Định nghĩa 4.5. Một số phức nguyên khác đơn vịπđược gọi là một số nguyên tố Gauss nếu πkhông thể biểu diễn được dưới dạng tích của hai số phức nguyên khác đơn vị. Nói cách khác, π được gọi là một số nguyên tố Gauss nếu từ đẳng thức π =αβ ta phải cóα hoặcβ là đơn vị. Nếuπ không là số nguyên tố Gauss
178 Chương 4. Số phức trong các bài toán số học và tổ hợp ta nói π là một hợp số Gauss. Nói cách khác, π được gọi là hợp số Gauss nếu nó có thể viết dưới dạng π=αβ, với α, β là hai số phức nguyên khác đơn vị.
Định nghĩa 4.6. Số β gọi là một số kết hợp với α nếu α =εβ ở đó ε là một đơn vị. Nhân hai vế với ε¯ta được β = ¯εα, do đóα cũng là kết hợp với β. Như vậy ta có thể nói αvà β là hai số kết hợp với nhau. Quan hệ "kết hợp" là một quan hệ tương đương (có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu).
Tính chất 4.6. Nếu một số nguyên thông thường là số nguyên tố Gauss thì chính bản thân nó phải là số nguyên tố. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Một số nguyên tố thông thường chưa chắc là một số nguyên tố Gauss. Chẳng hạn 5 là số nguyên tố thông thường nhưng vì 5 = (2 +i)(2−i) do đó 5 là hợp số Gauss.
Tính chất 4.7. Số Gauss π là số nguyên tố Gauss khi và chỉ khi số kết hợp với nó là số nguyên tố Gauss.
Tính chất 4.8. Số Gaussπ là số nguyên tố Gauss nếu và chỉ nếu nó chỉ chia hết cho các đơn vị và các số kết hợp với nó.
Định lý 4.4. Giả sử π là một số nguyên tố Gauss. Khi đó, nếu π|(αβ) thì π | α hoặc π|β.
Một cách tổng quát, nếu π|α1α2. . . αn, (n≥ 2) thì π chia hết một thừa số αi
nào đó của tích.
Chứng minh. Giả sử π không phải là ước của α. Ta chứng minh rằng khi đó α, π là nguyên tố cùng nhau. Thật vậy giả sử không phải như vậy. Gọi γ là ước chung khác đơn vị của π và α. Ta có π = γπ1, α = γα1. Vì γ
không phải là đơn vị và π là số nguyên tố Gauss nên π1 là đơn vị. Do đó
π =γε ⇒ γ = πε¯⇒ π|γ ⇒ π|α. Điều này trái với giả thiết. Thành thử α, π
4.4. Số phức nguyên và ứng dụng trong lí thuyết số 179Kết luận tổng quát được chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Vớin= 2thì