2.3.1 Đại số 2 gia tử
Thực tế các biến ngôn ngữ nói chung và theo tiếp cận của đại số gia tử nói riêng chỉ sai khác nhau các giá trị sinh nguyên thủy G = {c-, c+} và đây là đặc trưng mang tính phổ quát của chúng. Hơn nữa, tính độc lập ngữ cảnh của các gia tử và liên từ như AND, OR,... giúp chúng ta trong nghiên cứu và tìm kiếm mô hình cho các gia tử mà không quan tâm đến gia trị sinh nguyên thủy của các biến ngôn ngữ. Dựa trên những đặc trưng này, nhiều tác giả nghiên cứu đã xây dựng các mô hình
ứng dụng với tập các gia tử hầu như giống nhau và chỉ gồm một số ít các gia tử. Chẳng hạn trong [10] không sử dụng gia tử, các tác giả trong [12], [20], [46], [50], [53], [57], [60], [74] giới thiệu dùng 1 gia tử very hoặc medium, các tác giả trong [18], [48], [8] dùng 2 gia tử positive và negative hoặc very và less, trong [35], [39],
[52], [77] dùng từ 3 đến 4 gia tử.
Trong quá trình nghiên cứu và tiếp cận ĐSGT xây dựng mô hình giải bài toán phân lớp chúng tôi thấy rằng, ĐSGT chỉ gồm hai gia tử, một gia tử dương và một gia tử âm, sẽ có những đặc trưng rất quan trọng trong quá trình ứng dụng. Ta gọi đại số gia tử với hạn chế này là đại số 2 gia tử (ĐS2GT), ký hiệu A XA XA XA X2.
Bây giờ chúng ta khảo sát một số đặc trưng của ĐS2GT, theo hệ các tiên đề
cho đại số gia tử [37], [38] và không mất tính tổng quát, đặt gia tử âm là H- = {L}
và gia tử dương là H+ = {V}. Hàm dấu của các hạng từ trong ĐS2GT có thể tính trực tiếp mà không sử dụng dạng truy hồi như trong Định nghĩa 1.6, vì gia tử V là
69
dương đối với L và V, ngược lại gia tử L là âm đối với V và L. Ta có công thức tính là:
Sign(x) = Sign(hn...h1c) = (-1)NL(x)Sign(c), (2.5) trong đó hn, hn-1, ..., h1 ∈ {L, V} và NL(x) là số lượng các gia tử L có trong hạng từ
x.
Sau đây là mệnh đề khảo sát về kích thước của các tập Xk, X(k), Ik và I(k).
Mệnh đề 2.5. Cho A XA XA XA X2, kích thước các tập Xk, X(k), Ik, I(k)được tính như sau:
(1) |X1| = 5.
(2) |Xk| = 2k, với k > 1.
(3) |X(k)| = 1+2k+1.
Để ý rằng |Ik| = |Xk|, |I(k)| = |X(k)|.
Chứng minh. Trong ĐS2GT, hiển nhiên ta có tập X1 = {0, c-, W, c+, 1} ⇒ (1),
X2 = {Vc-, Lc-, Lc+, Vc+}. Với k > 2, Xk = {Lx, Vx : x ∈ Xk-1} ⇒ |Xk| = 2.|Xk-1| ⇒ (2).
Ta có |X(k)| = ∑i=1...k |Xk| = 5 + ∑i=2...k2k
= 3+∑i=1...k2k
= 3+(2.2k-2) = 1+2k+1⇒ (3).■ Đặc trưng rất quan trọng của ĐS2GT là có thể xây dựng hệ phân hoạch các khoảng tương tự của tập các hạng từ X(k) thay thế cho tập Xk và khẳng định được sự
tồn tại của hệ này (sẽ trình bày chi tiết ở phần sau). Trên cơ sở phân hoạch hệ
khoảng tương tự, phương pháp sinh hệ luật mờ được xây dựng với ngữ nghĩa gồm tập các hạng từ có độ dài không quá k. Điều này nhằm khắc phục được hạn chế của
ĐSGT tuyến tính thông thường là chỉ áp dụng được với tập hạng từ độ dài đúng k
(thuật toán IFRG1).
Một đặc điểm khác của ĐS2GT là việc áp dụng các phương pháp tìm kiếm tối
ưu tham số mờ gia tử có lợi thế giảm không gian tìm kiếm, vì chúng ta chỉ định nghĩa không gian tìm kiếm cho tham sốđộ đo tính mờ của phần tử sinh âm (fm(c-)) và độđo tính mờ của gia tử Little (µ(L)), để ý rằng fm(c+) = 1- fm(c-), µ(V) = 1-µ(L),
70
Từ những khảo sát trên đây, chúng ta sẽ xem xét chi tiết về những vấn đề liên quan đến ĐS2GT và ứng dụng trong việc xây dựng các mô hình giải bài toán phân lớp dựa trên hệ luật mờ.
2.3.2 Hệ khoảng tương tự trong A XA XA XA X2
Trong ĐS2GT, chúng ta xét tính kề nhau của các hạng từ. Theo định nghĩa về
khoảng tính mờ (Định nghĩa 1.8), hai khoảng tính mờ ℑ(x) và ℑ(y) được gọi là kề
nhau nếu chúng có một điểm mút chung, tức là lmp(ℑ(x)) = rmp(ℑ(y)) hoặc
rmp(ℑ(x)) = lmp(ℑ(y)), trong đó lmp và rmp là điểm mút trái và mút phải của khoảng tính mờ. Ta ký hiệu ℑ(x) |< ℑ(y) có nghĩa khoảng tính mờ ℑ(x) kề bên trái
ℑ(y), tức là rmp(ℑ(x)) = lmp(ℑ(y)). Để ý rằng chúng ta xét các khoảng tính mờ ở
dạng nửa đóng.
Ký hiệu Xk = {x1 < x2 < ... < xi < ...} và tương ứng tập Ik = {ℑk(x1) ≤ℑk(x2) ≤ ...
≤ℑk(xi) ≤ ...} với mỗi k = 1, 2,... Bây giờ chúng ta định nghĩa khoảng tính mờ tượng tự của các hạng từ như sau.
Định nghĩa 2.4. Cho A XA XA XA X2, ∀x ∈ X (k = len(x) là độ dài hạng từ x, được hiểu bao gồm phần tử sinh và các gia tử), khoảng tương tự bậc g (g ≥ 1) của x là khoảng
được tạo bởi hai khoảng tính mờ kề nhau trong cùng phân hoạch Im với m = k+g
chứa υ(x) làm điểm trong, ký hiệu Tg(x), được xác định như sau:
(1) Nếu x = 0 (υ(x) = 0) thì Tg(x) = ℑm(y1) ∈ Im và y1 là hạng từ có ngữ nghĩa bé nhất trong Xm hay 0 ∈ℑm(y1);
(2) Nếu x = 1 (υ(x) = 1) thì Tg(x) = ℑm(y2m) ∈ Im và y2m là hạng từ có ngữ nghĩa lớn nhất trong Xm hay 1 ∈ℑm(y2m);
(3) Nếu x ≠ 0 và x ≠ 1 (0 < υ(x) < 1) thì Tg(x) = ℑm(yi) ⊕ℑm(yi+1), với yi, yi+1∈
Xm và υ(x) = rmp(ℑm(yi)) = lmp(ℑm(yi+1)), hay ℑm(yi) |< ℑm(yi+1), trong đó ⊕ là phép nối hai khoảng tính mờ.
71
Định nghĩa này cho thấy một hạng từ có khoảng tượng tự bậc càng cao sẽ càng bị thu hẹp về tâm (giá trị υ) của hạng từđó: ta có ∀x ∈ X, g1 > g2, Tg1(x) ⊂ Tg2(x).
Hình 2.4 minh họa rõ khoảng tượng tự bậc g trong định nghĩa, trong đó T3(c+) ⊂
T2(c+) ⊂T1(c+).
Hình 2.4: Các khoảng tính mờ tượng tự của các hạng từ
Dựa trên khái niệm khoảng tương tự của các hạng từ trong định nghĩa trên, tiếp theo chúng ta định nghĩa tập các khoảng tương tự của tập các hạng từ có độ dài
không quá k và được gọi là hệ khoảng tương tự.
Định nghĩa 2.5. Cho A XA XA XA X2, một số k ≥ 1 nguyên, hệ khoảng tương tự của tập
X(k), ký hiệu S(k), là tập các khoảng tương tự của tất cả các hạng từ trong X(k), sao cho∀x ∈ X(k), Tg(x) ∈S(k), g+len(x) = k* không đổi (tức là ∀x ∈ X(k), Tg(x) được tạo bởi các khoảng tính mờ cùng mức phân hoạch Ik*) và S
(k) là một phân hoạch của [0,1].
Ta gọi S
(k) là hệ khoảng tương tự mức k, tương ứng với tập X(k). Hình 2.5 sau
đây minh họa cho Định nghĩa 2.5 với k=2.
Hình 2.5: Hệ khoảng tương tựS(2) của tập X(2) c- W c+ 1 0 Vc+ Lc+ VVc+ LVc+ LLc+ VLc+ T1(c+) T2(c+) T3(c+) T2(Vc+) T2(W) c- W c+ 1 0 T3(c+) T2(Vc+) T2(Lc+) T3(W) T2(Lc-) T3(c-) T2(Vc-) T3(0) T3(1) Lc+ Vc+ Lc- Vc- X(2) S(2)
72
Bổđề 2.1. Cho A XA XA XA X2, một số k ≥ 1 nguyên, X(k) = {x0 < ...< xi < ... x2k+1}, Xk+1 =
{y1 < y2 < ...< yi < ...}. Với ∀yi, yi+1 ∈ Xk+1, ∃xj ∈ X(k): yi < xj < yi+1, i = 1,2,... Khi đó, tập X(k+1) = X(k)∪ Xk+1 = { x0 < y1 < x1 < ... < xi-1 < yi < xi < ... < y2k+1 < x2k+1}.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.5, |X(k)| = 1+2k+1, |Xk+1| = 2k+1, điều này thỏa mãn mỗi cặp theo thứ tự trong X(k) tương ứng với một phần tử trong Xk+1. Bây giờ ta chứng minh ∀yi ∈ Xk+1, xi-1, xi ∈ X(k), i = 1, 2, ..., 2k+1 : xi-1 < yi < xi. Bằng phương pháp quy nạp, với trường hợp k=1, X(1) = {0, c-, W, c+, 1} và X2 = {Vc-, Lc-, Lc+,
Vc+}, rõ ràng X(2) = {0 < Vc- < c- < Lc- <W < Lc+< c+ < Vc+ < 1}, vậy k = 1 được khẳng định.
Giả sử trường hợp k > 1 đã khẳng định, ta chứng minh cho trường hợp k+1.
Theo giả thiết, X(k) = {x0 < ...< xi < ... x2k+1}, Xk+1 = {y1 < y2 < ...< yi < ... < y2k+1} và
X(k+1) = X(k) ∪ Xk+1 = {x0 < y1 < x1 < ... < xi-1 < yi < xi < ... < y2k+1 < x2k+1} (*). Trong
A X A X A X
A X2, tính Xk+2 = {Lyi, Vyi : ∀yi ∈ Xk+1} (bằng cách dùng hai gia tử {L,V} tác động lên mỗi hạng từ trong Xk+1). Dựa trên các tính chất của ĐSGT [34], [35], ∀yi ∈ Xk+1, ta có hoặc ΦΦΦΦyi < Lyi < yi < Vyi < ∑yi, hoặc ΦΦΦΦyi < Vyi < yi < Lyi < ∑yi, hơn nữa trong
X(k+1) ta cũng có xi-1<ΦΦΦΦyi < yi < ∑yi < xi, để ý rằng x0 = 0, x2k+1 = 1 (**). Từ (*) và (**) ta suy ra ∀z, z′∈ Xk+2, ∃xi-1, yi, xi ∈ X(k+1) : xi-1 < z < yi < z′< xi, trong đó z = Lyi,
z′ = Vyi, hoặc z = Vyi, z′ = Lyi, i = 1,2, ..., 2k+1. Vậy k+1 được khẳng định ⇒đpcm. ■
Tiếp theo chúng ta sẽ xây dựng hệ các khoảng tương tự của các hạng từ trong
ĐS2GT và khẳng định sự tồn tại của hệ này bằng định lý sau.
Định lý 2.1. Cho A XA XA XA X2, một số nguyên k ≥ 1, với tập X(k), tồn tại duy nhất một hệ các khoảng tương tự mức k, S(k) được tạo bởi phân hoạch các khoảng tính mờ
mức k+2, tức là Ik+2.
Chứng minh. Rõ ràng tập Ik+2 là một phân hoạch của [0,1] (Mệnh đề 1.3), vậy nếu S
(k) được tạo từ Ik+2 thỏa mãn là một phân hoạch của [0,1] (thỏa Định nghĩa 2.5). Ta chỉ cần chứng minh S(k)được tạo duy nhất từ phân hoạch Ik+2.
73
(i) Trước hết, chứng minh S(k) được tạo từ phân hoạch Ik+2. Bằng phương pháp quy nạp, với trường hợp k=1, ta có X(1) = {0, c-, W, c+, 1} và I3 = {ℑ(VVc-), ℑ(LVc-
), ℑ(LLc-), ℑ(VLc-), ℑ(VLc+), ℑ(LLc+), ℑ(LVc+), ℑ(VVc+)}. Theo Định nghĩa 2.4, hệ
khoảng tương tự của X(1) được xây dựng như sau, S(1) = {T2(0) = ℑ(VVc-), T2(c-) =
ℑ(LVc-) ⊕ℑ(LLc-), T2(W) = ℑ(VLc-) ⊕ ℑ(VLc+), T2(c+) = ℑ(LLc+) ⊕ ℑ(LVc+), T2(1)
= ℑ(VVc+)} (Hình vẽ 2.6), vậy k=1 được khẳng định.
Hình 2.6: Hệ khoảng tương tựS(1) của X(1)
Giả sử trường hợp k > 1 đã khẳng định, tức là S(k) của X(k)được tạo bởi Ik+2. Ta chứng minh cho trường hợp k+1. Để ý rằng Ik = {ℑ(yi) : ∀yi ∈ Xk}. Không mất tính tổng quát, theo tính chất của ĐSGT, giả sử các tập Xk, X(k) và Xk+2 được sắp thứ tự. Hệ khoảng tương tự của X(k)được xây dựng như sau, S(k) = {T(wi) = ℑ(y2i) ⊕ℑ(y2i+1)
: wi∈ X(k), y2i, y2i+1 ∈ Xk+2, i=1,2, ...,2k+1-1} ∪ {ℑ(y1), ℑ(y2k+2)}, điều này thỏa mãn vì theo Mệnh đề 2.5 ta có |S(k)| = |X(k)| = 1+2k+1 và |Xk+2| = 2k+2 ⇒ (|Xk+2|-2)/2 = 2k+1- 1 = |S(k)|-2, để ý rằng trong S(k), T(0) = ℑ(y1), T(1) = ℑ(y2k+2). Trong ĐS2GT, sinh các tập Xk+1 = {Lwi, Vwi : ∀wi ∈ Xk}, Xk+3 = {Lyi, Vyi : ∀yi ∈ Xk+2} (bằng cách dùng hai gia tử {L,V} tác động lên mỗi hạng từ trong Xk, Xk+2), tương ứng ta có Ik+3. Biết rằng X(k+1) = X(k)∪ Xk+1, X(k+2) = X(k+1)∪ Xk+2, X(k+3) = X(k+2)∪ Xk+3. Theo Bổđề 2.1, từ X(k) và Xk+1 ta có thứ tự tập X(k+1) = { ... < wi-1 < xi < wi < xi+1 < wi+1 < ... }, trong
đó wi-1, wi, wi+1 ∈ X(k), xi, xi+1 ∈ Xk+1, i = 1,2, ..., 2k+1-1. Tương tự, với xj-1, xj, xj+1 ∈
X(k+1), yj, yj+1 ∈ Xk+2, j = 1,2, ..., 2k+2-1, ta có thứ tự tập X(k+2) = { ... < xj-1 < yj < xj < yj+1 < xj+1 < ... }, và z2j-1, z2j, z2j+1, z2(j+1) ∈ Xk+3, suy ra thứ tự tập X(k+3) = { ... < xj-1 < z2j-1 < yj < z2j < xj < z2j+1 < yj+1 < z2(j+1) < xj+1 < ... }. Xây dựng tập S (k+1) = {T(xj) = c- W c+ 1 0 VVc+ LVc+ LLc+ VLc+ T2(c+) T2(W) VLc- LLc- LVc- VVc- T2(c-) T2(0) T2(1) X(1) S(1)
74
ℑ(z2j) ⊕ℑ(z2j+1) : xj ∈ X(k+1), z2j, z2j+1 ∈ Xk+3, j = 1,2, ..., 2k+2-1} ∪ {ℑ(z1), ℑ(z2k+3)},
để ý rằng trong S(k+1) có T(0) = ℑ(z1), T(1) = ℑ(z2k+3). Vậy trường hợp k+1 được khẳng định.
(ii) Chứng minh không tồn tại m ≥ 1, m ≠ 2, để S
(k) được tạo từ Ik+m. Theo Mệnh đề 2.1, |Ik+m| = 2k+m, |S
(k)| = |X(k)| = 1+2k+1, mặt khác, theo Định nghĩa 2.5 ta phải có 2(|S(k)|-2)+2 = |Ik+m|, hay 2(1+2k+1-2)+2= 2k+m⇔ 2k+2 = 2k+m⇔ m = 2.
Từ (i) và (ii) ⇒đpcm. ■
Theo Định nghĩa 2.5, với k ≥ 1, ∀x ∈ X(k), Tg(x) ∈S(k), ta xác định hai khoảng tương tự trong S(k) kề bên trái là Neigleft(Tg(x)) = Tg1(y), kề bên phải là
Neigright(Tg(x)) = Tg2(z) với y,z ∈ X(k) sao cho y < x < z và không tồn tại hạng từ z ∈
X(k) nằm giữa chúng, tức là lmp(Tg(x)) = rmp(Tg1(y)) và rmp(Tg(x)) = lmp(Tg2(z)).
Trường hợp x = 0, ta xác định Neigleft(Tg(0)) = ℑ(0) là khoảng tính mờ bé nhất trong
Ik+2, tương tự khi x = 1, Neigright(Tg(1)) = ℑ(1) là khoảng tính mờ lớn nhất trong Ik+2
(Hình 2.7).
Hình 2.7: Hệ phân hoạch các khoảng tương tự và láng giềng của chúng
Hệ quả 2.1. Cho A XA XA XA X2, một số k ≥ 1 nguyên, ∀v ∈ [0,1], luôn tồn tại duy nhất một hạng từ x ∈ X(k) xác định khoảng tương tự bậc g = 2+k-len(x), Tg(x) ∈S(k) và v
∈ Tg(x). c- W c+ 1 0 Vc+ Lc+ T3(c-) T2(Vc+) X(2) Vc- Lc- T2(Lc+) T3(W) T2(Lc-) T3(c-) T2(Vc-) T3(0) T3(1) Neigleft(T2(Lc-)) Neigright(T2(Lc-)) S(2)
75
Chứng minh. Dễ dàng suy ra từ tính phân hoạch của S(k) trong đoạn [0,1] (Định lý 2.1). ■
Hệ quả này cho thấy tính ứng dụng của hệ khoảng tương tựS(k) của A XA XA XA X2 trong các quá trình thực.
Bổ đề 2.2. Cho A XA XA XA X2, với u,v ∈ [0,1], u ≠ v và 0 < ε < |u-v|/6, ta có k =
1+logλ(ε/γ), trong đó λ = max{µ(L), µ(V)}, γ = max{fm(c-), fm(c+)}, để bộ ba giá trị ngôn ngữ x < y < z ∈ Xk thỏa υ(z) − υ(x) < |u-v|.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.4 trong [8], ∀r ∈ [0,1] và ε > 0 bé tùy ý, đều tồn tại giá trị ngôn ngữ x ∈ Xk với k = 1+logλ(ε/γ) thỏa |υ(x) − r| ≤ε.
Không mất tính tổng quát, giả sử u < v. Ta đặt η = (v-u)/6, r1 = u+η, r2 = u+3η
và r3 = u+5η (tức là r1, r2 và r3 là 3 điểm chia trong đoạn [u, v] thành 4 phần theo tỷ
lệ 1:2:2:1), vậy có x, y, z ∈ Xkđể |υ(x) – r1| ≤ε, |υ(y) – r2| ≤ε, |υ(z) – r3| ≤ε. Vì r1 <
r2 < r3 và ε < η nên υ(x) < υ(y) < υ(z) ⇒ x < y < z.
Hơn nữa r3 = r1+4η, suy ra υ(z) - υ(x) ≤ r3 - r1 + 2ε = 4η + 2ε⇒ υ(z) - υ(x) <
4η + 2η = 6η (để ý ε < η). Mặt khác, v-u = 6η nên ta có υ(z) - υ(x) < v-u, hay υ(z) -
υ(x) < |u-v| ⇒đpcm.■
Bổ đề này cho thấy chúng ta luôn xác định được bộ ba giá trị ngôn ngữ khác
nhau x, y, z ∈ Xk với k được xác định như trên, sao cho giá trịđịnh lượng ngữ nghĩa của chúng nằm giữa cặp u, v ∈ [0,1] bất kỳ. Ở đây giá trị ε đóng vai trò độ chính xác khi chúng ta xấp xỉ các điểm chia r1, r2 và r3 bằng các giá trị ngôn ngữ x, y và z
tương ứng. Rõ ràng khi ε càng bé thì mức phân hoạch k (Xk) càng lớn, và nó được giới hạn trên bởi 1/6 vì |u-v| ≤ 1.
Trong ĐS2GT, ta có 0.5 ≤ λ,γ < 1 vì µ(V) = 1-µ(L), fm(c+) = 1- fm(c-), nên mức phân hoạch k xác định trong bổ đề trên được giới hạn dưới bằng 1+log0.5((1/6)/0.5) = 3, tức là λ = γ = 0.5 và ε = 1/6.
76
Định lý 2.2. Cho A XA XA XA X2, với u,v ∈ [0,1], u ≠ v, và 0 < ε < |u-v|/6, ta có k =
1+logλ(ε/γ) để hệ khoảng tương tự mức k* = (k-2), tức là S(k*), tương ứng với tập
X(k*) sao cho u ∈T(x), v∈T(y), T(x), T(y) ∈S(k*) (hay x,y ∈ X(k*)) và x ≠ y.
Chứng minh. Theo Định lý 2.1, hệ khoảng tương tự mức k (S(k)) duy nhất được tạo bởi hệ khoảng tính mờ mức k+2 (Ik+2). Ở đây hệ S(k*) được tạo bởi hệ khoảng tính mờ Ik với k = 1+logλ(ε/γ) và k* = k-2.
Theo Định nghĩa 2.5 về hệ khoảng tương tự, ∀x ∈ X(k*), T(x) ∈ S(k*), υ(x) ∈
T(x) = ℑ(y) ⊕ℑ(z), với ℑ(y), ℑ(z) ∈ Ik và chúng kề nhau. Để ý T(0) = ℑ(w′) và T(1)
= ℑ(w″), với w′ và w″ tương ứng là hai giá trị ngôn ngữ bé nhất và lớn nhất trong
Xk. Từ Bổđề 2.2, chúng ta luôn xác định y < z < w ∈ Xk thỏa υ(w) - υ(y) < |u-v|, suy ra u < υ(y) < υ(z) < υ(w) < v, giả sử u < v không mất tính tổng quát. Để ý rằng υ(y)
∈ℑ(y), υ(z) ∈ℑ(z), υ(w) ∈ℑ(w) và ℑ(y) ≤ℑ(z) ≤ℑ(w), ta có các trường hợp sau:
(i) Trường hợp ℑ(y) ⊆ T(x1), ℑ(z) ⊆ T(x2), ℑ(w) ⊆ T(x3), với x1 ≠ x2 ≠ x3 ∈
X(k*). Suy ra u ∈ T(x1) hoặc u ∈ T(x′1) với x′1 < x1, và v ∈T(x3) hoặc v ∈ T(x′3) với
x′3 > x3.
(ii) Trường hợp ℑ(y)⊕ℑ(z) = T(x1), ℑ(w) ⊆T(x2), với x1 ≠ x2 ∈ X(k*). Suy ra u
∈T(x1) hoặc u ∈T(x′1) với x′1 < x1, và v ∈T(x2) hoặc v ∈T(x′2) với x′2 > x2.
(iii) Trường hợp ℑ(y) ⊆T(x1), ℑ(z)⊕ℑ(w) = T(x2), với x1 ≠ x2∈ X(k*). Suy ra u
∈T(x1) hoặc u ∈T(x′1) với x′1 < x1, và v ∈T(x2) hoặc v ∈T(x′2) với x′2 > x2. Từ (i), (ii) và (iii) ⇒đpcm.■
Định lý này cho thấy khả năng phân hoạch mọi điểm trong [0,1] của hệ
khoảng tương tự trong A XA XA XA X2.
Hệ quả 2.2. Cho A XA XA XA X2, với một tập con E ⊂ [0,1]1, luôn tồn tại hệ phân hoạch tương tự mức k - S(k) tương ứng tập giá trị ngôn ngữ X(k) sao cho ∀u,v ∈ E, u ≠ v,
77
Chứng minh. Dễ dàng suy ra từĐịnh lý 2.2 bằng cách đặt k = max{ ki : kiđược xác định bằng k* trong Định lý 2.2 cho mọi cặp u,v ∈ E, u ≠ v, với εiđược chọn sao cho 0 < εi < |u-v|/6}.■
Từ hệ quả trên chúng ta thấy rằng với bất kỳ miền thực nào, nếu lấy mẫu tạo thành một tập hữu hạn E tùy ý, luôn xây dựng được một hệ phân hoạch các khoảng tượng tự trong ĐS2GT để phân hoạch và xấp xỉ tập E đó. Tức là, mỗi mẫu trong E
sẽ xác định một hạng từ duy nhất trong phân hoạch tương ứng với khoảng tương tự
chứa nó. Điều này đem lại khả năng ứng dụng rất lớn của ĐS2GT trong việc xây dựng các mô hình giải bài toán phân lớp, sẽđược giới thiệu ở phần sau.
2.3.3 Thuật toán sinh luật mờ dựa trên hệ khoảng tương tự
Trong ĐS2GT, dựa trên hệ khoảng tương tự của tập X(kj), chúng ta áp dụng lưới phân hoạch để sinh hệ luật mờ theo lược đồ đã trình bày trong Mục 2.1. Trước hết, mỗi hạng từ trong tập X(kj) = { xj,0, xj,1, ..., xj,i-1, xj,i, xj,i+1, ..., xj,1+2kj+1} được thiết kế hàm định lượng ngữ nghĩa theo dạng tam giác µ(xj,i)(v) (công thức 2.6) sao cho giá trị hàm càng gần tâm υ(xj,i) thì càng cao và bằng 1 tại tâm, nó sẽ bằng 0 nếu vượt ra ngoài tâm của hai hạng từ láng giềng của xj,i trong tập X(kj) (Hình 2.8):
Hình 2.8: Hàm định lượng dạng tam giác của các hạng từ trong ĐS2GT
− − − − = + + − − 0 , ) ( ) ( ) ( max , 0 , )