyên tố Gauss) vàπj =aj+ibj là các số nguyên tố Gauss vớiaj 6= 0, bj 6= 0. Ta có
x−iy=x+iy= Π( ¯εiqi)siΠ( ¯δjπ¯j)tj.
Vậy
n = Πq2si
i Π(N(πj))tj.
Đặt N(πj) =pj. Theo định lí 4.7, pj là các số nguyên tố thông thường không có dạng 4k+ 3. Vậy phân tích tiêu chuẩn của n là
n= Πq2si
i Πptj
j .
Ngược lại, giả sử
n= Πq2si
i Πptj
j .
Theo bài toán 4.9, pj có thể viết dưới dạng tổng của hai số chính phương khác 0, pj = a2
j +b2
j. Đặt πj = aj +ibj ta có N(πj) = πjπ¯j =a2
j +b2
j =pj. Ta xét số phức nguyên sau đây
α= Πqsi i Ππtj j . Khi đó αα¯= Πq2si i Πptj j =n. Giả sử α=x+iy. Khi đó n=x2+y2. Ta có thể xét số phức nguyên khác sau đây
γ = Πqsi
i Ππlj
j Π ¯πjrj
trong đó lj, rj ∈N sao cho lj +rj =tj. Khi đó
γ¯γ = Πq2si