xoắn hệ Gleason
Khi nghiên cứu các tính chất đặc trưng của chuyển động quay bất kỳ trong không gian, người ta ứng dụng hình học vị phân hoặc giải tích véc tơ để thiết lập phương trình của nó. Gần đây việc ứng dụng tenxơ quay để viết phương trình bề mặt răng.
Phương pháp này cho phép viết phương trình đơn giản và dễ dàng ứng dụng trong việc lập trình.
a. Thiết lập công thức tính tenxo quay
Giả sử bề mặt F xác định trong hệ toạ độ đề các Oxyz. Một điểm M trên bề mặt được xác định bởi vectơ x
có gốc trùng với gốc toạ độ, mút của vectơ trùng với điểm M. Cho điểm M quay quanh trục O đi qua gốc toạ độ gốc có véctơ đơn vị Oo
(hình 2.8)
Hình 2.8. Sơ đồ tính Véc tơ x
sau khi quay đi một góc t ta ký hiệu Xt
. Vecto X
có thể phân thanh hai thành phần, một thành phần trên trục O là vectơ Xo
và thành phần thứ hai là Xk
(o, k, b là các chỉ số của véctơ).Giả thiết vecto Xb
nằm trong mặt phẳng quay của M và đồng thời vuông góc Xk
như vậy có thể viết: X
= Xo + Xk Véc tơ Xb
vuông góc với mặt phẳng chứa hai vectơ O
và X
cũng nằm trong mặt phẳng chứa vectơ O
và vectơ Xk
, vì vậy tích có hướng của hai vectơ là vectơ Xb
b X = Oo .X =O .Xb Vectơ X
biểu diễn theo toạ độ X
=X( x ,y,z ) vectơ đơn vị O =O(01,02,03) thì: b X =O .X = 1 1 2 3 1 2 1 2 3 2 1 3 x i j k 0 o o o o o 0 0 o x x x x o o 0 x = − − (2-14) X =R(O).X (2-15) Trong đó: R(O)
là tenxơ phản xưng thoả mãn điều kiện: aij = -aji
aij = 0
Từ hình 8 ta viết được vectơ X(t)
như là tổng của hai vectơ thành phần:
( ) k b 0
X t X cos(t) +X sin(t) +X (2-16) 0
X
có thể biểu diễn như hình chiếu X
lê trục O sau đó nhân với vectơ đơn vị O
tức là: 0
X = ⊗O O.X (2-17) Trong đó O ⊗O là tích det của véc tơ đơn vị O Trong đó O ⊗O là tích det của véc tơ đơn vị O
hay còn gọi là tenxơ của hai vectơ đơn vị.
Từ(2.12) có thể viết:
k k 0
X =X − +X X = − ⊗X O O.X =E(O ⊗O)X (2-18) Trong đó E là tenxơ đơn vị được xác định bởi: Trong đó E là tenxơ đơn vị được xác định bởi:
ij 1 i j E 0 i j = = ≠ Thay (2.15), (2.16), (2.17) vào (2.18):
X(t) =E−(O ⊗O)cos(t) +R(O)sin(t) X + ⊗O O.X X(t) =E−(O ⊗O)cos(t) +R(O)sin(t) + ⊗O O ..X (2-19) 5 0 X(t) =A X (2-20) t 0
A tenxơ quay tứ là vectơ X
quay đi một góc t quanh trục O mà không thay đổi độ lớn của vectơ. Vậy toànbộ hệ chỉ quay mà không biến dạng.
b. Thiết lập phương trình bề mặt răng của bánh răng côn răng cong hệ Gleason.
Cắt bánh răng côn răng cong bằng phương pháp bao hình là phương pháp được dùng phổ biến để nâng cao chất lượng ăn khớp của cặp bánh răng đối tiếp.. Tùy thuộc vào biên dạng lưỡi cắt mà ta được bề mặt răng khác nhau. Các lưới cắt được bố trí trên những vành tròn đồng tâm. Bề mặt răng của bánh răng côn răng cong là bề mặt hai thông số và hai đường cong thông số biến đổi trong quá trình tạo hình, trên hình (2.5) chỉ ra hai vị trí của mặt sinh trên bề mặt răng trong quá trình hình thành bề mặt. Trong quá trình chuyển động tương đối giữa dao và phôi, lưỡi cắt lấy đi một phần vật liệu trên phôi dưới dạng phoi. Phần bề mặt giới hạn bởi phần vật liệu không được cắt đi. Đó chính là bề mặt sinh dụng cụ trong quá trình chuyển động tương đối giữa phôi bánh dẹt sinh mang dụng cụ cắt.
Hình 2.9. Quá trình hình thành mặt hông răng
Tại thời điểm bất kỳ bề mặt sinh F tiếp xúc với bề mặt chi tiết theo đường cong nào đó ví dụ đường cong n - n1 đường này gọi là đường tiếp xúc. Tại điểm tiếp xúc bất kì như điểm K. Vận tốc tại điểm K là Vd tiếp tuyến với đường cong tại K. Vì vậy điều kiện tiếp xúc của hai bề mặt là:
d
V N =0 (2-21)
Để thiết lập phương trình bề mặt răng côn răng cong hệ Gleason, ta đặt đỉnh côn chia của bánh răng cần gia công trùng với tâm của bánh dẹt sinh, mặt phẳng đỉnh răng tạo thành mặt tiếp tuyến với mặt côn chân răng của bánh răng được cắt góc quay của giá lắc cần đủ lớn để có thể răng gia công cần phải thỏa mãn điều kiện sau:
l d k k k z sin( ) z ϖ = = δ ϖ (2-22) Trong: ω1: vận tốc giá lắc
Zk: số răng của bánh răng được cắt ∆k: góc chia của bánh răng được cắt
Số răng của bánh dẹt sinh được xác định theo công thức:
2 2
d 1 2
Z = Z +Z (2-23)
Nếu chi tiết quay được một góc là α để gia công hết một rãnh răng thì giá lắc phải quay được một góc:
ψ = pϕ (2-24)
Thiết lập phương trình mặt sinh khi lưỡi cắt quay quanh trục Of trùng với trục quay của đầu dao (hình 2.9). Bề mặt côn là bề mặt hai thông số, thông số thứ nhất u1 biến đổi theo lưỡi cắt và thông số thứ hai u2 là thông số chuyển động của mặt côn từ vị trí bắt đầu cho đến vị trí kết thúc một răng, phương trình bề mặt côn viết dưới dạng tenxơ: