Một hàm giá trị phức f xác định trên Qnp được gọi là hằng địa phương nếu với mọi x ∈ Qn
cho f(x+y) = f(x) với mọi y ∈ Bl(x). Ký hiệu E = E(Qnp) là tập hợp tất cả các hàm hằng địa phương trên Qnp. Ví dụ các hàm χ(x), Ω(|x|p), |x|p thuộc không gian E. Sự hội tụ trong E được định nghĩa như sau: fj → 0
trong E khi j → ∞, nếu với mọi tập compact E trong Qnp thì dãy {fj} hội tụ đều đến 0 trên E khi j → ∞.
Ký hiệu D = D(Qnp) là tập tất cả các hàm thuộc không gian E có giá compact. Mỗi hàm ϕ trong không gian D thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
(i) Tồn tại số nguyên k để ϕ(x+y) = ϕ(x) với mọi x ∈ Qn
p và y ∈ Bk; (ii) Tồn tại số nguyên N sao cho ϕ(x) = 0 với mọi x /∈ BN.
Không gian D được gọi là không gian các hàm thử (hay gọi là các hàm cơ bản). Sự hội tụ trong D được hiểu như sau: ϕj →0 trong D nếu tồn tại một cặp số nguyên (k, N) sao cho các hàm ϕj đều là hàm hằng trên các tập x+ Bk, có giá nằm trong hình cầu BN và dãy {ϕj} hội tụ đều đến 0 trên Qnp. Khi đó D là không gian đầy đủ và khả ly.
Cho 1 ≤ q < ∞ và O là một tập mở khác rỗng trong Qnp. Ký hiệu
Lqloc(O) là không gian các hàm giá trị phức khả tích địa phương bậc q
trên O. Không gian Lq(O) gồm các hàm đo được, giá trị phức xác định trên O thỏa mãn kfkLq(O) = Z O |f(x)|qdx 1 q < ∞. (1.7)
Trường hợp q = ∞, không gian L∞(O) là tập hợp tất cả các hàm giá trị phức đo được, bị chặn hầu khắp nơi trên O với chuẩn xác định bởi kfkL∞(O) = esssupx∈O|f(x)|. Khi O = Qnp, ta ký hiệu đơn giản
kfkq := kfkLq(Qn
p) với 1≤ q ≤ ∞.
Mệnh đề 1.5.1. ([77, trang 83]) D(Qnp) là trù mật trong Lq(Qnp) với mọi 1 ≤q < ∞.
Ký hiệu D0(Qnp) là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trênD(Qnp)và được gọi là không gian các hàm suy rộng trênQnp. Tác động của một hàmf ∈ D0(Qnp) lên một hàmϕ ∈ D(Qnp) được ký hiệu là(f, ϕ). Nếu f và g là hai hàm suy rộng và α, β là hai số phức bất kỳ thì αf+βg
cũng là một hàm suy rộng xác định bởi (αf+βg, ϕ) =α(f, ϕ) +β(g, ϕ). Sự hội tụ trong D0(Qnp) được hiểu theo nghĩa hội tụ yếu của phiếm hàm, nghĩa là dãy {fj} hội tụ về 0 trong D0(Qpn) nếu (fj, ϕ) → 0, j → ∞ với mọi ϕ ∈ D(Qnp). Khi đó D0(Qnp) cũng là một không gian đầy đủ. Ngoài ra, không gian D(Qnp) là trù mật trong D0(Qnp).
Định nghĩa 1.5.2. ([77, trang 99]) Với mỗi hàm ϕ ∈ D(Qnp), biến đổi Fourier của hàm ϕ, ký hiệu là Fϕ, được xác định bởi
Fϕ(ξ) =
Z
Qnp
χ(ξx)ϕ(x)dx, ξ ∈ Qnp. (1.8)
Mệnh đề 1.5.3. ([77, trang 100]) Biến đổi Fourier là một đồng phôi từ không gian D(Qnp) vào chính nó với biến đổi Fourier ngược được xác định bởi
F−1ϕ(x) =
Z
Qnp
χ(−ξx)ϕ(ξ)dξ, x∈ Qnp. (1.9)
Cho f là một hàm suy rộng trên Qnp. Biến đổi Fourier của f, cũng ký hiệu là Ff, được định nghĩa bởi quy tắc (Ff, ϕ) = (f,Fϕ) với mọi
ϕ ∈ D(Qnp). Khi đó biến đổi Fourier cũng là một đồng phôi từ D0(Qnp)
vào chính nó và biến đổi Fourier ngược được xác định bởi công thức
(F−1f, ϕ) = (f,F−1ϕ) với mọi ϕ ∈ D(Qnp). Nếu f ∈ L1(Qnp) thì Ff có công thức tương tự như trong (1.8). Với mỗi f ∈ L2(Qnp), biến đổi Fourier của hàm f được xác định như là giới hạn trong không gian L2(Qnp) của
F(f χBk) khi k → ∞, trong đó χBk ký hiệu là hàm đặc trưng của hình cầu Bk. Khi đó biến đổi Fourier là một đẳng cấu đẳng cự từ L2(Qnp) vào chính nó.
Cho f ∈ D0(Qnp) và g ∈ D0(Qmp ). Tích trực tiếp f × g ∈ D0(Qnp+m)
được xác định bởi công thức
(f(x)×g(y), ϕ(x, y)) = (f(x),(g(y), ϕ(x, y))), ϕ ∈ D(Qnp+m). (1.10) Cho f, g ∈ D0(Qnp). Tích chập f ∗g của hai hàm suy rộng f và g được xác định bởi
(f ∗g, ϕ) = lim
γ→∞(f(x)×g(y),Ω(p−γ|x|p)ϕ(x+ y)),
nếu giới hạn là tồn tại với mọi ϕ ∈ D(Qnp). Các phép toán tích trực tiếp, tích chập là giao hoán. Nếu g ∈ D(Qnp) thì tích chập f ∗g xác định như một hàm trong Qnp và ta có(f∗g)(x) = (f(y), g(x−y)) với x∈ Qn
p. Đặc biệt, nếu f ∈ L1loc(Qnp) và ϕ ∈ D(Qnp) thì (f ∗ϕ)(x) = R
Qnp
f(y)ϕ(x−y)dy
với x ∈ Qn p.
Toán tử giả vi phân p-adic A trong một tập mở O trong không gian
Qnp được xác định bởi Aψ(x) =
Z
Qnp
trong đó hàm ψ : O → C có thể mở rộng trên toàn bộ Qnp, bằng 0 ngoài O. Hàm giá trị phức a(ξ, x), với ξ ∈ Qn
p, x ∈ O, được gọi là biểu trưng của toán tử A. Một trong những toán tử giả vi phân p-adic quan trọng là toán tử giả vi phân có biểu trưng |ξ|α
p (α > 0).