2.2.1 Giới thiệu chung về ỏnh xạ GU
Khỏi niệm nhất dạng hỡnh học (GU - Geometrically Uniform), chũm sao tớn hiệu nhất dạng hỡnh học, phộp ỏnh xạ tớn hiệu nhất dạng hỡnh học và cỏc mó nhất dạng hỡnh học GU đó được Forney giới thiệu đầu tiờn vào năm 1991 [17]. Sau đú được Calderbank và Sloane [5], Benedetto [6] khỏi quỏt hoỏ và mở rộng thờm. Khỏi niệm ỏnh xạ nhất dạng hỡnh học ở mức bit (BGU - Bit Geometrical Uniformity) cho phộp dễ dàng phõn tớch và ước lượng phẩm chất của cỏc hệ thống dựng giải thuật xử lý lặp ID (Iterative Decoding). Hơn nữa, trong cỏc chũm sao tớn hiệu sử dụng ỏnh xạ (gỏn nhón) nhất dạng hỡnh học mức bit BGU cũng giỳp cho việc tỡm kiếm cỏc mó đệ quy RSC tốt nhất cho hệ thống điều chế mó cú hoỏn vị dóy bit và giải mó lặp BICM-ID một cỏch nhanh chúng trong cả hai trường hợp hoỏn vị tổng thể (Overall Interleaver) hoặc hoỏn vị từng dũng bit (In-line Interleaver). Điều này sẽ thể hiện rừ trong trường hợp lựa chọn mó RSC tỷ lệ 1/2 tốt nhất cho ỏnh xạ 4PSK. Trong mục này, luận ỏn đề xuất khỏi niệm mới và phương phỏp mới lựa chọn mó RSC tốt nhất để mở rộng ỏp dụng chung cho cỏc chũm sao tớn hiệu M-PSK và M-QAM.
Tớnh tuyến tớnh của cỏc hệ thống mó kết hợp với tớnh đối xứng của cỏc chũm sao tớn hiệu là cơ sở để đưa ra khỏi niệm tớnh chất xỏc suất lỗi đều (UEP - Uniform Error Property), từ đú cho phộp phõn tớch và thiết kế cỏc mó hệ
thống đệ quy một cỏch đơn giản do chỉ cần khảo sỏt một chuỗi tớn hiệu toàn 0 là đủ để đỏnh giỏ toàn bộ cỏc phẩm chất của mó.
Khỏi niệm nhất dạng hỡnh học GU được mở rộng để thiết kế cỏc mó TCM [6],[15], nhưng khi ỏp dụng cho hệ thống BICM-ID thỡ nảy sinh hai vấn đề. Thứ nhất, trong hệ thống BICM-ID, bộ hoỏn vị ngẫu nhiờn được dựng để hoỏn vị ở mức bit, dóy bit sau khi hoỏn vị được ỏnh xạ toàn bộ vào chũm sao tớn hiệu nờn việc ỏp dụng khỏi niệm nhất dạng hỡnh học GU để phõn tớch, thiết kế hệ thống tương đối phức tạp. Thứ hai, phần lớn cỏc hệ thống truyền dẫn liờn quan đến dóy bit nhị phõn truyền từ đầu phỏt đến đầu thu, như vậy tỷ lệ lỗi bit (BER) là tham số chất lượng quan trọng hơn là tham số tỷ lệ lỗi dấu (SER). Để làm sỏng tỏ vấn đề thứ hai, Garello và cỏc cộng sự [22] đó đưa ra khỏi niệm ỏnh xạ nhất dạng hỡnh học ở mức bit BGU để cho phộp thiết kế cỏc hệ thống mó với tớnh chất xỏc suất lỗi bit đều (UBEP - Uniform Bit Error Property). Trong [22] đó nờu ra được một số kết quả quan trọng với BGU, định nghĩa cỏc ỏnh xạ BGU với cỏc chũm sao tớn hiệu thường dựng như PSK, PAM, QAM, dựng cỏc mó lưới liờn kết nối tiếp với UBEP [22].
Cỏc ứng dụng của nhất dạng hỡnh học mức bit BGU đề xuất trong [22] liờn quan đến thuật toỏn giải mó hợp lớ cực đại ML. Để mở rộng khỏi niệm UBEP, cú thể thay thế giải mó ML phức tạp bằng giải mó lặp cận tối ưu (ID: Iterative Decoding). Tại miền SNR đủ lớn, phẩm chất của ID tiến sỏt tới phẩm chất của ML nhờ cú hồi tiếp lý tưởng (IF) [39]. Hơn nữa, trong cỏc nghiờn cứu về hệ thống BICM-ID cho thấy cỏc nỗ lực chủ yếu tập trung vào thiết kế cỏc ỏnh xạ tớn hiệu [51] để đạt được hiệu quả (phẩm chất BER) tốt nhất trờn kờnh Gauss cũng như trờn kờnh fading. Bộ hoỏn vị trong hệ thống BICM-ID đũi hỏi cú tớnh ngẫu nhiờn cao, vỡ thế cần dựng cỏc khung dữ liệu cú độ dài hàng ngàn bit.
Trong mục này luận ỏn sẽ giới thiệu khỏi niệm mới là nhất dạng hỡnh học mức bit BGU trờn cơ sở dựng thuật toỏn giải mó lặp ID, với giả thiết rằng cú hồi tiếp hoàn hảo. Cỏc ỏnh xạ nhất dạng hỡnh học mức bit BGU mới cho phộp ước lượng và phõn tớch một cỏch đơn giản phẩm chất của hệ thống BICM-ID.
2.2.2 Cỏc ỏnh xạ nhất dạng hỡnh học mức bit BGU
Xột một tập hữu hạn S={ , ,...,s s0 1 sM−1} gồm M điểm tớn hiệu (M =2m).
Giả sử rằng mọi điểm tớn hiệu cú xỏc suất truyền như nhau qua kờnh AWGN. Tỷ lệ lỗi dấu trung bỡnh P Se( )với giải mó hợp lớ cực đại là:
1 0 1 ( ) M ( ) e e i P S P M − = = ∑ si (2.1) Khi s = sT i được truyền đi và thu được sR, thỡ Pe( )si =P[sR ≠s /sT T =si].
Định nghĩa 1: Một tập (chũm sao) tớn hiệu S được gọi là thoả món tớnh chất xỏc suất lỗi đều nếu xỏc suất lỗi dấu với giải mó ML khụng phụ thuộc vào tớn hiệu đó phỏt đi, nghĩa là Pe( )si như nhau với mọi si∈S.
Cho chũm sao tớn hiệu S là một tập cỏc điểm rời rạc trong một khụng gian Ơ-cơ-lit RNcú N chiều. Đẳng cự (đồng cự ly) u của RN là một ỏnh xạ của RN vào chớnh nú với điều kiện ỏnh xạ này cú thể bảo toàn được cự ly Ơ- cơ-lit theo biểu thức || ( )u x −u( ) || ||y 2= −x y|| ,2 trong đú u( )x biểu diễn hỡnh ảnh của x theo phộp chuyển đổi u. Mọi đẳng cự của RN đều cú thể nhận được từ ba phộp biến đổi cơ bản: phộp dịch chuyển (theo một hướng nào đú), phộp
quay (theo một đường hay một trục nào đú) và phộp phản xạ (tương đối so
với một mặt phẳng nào đú). Cho trước một đẳng cự u của RN , ta biểu diễn
( ) { ( ) : }
u S = u x x∈S là ảnh của S theo u. Đối xứng của S là một đẳng cự u với điều kiện khụng làm thay đổi S, tức là u S( )=S. Mọi đối xứng của S sẽ tạo ra một nhúm Γ( )S , về phương diện toỏn tổ hợp, được gọi là nhúm đối xứng của
S. Từ đú, một chũm sao tớn hiệu S sẽ được gọi là nhất dạng hỡnh học (GU) nếu với bất kỳ hai điểm x và y nào đú trong S, tồn tại một đối xứng u của S
sao cho u( )x =y. Cú thể núi rằng chũm sao tớn hiệu S cú tớnh nhất dạng hỡnh học nếu nú được tạo ra từ một điểm x∈S nhờ tỏc động của nhúm đối xứng của nú. Nhúm con nhỏ nhất của Γ( )S đủ để tạo ra S từ một điểm nào đú của nú được gọi là nhúm sinh (generating group) của S.
Rừ ràng cú thể thấy rằng nếu S cú tớnh nhất dạng hỡnh học (GU) thỡ nú cú sẽ cú xỏc suất lỗi đều (UEP) [17]. Phần lớn cỏc tập tớn hiệu thường dựng đều cú tớnh nhất dạng hỡnh học (chẳng hạn như cỏc tập M-PSK, cỏc bảng chữ cỏi hoỏn vị và cỏc bảng chữ cỏi hoỏn vị đó được tổng quỏt húa [39]) hoặc gần với nhất dạng hỡnh học nếu ta bỏ qua hiệu ứng đường biờn (vớ dụ như QAM).
Cho một tập hữu hạn S với M =2m tớn hiệu, một phộp gỏn nhón nhị
phõn à[ , ]S m đối với S là một hàm một - một à cú chức năng gắn một nhón ( )
c=à s cú m bit nào đú cho mỗi tớn hiệu s∈S. Tựy ngữ cảnh, S cú thể được hiểu như là chũm sao tớn hiệu hay tập tớn hiệu.
Để đỏnh giỏ xỏc suất lỗi bit, giả sử rằng cỏc chuỗi thụng tin nhị phõn được phõn chia thành cỏc khối cú chiều dài m, và mọi khối cú xỏc suất như nhau. Khi cần truyền một khối cT, tớn hiệu sT =à−1( )cT được phỏt qua kờnh AWGN. Sau khi giải mó dấu bằng thuật toỏn ML, ta nhận được tớn hiệu thu
R
s và khối thu cR =à( )sR . Khi một tớn hiệu si (hoặc khung ci) được truyền qua kờnh AWGN, xỏc suất lỗi bit với giải mó ML, là:
( ) ( / ) ( ( ) ( )) = ( / ) b b j i H j i P P w P m à à ≠ ≠ = = = = ⊕ = = ∑ ∑ T i R j T i j i R j T i s s s s s s s s s s s s (2.2)
1 0 1 ( ) M ( ) b b i P S P M − = = ∑ sT =si (2.3)
Định nghĩa 2: Một phộp gỏn nhón nhị phõn à[ , ]S m cho chũm sao tớn
hiệu S được gọi là thoả món tớnh chất xỏc suất lỗi bit đều (UBEP) nếu xỏc suất lỗi bit với giải mó ML khụng phụ thuộc vào tớn hiệu đó được truyền đi, tức là Pb(sT =si) giống nhau đối với mọi tớn hiệu si∈S.
Cho trước một chũm sao tớn hiệu nhất dạng hỡnh học S với nhúm sinh
S
G , sẽ cú tương ứng một - một giữa một phần tử gi∈GSvới một tớn hiệu
0 ( ) i g s S = ∈ i
s . Để đơn giản, ta biểu diễn hàm gỏn nhón à( ( ))g si 0 là à( )gi , và
giả thiết à( ) 0e = , trong đú e là phần tử đơn vị của nhúm và 0 là nhón toàn 0
cú m bit.
Định nghĩa 3: Cho à[ , ]S m là một phộp gỏn nhón nhị phõn của chũm
sao tớn hiệu nhất dạng hỡnh học S với nhúm sinh GS. Ánh xạ à cú tớnh chất
xỏc suất lỗi bit đều (UBEP) nếu thoả món điều kiện sau:
1
( ( ), ( )) ( ( )) ,
H i j H i j i j S
d à g à g =w à g− gg ∀g g ∈G (2.4) Định nghĩa 3 được gọi là gỏn nhón nhất dạng hỡnh học mức bit (BGU) [22]. Chỳ ý rằng, tương tự như tớnh nhất dạng hỡnh học chỉ là điều kiện đủ đối với UEP, sự tồn tại của phộp gỏn nhón nhất dạng hỡnh học mức bit BGU cũng chỉ là điều kiện đủ (chứ khụng phải là điều kiện cần) đối với UBEP.
2.2.3 Đề xuất cấu trỳc mới cho phộp gỏn nhón nhất dạng hỡnh học mức bit cho BICM-ID.
Ở đõy, ta vẫn giả thiết một tập tớn hiệu S với M =2m tớn hiệu và một
phộp gỏn nhón nhị phõn à[ , ]S m . Đối với mỗi tớn hiệu si∈S, cho
1 2
( , , ,c ci i cim), i 0,...,M 1
= K = −
i
c là nhón nhị phõn sao cho ci =à( )si . Cho si và
*
i
thứ j gắn với một tớn hiệu si∈S là khoảng cỏch Ơ-cơ-lit dE( , )si j = s - si i* . Rừ ràng, dE( , )si j =dE(si*, )j . Núi chung, dE( , )si j phụ thuộc vào tớn hiệu si và cú thể cú tới M / 2 giỏ trị dE( , )si j khỏc nhau với mỗi j.
Một phộp gỏn nhón nhị phõn à[ , ]S m cho một tập tớn hiệu S là một ỏnh xạ nhất dạng hỡnh học mức bit theo nghĩa rộng (Wide-Sense BGU) nếu với mỗi j∈{1,..., }m cự ly bit khụng phụ thuộc vào tớn hiệu, nghĩa là dE( , )si j như nhau với mọi tớn hiệu si, hay dE( , )si j =dEj.
Trong [39], với thuộc tớnh này của phộp gỏn nhón được gọi tớnh đều với hồi tiếp lý tưởng (IF-Regularity). Ta xột hệ thống BICM-ID như mụ tả trờn Hỡnh 2.1 với đường hồi tiếp từ bộ giải mó kờnh về bộ giải điều chế theo nguyờn lý giải điều chế và giải mó lặp. Bộ hoỏn vị bit hoạt động theo cỏch hoỏn vị tổng thể hoặc hoỏn vị từng dũng bit (In-line) như trờn Hỡnh 2.6. Hoỏn vị từng dũng là một tập con của hoỏn vị tổng thể, nhưng chỳng cú một số thuộc tớnh cú thể khai thỏc để cải thiện chất lượng hệ thống.
∏
Hỡnh 2.6 Bộ hoỏn vị tổng thể (a) và hoỏn vị từng dũng bit (b)
∏ Vào2 Vào1 Vào 0 Ra 2 Ra 1 Ra 0 ∏ ∏ Vào2 Vào1 Vào 0 Ra 2 Ra 1 Ra 0 (a) (b)
Một chuỗi bit thụng tin được mó hoỏ bằng bộ mó hoỏ hệ thống đệ quy RSC. Bit đầu ra của bộ mó hoỏ đú được hoỏn vị bởi bộ hoỏn vị. Tại chỉ số thời gian t, cỏc khối m bit từ lối ra bộ hoỏn vị, được gỏn vào tớn hiệu st∈S
bằng phộp ỏnh xạ ci =à( )si . Chiều dài bộ hoỏn vị và số lần lặp được lựa chọn đủ lớn, để cú thể coi hồi tiếp là lý tưởng (IF). Trong trường hợp này, kờnh AWGN với điều chế bậc M , trong đú M =2m, cú thể coi tương đương như
m kờnh nhị phõn độc lập [39]. Nếu là phộp gỏn nhón nhất dạng hỡnh học mức bit BGU, mỗi kờnh nhị phõn này được đặc trưng bởi một cự ly bit. Như vậy, kờnh thứ j, với j∈{1,..., }m , cú cự ly bit là dEj và năng lượng tương đương cho mỗi bit là Ebj =(dEj) / 42 .
Trong hệ thống hoỏn vị bit tổng thể, với giả thiết về gỏn nhón nhất dạng hỡnh học mức bit và hồi tiếp lý tưởng, mỗi bit trong chuỗi đầu ra của bộ hoỏn vị sẽ chọn (với xỏc suất 1/m) để truyền qua một kờnh nhị phõn cú năng lượng là Ebj =(dEj) / 42 , j∈{1,..., }m . Do đú, năng lượng điều chế trung bỡnh là
1 2 2
[(dE) + +L(dEm) ]/ 4m. Việc truyền một dấu lỳc này cú thể xem như là dựng liờn tiếp m kờnh nhị phõn, mỗi kờnh trong khoảng thời gian Tc =T mS/ , trong đú
S
T là thời gian dấu. Băng thụng kờnh truyền tương đương đỳng bằng băng thụng kờnh ban đầu. Nếu N0 là mật độ phổ tạp õm của hệ thống BICM-ID, thỡ mật độ phổ cụng suất tạp õm của mỗi kờnh nhị phõn tương đương là N0/m.
Nhận xột 1: Theo giả thiết BGU và IF thỡ phẩm chất BER của hệ thống
BICM-ID ở vựng sàn lỗi tương đương với phẩm chất của thuật toỏn giải mó ML của thành phần mó hệ thống đệ quy trờn kờnh AWGN với điều chế BPSK cú tỷ số tớn trờn tạp tương đương là: 2 * 0 1 0 1 ( ) 4 m j b E j E d RN N = ∑= (2.5)
Với một khung bit thụng tin đủ dài, tớnh tổng quỏt sẽ khụng mất đi khi ta giả thiết trạng thỏi kết thỳc toàn 0 cho mó RSC mà cỏc từ mó của nú tạo thành một mó khối tuyến tớnh. Do việc hoỏn vị là một biến đổi tuyến tớnh với mỗi từ mó, tại đầu ra của bộ hoỏn vị ta sẽ cú một mó khối khỏc. Ta cú thể đưa ra nhận xột sau đõy.
Nhận xột 2: Tớnh tuyến tớnh của mó và phộp gỏn nhón BGU của chũm
sao tớn hiệu (theo Định nghĩa 3) khẳng định rằng hệ thống BICM-ID đang xột cú tớnh chất xỏc suất lỗi bit đều (UBEP).