Giả sử (X, µ) là một không gian đo. Cho 0 < q ≤ ∞. Không gian yếu-
Lq(X, µ), ký hiệu là Lq,∞(X, µ), được xác định là tập tất cả các hàm
µ-đo được f thỏa mãn
kfkLq,∞(X,µ) = inf C > 0 : df(α) ≤ C q αq với mọi α > 0 (1.12)
hữu hạn, trong đó df(α) = µ({x ∈ X : |f(x)| > α}). Ta kí hiệu
L∞,∞(X, µ) = L∞(X, µ). Khi đó Lq,∞(X, µ) là một không gian đầy đủ với tựa chuẩn k · kLq,∞(X,µ).
Giả sử T là một toán tử xác định trên không gian các hàm đo được, giá trị phức trên không gian đo (X, µ) và lấy giá trị trong tập các hàm đo được, giá trị phức, hữu hạn hầu khắp nơi trên một không gian đo
(Y, ν). Nếu
T(f +g)(x) =T f(x) +T g(x), và T(αf)(x) =αT f(x),
với mọi hàm đo được f, g, với mọiα ∈ Cvà x ∈ X, thì T được gọi là toán tử tuyến tính. Nếu |T(f + g)(x)| ≤ |T f(x)|+ |T g(x)| và |T(αf)(x)| =
|α||T f(x)|, thì T được gọi là toán tử dưới tuyến tính.
Một toán tử bị chặn từ không gian Lq(X, µ) vào Lr(Y, ν) được gọi là loại mạnh (q, r) và nếu toán tử bị chặn Lq(X, µ) vào Lr,∞(Y, ν) thì được
gọi là loại yếu (q, r).
Định lý 1.6.1. (Định lý nội suy Marcinkiewicz [31, trang 31])
Cho (X, µ) và (Y, ν) là các không gian đo, T là một toán tử dưới tuyến tính xác định trên không gian Lq0(X, µ) +Lq1(X, µ) với 1 ≤ q0 < q1 ≤ ∞ và nhận giá trị trong không gian các hàm ν-đo được trên Y. Giả sử tồn tại hai hằng số dương A0, A1 thỏa mãn
kT fkLq0,∞(Y,ν) ≤ A0kfkLq0(X,µ), với mọi f ∈ Lq0(X, µ),
kT fkLq1,∞(Y,ν) ≤ A1kfkLq1(X,µ), với mọi f ∈ Lq1(X, µ).
Khi đó, với mọi q0 < q < q1 và với mọi f ∈ Lq(X, µ), tồn tại hằng số dương A không phụ thuộc vào f sao cho
kT fkLq(Y,ν) ≤ AkfkLq(X,µ).
Nói cách khác, nếu T là toán tử loại yếu (qi, qi) với i = 0,1, thì T là toán tử loại mạnh (q, q) với mọi q0 < q < q1.
Định lý 1.6.2. (Định lý nội suy Riesz-Thorin [31, trang 34-35])
Cho (X, µ) và (Y, ν) là các không gian đo, T là một toán tử tuyến tính xác định trên các không gian Lr0(X, µ) + Lr1(X, µ) với 1 ≤ r0, r1 ≤ ∞ và nhận giá trị trong không gian các hàm ν-đo được trên Y. Giả sử tồn tại hai hằng số dương M0, M1 thỏa mãn
kT fkLq0(Y,ν) ≤ M0kfkLr0(X,µ), với mọi f ∈ Lr0(X, µ),
trong đó 1≤ q0, q1 ≤ ∞. Khi đó, với mọi 0< θ < 1, ta có
kT fkLq(Y,ν) ≤ M01−θM1θkfkLr(X,µ), với mọi f ∈ Lr(X, µ),
ở đây 1 q = 1−θ q0 + θ q1 và 1 r = 1−θ r0 + θ r1.
Với mỗi hàmf ∈ L1loc(Qnp), hàm cực đại Hardy-Littlewood của f được xác định bởi công thức M f(x) = sup γ∈Z 1 pnγ Z x+Bγ |f(y)|dy, x ∈ Qnp. (1.13)
Mệnh đề 1.6.3. ([71, trang 29]) (i) Toán tử cực đại Hardy-Littlewood là loại yếu (1,1) và loại mạnh (q, q) với 1< q ≤ ∞.
(ii) Nếu f ∈ L1loc(Qnp) thì với hầu khắp x ∈ Qn
p ta có lim γ→−∞ 1 pnγ Z x+Bγ f(y)dy = f(x).
Chương 2
TOÁN TỬ TÍCH PHÂN SÓNG NHỎ TRÊN MỘT SỐ KHÔNG
GIAN HÀM
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính bị chặn của toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov, BMO và H1(Rn). Hơn nữa, với giả thiết các sóng nhỏ cơ sở có giá compact nằm trong một hình cầu có tâm tại gốc, chúng tôi cũng đưa ra tính bị chặn của toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov và BMO có trọng ứng với lớp hàm trọng ôn hòa. Từ đó chúng tôi thu được dáng điệu tiệm cận của toán tử tích phân sóng nhỏ ứng với tham biến thang bậc a nhỏ. Nội dung của chương này dựa trên bài báo thứ nhất thuộc danh mục công trình đã công bố liên quan đến luận án.
2.1 Giới thiệu
Từ lâu, người ta đã ứng dụng biến đổi tích phân Fourier vào lĩnh vực phân tích và xử lý tín hiệu. Để tìm hiểu về thông tin phổ của tín hiệu,
người ta sử dụng biến đổi tích phân Fourier của hàm f ∈ L2(R) (gọi là một tín hiệu có năng lượng hữu hạn) có công thức fb(ξ) =R
R
e−iξtf(t)dt,
ở đó t, ξ được hiểu là biến thời gian và tần số tương ứng của tín hiệu. Nếu sử dụng phép biến đổi Fourier để lấy ra được thông tin về phổ của tín hiệu f thì ta phải quan sát tín hiệu f trên toàn bộ biến thời gian t, nghĩa là thông tin nhận được từ việc quan sát tín hiệu trong một khoảng thời gian nào đó không đủ để kết luận về phổ của tín hiệu (xem [15]).
Để khắc phục nhược điểm của biến đổi Fourier, từ đầu những năm thập kỷ 40 của thế kỷ trước, Dennis Gabor đã đưa ra phép biến đổi Fourier cửa sổ (còn gọi là biến đổi Gabor), mục đích là đưa việc nghiên cứu phổ từ chỗ khắp trên toàn bộ đường thẳng thời gian về một cửa sổ thời gian "tốt" theo một nghĩa nào đó, bằng cách nhân thêm biểu thức dưới dấu tích phân của fb(ξ) một hàm Gauss như sau
gα(t) = 1 2√
παe
−t2
4α, với α > 0. (2.1)
Khi đó phép biến đổi Gabor có công thức là
(Gαbf)(ξ) =
Z
R
e−iξtf(t)gα(t−b)dt. (2.2)
Phép biến đổi Gabor (Gαbf)(ξ) đã địa phương hoá biến đổi Fourier của f
xung quanh thời gian t= b. Hơn nữa, từ R
R(Gαbf)(ξ)db = fb(ξ), dẫn đến tập hợp {Gαbf : b ∈ R} cho ta một phân tích chính xác về phổ của tín hiệu f và cung cấp thông tin phổ địa phương (xem [15, trang 50]). Tuy nhiên khi sử dụng biến đổi Gabor để nghiên cứu về phổ của tín hiệu, người ta thấy rằng mặc dù đã đưa về nghiên cứu trên một cửa sổ thời gian, song cửa sổ thời gian ấy lại có độ rộng không thay đổi với bất kỳ
tần số nào. Do vậy đối với những tín hiệu có tần số thấp hoặc tần số cao việc nghiên cứu phổ sẽ có hiệu quả thấp. Như vậy, cần phải xây dựng một phép biến đổi mà sao cho cửa sổ tần số - thời gian linh hoạt, nghĩa là cửa sổ thời gian tự động giãn ra khi phân tích các tín hiệu có tần số thấp và sẽ co lại đối với các tín hiệu có tần số cao. Xuất phát từ những ý tưởng đó, C. K. Chui [15] (cũng xem [64], [69]) đã giới thiệu khái niệm phép biến đổi tích phân sóng nhỏ được đề xuất bởi A. Grossman, J. Morlet, T. Paul trong [32] cho các hàm f ∈ L2(R) như sau
(Wψf)(a, b) = p1 |a| Z R f(t)ψ t−b a dt, (2.3)
trong đó a ∈ R\{0} = R∗ và ψ là một sóng nhỏ cơ sở, nghĩa là ψ
là một hàm không tầm thường thuộc L2(R) thoả mãn điều kiện sau
Cψ = R
R
|ψb(ξ)|2
|ξ| dξ < ∞. Phép biến đổi tích phân sóng nhỏ đã giúp các nhà phân tích tín hiệu giải quyết được vấn đề đặt ra ở bên trên. Một trong các tính chất quan trọng của biến bổi tích phân sóng nhỏ là đẳng thức Parseval và công thức ngược. Ký hiệu L2(R × R∗, dadba2 ) là không gian gồm tất cả các hàm số F(a, b) đo được trên R×R∗ thỏa mãn
Z R Z R∗ |F(a, b)|2dadb a2 < ∞. (2.4)
Khi đó L2(R×R∗, dadba2 ) là một không gian Hilbert có tích vô hướng được xác định bởi hF, GiW = Z R Z R∗ F(a, b)G(a, b)dadb a2 .
Với mọi f, g ∈ L2(R), chúng ta có đẳng thức Parseval
Đặt biệt, nếu g = f, ta có công thức Plancherel kWψfkW = pCψkfk2. Ngoài ra, nếu đặt Lψ = √1
CψWψ thì toán tử Lψ là một phép đẳng cự từ
L2(R) vào L2(R×R∗,dadba2 ). Hơn nữa, ta cũng có công thức ngược cho biến đổi tích phân sóng nhỏ như sau
f(x) = 1 Cψ Z R Z R∗ {(Wψ)f(a, b)} |a|−12ψ x−b a dadb a2 , (2.6) ở đây bằng nhau hiểu theo nghĩa trong không gian L2(R).
Về mặt toán học Wψ là một toán tử tích phân xác định trong không gian Hilbert L2(R), do đó một vấn đề tự nhiên đặt ra là nghiên cứu biến đổi tích phân sóng nhỏ Wψ trong các không gian hàm khác. Năm 1991, A. Rieder [64] đã mở rộng nghiên cứu biến đổi tích phân sóng nhỏ Wψ
trong các không gian Sobolev và đồng thời cũng đưa ra dáng điệu tiệm cận cho các biến đổi tích phân sóng nhỏ ứng với các tham biến thang bậc a nhỏ. Năm 1996, các tác giả V. Perrier và C. Basdevant [61] đã mở rộng nghiên cứu biến đổi tích phân sóng nhỏ trong các không gian Lebesgue Lq(R) với 1 < q < ∞. Đặc biệt, họ đã đưa ra một đặc trưng mới cho không gian Besov theo các biến đổi tích phân sóng nhỏ. Biến đổi tích phân sóng nhỏ cũng được nghiên cứu trên các không gian hàm suy rộng, các không gian hàm có trọng (xem [14], [60], [59]). Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov, BMO, Hardy và các không gian Besov, BMO có trọng ứng với lớp hàm trọng ôn hòa.
Trong chương này, chúng tôi xét các sóng nhỏ cơ sở ψ như là các hàm không tầm thường thuộc không gian L1(Rn). Khi đó toán tử tích phân sóng nhỏ của một hàmf ứng với sóng nhỏ cơ sởψ được xác định bởi
(Wψf)(a, b) = p1 |a|n Z Rn f(t)ψ t−b a dt, (2.7)
trong đó a là số thực khác không và b thuộc không gian Rn.
2.2 Toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov, BMO và Hardy
Với bất kỳ f ∈ L`(Rn), 1 ≤ ` ≤ ∞, L`(Rn)-môđun liên tục của một hàm f được định nghĩa bởi
ω`(f, h) =kf(·+h)−f(·)k`,
trong đó h ∈ Rn. Rõ ràng, với mọi h ∈ Rn ta có ω`(f, h) ≤ 2kfk`. Hơn nữa, với ` ∈ [1,∞) ta có ω`(f, h) →0 khi h →0.
Định nghĩa 2.2.1. ([67, trang 150-151]) Cho 0 < α < 1,1 ≤ ` ≤ ∞,1 ≤ q ≤ ∞. Không gian Besov B`α,q(Rn) được định nghĩa như là tập hợp tất cả các hàm f ∈ L`(Rn) sao cho Z Rn [ω`(f, h)]q dh |h|n+αq < ∞ với q < ∞, và |h|−αω`(f, h) ∈ L∞(Rn\{0})
với q = ∞, trong đó |h| là chuẩn Euclide của h trong Rn.
Khi đó không gian Besov B`α,q(Rn) là một không gian Banach với chuẩn được xác định bởi
kfkBα,q ` = kfk` + Z Rn [ω`(f, h)]q dh |h|n+αq 1 q (2.8) với q < ∞, và kfkBα,∞ ` = kfk`+ k|h|−αω`(f, h)k∞ (2.9)
với q = ∞.
Với α = 1, không gian B`1,q(Rn), 1≤ `, q ≤ ∞, cũng được định nghĩa tương tự như trên, nhưng lúc này L`(Rn)-môđun liên tục của hàm f
được xác định lại như sau ω`(f, h) = kf(·+ h) +f(· −h)−2f(·)k`.
Chúng ta biết rằng khi ` = q = 2, 0 < α < 1, không gian B2α,2(Rn)
trở thành không gian Sobolev Hα(Rn), và khi ` = q = ∞ thì không gian
B∞α,∞(Rn) chính là không gian H¨older trong trường hợp 0 < α < 1 và là không gian Zygmund trong trường hợp α = 1 (chi tiết hơn có thể xem trong tài liệu [67, trang 150-153]).
Định lý 2.2.2. Cho 0< α ≤1, 1 ≤ `, q ≤ ∞. Khi đó với mỗi a 6= 0 cố định, toán tử
Wψ : B`α,q(Rn) −→B`α,q(Rn)
f 7−→(Wψf)(a,·)
là tuyến tính bị chặn. Hơn nữa, ước lượng sau là đúng k(Wψf)(a,·)kBα,q
` ≤ |a|n2kψk1kfkBα,q
` . (2.10)
Chứng minh. Trước hết với mỗia 6= 0cố định, ta sẽ chứng minh(Wψf)(a,·) ∈
B`α,q(Rn). Đặt ψa(x) = p1 |a|nψ x a , ta có (Wψf)(a,·) = (ψ−a ∗f)(·). Áp dụng bất đẳng thức Young, chúng ta có k(Wψf)(a,·)k` ≤ |a|n2kψk1kfk`. (2.11) Mặt khác bằng cách đổi biến x = t−b a , ta có (Wψf)(a, b) = |a|n2 Z Rn f(ax+b)ψ(x)dx.
Với 0< α < 1,1 ≤ ` < ∞, bởi bất đẳng thức Minkowski, chúng ta có ω`((Wψf)(a,·), h) =k(Wψf)(a,·+h)−(Wψf)(a,·)k` = |a|n2 Z Rn Z Rn [f(ax+b+h)−f(ax+b)]ψ(x)dx ` db 1 ` ≤ |a|n2 Z Rn |ψ(x)| Z Rn |f(ax+b+h)−f(ax+ b)|`db 1` dx ≤ |a|n2kψk1ω`(f, h).
Trường hợp ` = ∞, ta cũng nhận được kết quả tương tự. Từ đó với
q < ∞, có Z Rn [ω`((Wψf)(a,·), h)]q dh |h|n+αq 1q ≤ |a|n2kψk1 Z Rn [ω`(f, h)]q dh |h|n+αq 1q , (2.12) và với q = ∞ cũng có k|h|−αω`((Wψf)(a,·), h)k∞ ≤ |a|n2kψk1k|h|−αω`(f, h)k∞. (2.13) Từ (2.11), (2.12) và (2.13) chúng ta có được (2.10). Trường hợp α = 1
cũng được chứng minh tương tự như trên nhưng chú ý L`(Rn)-môđun liên tục của f lúc này là ω`(f, h) = kf(·+h) +f(· −h)−2f(·)k`. Như vậy, Định lý 2.2.2 hoàn toàn được chứng minh.
Tương tự như trong [64], từ kết quả của Định lý 2.2.2 chúng ta cũng có hệ quả sau đây.
Hệ quả 2.2.3. Nếu ψ là một sóng nhỏ cơ sở và f ∈ B`α,q(Rn) thì k(Wψf)(a,·)kBα,q
` = O(|a|n2).
tử tích phân sóng nhỏ ứng với tham biến thang bậc a nhỏ trong không gian Besov, nghĩa là lima→0kWψ(a,·)kBα,q
` →Bα,q` = 0.
Tiếp theo, chúng ta xét B`α,q(Rn)−khoảng cách của hai toán tử tích phân sóng nhỏ ứng với các sóng nhỏ cơ sở khác nhau, qua đó cho chúng ta thấy được sự phụ thuộc vào các sóng nhỏ cơ sở và các hàm biến số của toán tử tích phân sóng nhỏ đó.
Định lý 2.2.4. Nếu ψ, φ là các sóng nhỏ cơ sở và f, g ∈ B`α,q(Rn) thì k(Wψf)(a,·)−(Wφg)(a,·)kBα,q ` ≤ |a|n2(kψ−φk1kfkBα,q ` +kφk1kf −gkBα,q ` ).
Chứng minh. Bởi bất đẳng thức tam giác, ta có k(Wψf)(a,·)−(Wφg)(a,·)kBα,q ` ≤ k(Wψf)(a,·)−(Wφf)(a,·)kBα,q ` + +k(Wφf)(a,·)−(Wφg)(a,·)kBα,q ` . (2.14) Có (Wψf)(a,·)−(Wφf)(a,·) = (ψ−a∗f)(·)−(φ−a ∗f)(·) = ((ψ−a−φ−a)∗f)(·), do đó k(Wψf)(a,·)−(Wφf)(a,·)k` ≤ |a|n2kψ−φk1kfk`. Ngoài ra, ta cũng có (Wψf)(a, b)−(Wφf)(a, b) = |a|n2 Z Rn [ψ(x)−φ(x)]f(ax+b)dx,
từ đó bằng cách chứng minh tương tự như trong Định lý 2.2.2, ta có k(Wψf)(a,·)−(Wφf)(a,·)kBα,q
` ≤ |a|n2kψ−φk1kfkBα,q
Tương tự như trên, từ (Wφf)(a,·)−(Wφg)(a,·) = (φ−a∗(f −g))(·), ta cũng có đánh giá k(Wφf)(a,·)−(Wφg)(a,·)kBα,q ` ≤ |a|n2kφk1kf −gkBα,q ` . (2.16) Từ (2.14), (2.15) và (2.16), ta có điều cần chứng minh.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày định nghĩa của không gian Hardy, không gian BMO và không gian VMO. Giả sử ϕ là một hàm thuộc không gian Schwartz sao cho tích phân của ϕ trên toàn bộ không gian
Rn là khác không. Ký hiệu ϕt(x) = 1 tnϕ x t trong đó t > 0, x ∈ Rn.
Định nghĩa 2.2.5. ([68, trang 91]) Cho 0 < ` < ∞. Không gian Hardy H`(Rn) là tập hợp tất cả các hàm suy rộng f ∈ S0(Rn) sao cho
kfkH` = Z Rn (sup t>0 |(f ∗ϕt)(x)|)`dx 1 ` < ∞. (2.17)
Khi 1 ≤ ` < ∞ thì H`(Rn) là một không gian Banach, và hơn nữa ta có H1(Rn) ⊂ L1(Rn) và H`(Rn) = L`(Rn) với ` > 1. Trường hợp
0 < ` < 1, H`(Rn) là một không gian đầy đủ với tựa chuẩn xác định bởi (2.17) và là không gian khả metric với metric được xác định bởi
d(f, g) = kf −gk`
H`, với mọi f, g ∈ H`(Rn). Chú ý rằng với các hàm Schwartz ϕ khác nhau thì kfkH` trong (2.17) đều tương đương với nhau và cùng tương đương với ku∗k`, trong đó u∗ được xác định bởi u∗(x) =
sup
|x−y|<t
u(x, t) = (f ∗Pt)(x), ở đây P(x) = cn (1 +|x|2)(n+1)/2, Pt(x) = 1 tnP x t ,
và cn là hằng số chỉ phụ thuộc vào số chiều không gian n.
Định nghĩa 2.2.6. ([68, trang 140]) Không gianBM O(Rn)(bounded mean oscillation) là tập hợp tất cả các hàm f ∈ L1loc(Rn) sao cho
kfkBM O = sup B⊂Rn 1 |B| Z B |f(x)−fB|dx < ∞, (2.18)
trong đó |B| là độ đo Lebesgue của hình cầu B trong Rn và fB là giá trị trung bình của hàm f trên B, nghĩa là fB = |B1| R
B
f(x)dx.
Trong không gian BM O(Rn), hai hàm f(x) và g(x) được gọi là bằng nhau nếu f(x)−g(x) = C hầu khắp nơi trong không gian Rn, với C là một hằng số nào đó. Một kết quả kinh điển của Charles Fefferman trong [26] chỉ ra rằng không gian BM O(Rn) là đối ngẫu của không gian Hardy
H1(Rn). Do đó BM O(Rn) là một không gian Banach. Có thể nói không gian BM O(Rn) là một mở rộng thực sự của không gian L∞(Rn), bởi lẽ dễ thấy rằng mọi hàm mà thuộc L∞(Rn) đều thuộc BM O(Rn), tuy nhiên hàm ln|x| ∈ BM O(Rn) nhưng không thuộc L∞(Rn). Chúng ta cũng biết rằng H1(Rn) là một trong những ví dụ về không gian Banach khả ly và không phản xạ.
Định nghĩa 2.2.7. ([68, trang 180]) Không gian V M O(Rn) (vanish- ing mean oscillation) là tập hợp tất cả các hàm f ∈ BM O(Rn) sao cho
lim →0 sup |B|≤ 1 |B| Z B |f(x)−fB|dx = 0. (2.19)
gian BM O(Rn). Không gian VMO được giới thiệu lần đầu tiên bởi Don- ald Sarason (1975). Bởi vì ln|x| ∈/ V M O(Rn) cho nên V M O(Rn) là một không gian con thực sự của BM O(Rn) (chi tiết hơn về các không gian Hardy, BM O(Rn) và V M O(Rn) có thể xem trong [68]).
Cũng như đối với không gian Besov, ta cũng có những tính chất tương tự cho toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian H1(Rn) và
BM O(Rn).
Định lý 2.2.8. Với mỗi a 6= 0 cố định, toán tử
Wψ : H1(Rn) −→ H1(Rn)
f 7−→ (Wψf)(a,·)
là tuyến tính bị chặn. Hơn nữa, ước lượng sau là đúng