chủ quan duy ý chí dẫn đến sự thất bại đáng tiếc.
1.3. Mối quan hệ giữa các quy luật, các cặp phạm trù đối với t duy toán học. học.
1.3.1. Quan hệ giữa cảm tính và lí tính trong t duy toán học.
Theo các tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình thì vấn đề quan hệ giữa cảm tính và lí tính trong nhận thức nói chung và trong t duy toán học nói riêng là một vấn đề hết sức quan trọng của phép biện chứng. Có rất nhiều quan điểm triết học khác nhau về mối quan hệ biện chứng giữa chúng. Con ngời chúng ta nhận thức thế giới bằng những kinh nghiệm có đợc trong cuộc sống trên cơ sở cảm giác và tri giác. Cái mà con ngời kế thừa về mặt sinh vật học không phải là t tởng bẩm sinh mà là bộ máy hoạt động cơ sở thần kinh dùng làm cơ sở sinh lí học của quá trình phản ánh thế giới khách quan. Những tài liệu của giác quan là kinh nghiệm của cảm tính, làm nền móng cho kinh nghiệm của chúng ta, nhng không phải là toàn bộ lâu đài của kiến thức. T duy có liên hệ với kinh nghiệm cảm tính nhng khác về chất với kinh nghiệm cảm tính, nó giúp ta đi sâu hơn vào bản chất của sự vật và hiện tợng; trong quá trình t duy con ngời sử dụng kinh nghiệm đã đợc đúc kết của xã hội loài ngời. Lí luận nhận thức của Lênin là lí luận cắt nghĩa đầy đủ mối quan hệ biện chứng giữa nhận thức cảm tính và t duy. Lênin cho rằng nhận thức phát triển là do sự tác động lẫn nhau giữa ba yếu tố là trực quan sinh động, t duy trừu tợng và thực tiễn. Mỗi yếu tố đều cần thiết và đều mang lại cái mà yếu tố khác không thể đem lại đợc. Sự tác động lẫn nhau đó quán xuyến toàn bộ quá trình nhận thức từ đầu đến cuối, đồng thời trong yếu tố đó yếu tố thực tiễn là cơ sở và là yếu tố quyết định. “Từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng rồi từ
t duy trừu tợng đến thực tiễn đó là con đờng biện chứng của sự nhận thức chân lí”.
Trong quá trình dạy và học môn Toán thì việc thấm nhuần các nguyên lí giáo dục của Đảng là học phải đi đối với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trờng phải gắn liền với xã hội. Qua đó thấy rằng không chỉ nhằm giáo dục theo nghĩa rộng mà còn là tạo ra tiền đề tâm lí thuận lợi cho việc nắm vững chính những kiến thức Toán học theo nghĩa hẹp: thực tế sản xuất làm cho kiến thức có đợc về trực quan sinh động, thực hành làm cho nhận thức lí thuyết sâu sắc hơn, và chỉ khi hoà mình vào cuộc sống xã hội con ngời mới nãy sinh nguyện vọng, ý chí phấn đấu vơn lên nắm những kiến thức mới mẽ trong cuộc sống.
Việc hiện đại hoá chơng trình môn Toán ở trờng phổ thông thờng làm bộc lộ mâu thuẫn ra yêu cầu cao hơn về khả năng trừu hoá và trình độ hiện đại phát triển ở học sinh. Mặc dù đối tợng t duy trừu tợng hơn, nhng công thức nhận thức khách quan mà V. I. Lênin nêu ra vẫn còn nguyên giá trị. Chính và thế mà nhà Toán học A. N. Kônmôgrốp nói “đừng để hứng thú đến mặt lôgic của giáo trình làm lu mờ việc giáo dục t duy trực quan cho học sinh”. Ngay cả các nhà toán học thuộc phái Toán học cực đoan nhất trong việc hiện đại hoá chơng trình phổ thông cũng khẳng định đến cái trừu tợng từ cái trực quan.
Tính trực quan trong giảng dạy từ trớc đến nay vẫn là một yêu cầu cần có tính nguyên tắc, nhng khái niệm trực quan còn đợc biểu hiện một cách đơn giản là đặt đối tợng nhận thức vào trờng của cảm giác hay tri giác. Thực tiễn giảng dạy Toán học hiện đại làm bộc lộ rõ khía cạnh còn mơ hồ trên về trực quan. Việc giảng dạy không đòi hỏi dừng lại ở trạng thái tĩnh tại mà còn phải làm nổi bật trạng thái động. Không chỉ chú trọng tới những phần riêng rẽ mà còn phải làm nổi bật những phần tử ấy trong một tổng thể.
1.3.2. Quan hệ giữa cụ thể và trừu tợng trong t duy toán học
Theo các tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia cốc, Trần Thúc Trình, Những đối tợng, những hiện tợng của thế giới hiện thực bao giờ cũng nằm trong một mạng của sợi dây lên kết với nhau rất chằng chịt, trong đó có những mối liên hệ với nhau rất vững chắc và bản chất, có những mối liên hệ ngẫu nhiên, tạm thời và không bản chất. Muốn nắm đợc quy luật chi phối và đối tợng và hiện tợng ấy cần phải tách khỏi những mối liên hệ ổn định và bản chất khỏi những mối liên hệ tạm thời và không bản chất. Theo nghĩa chung nhất thì trừu t- ợng hoá biểu thị khả năng vạch những mối liên hệ nào đó từ những mạng sợi dây liên kết chằng chịt các đối tợng và hiện tợng.
Những khái niệm, phán đoán riêng lẽ phản ánh mối liên hệ đợc tách ra để xem xét, theo C. Mác, chỉ là những kiến thức trừu tợng. Cái trừu tợng với C. Mác đồng nhất với tính phiến diện. Kiến thức cụ thể là một tập hợp hay nói đúng hơn là một hệ thống những kiến thức trừu tợng. Hệ thống trong toàn bộ những kiến thức này vạch ra đợc những mối liên hệ có tính quy luật gồm các hiện tợng. ở đây, kiến thức cụ thể có nghĩa là kết quả, là sự nhận thức của tổng kết của nhận thức cái cụ thể sở dĩ là cái cụ thể vì nó tổng hợp của nhiều sự quy định, nh vậy nó là sự thống nhất của nhiều mặt khác nhau. Cho nên trong t duy cái cụ thể biểu hiện là quá trình tổng hợp, là kết quả chứ không phải là điểm xuất phát, mặc dù có điểm xuất phát thực sự và do đó cũng là điểm xuất phát của trực quan và của biểu tợng. Trên con đờng thứ nhất toàn bộ sự biểu tợng đã biến thành một sự quy định trừu tợng, trên con đờng thứ hai những sự quy định trừu tợng lại dẫn tới sự mô tả lại cái cụ thể bằng con đờng t duy.
Nếu nh lí thuyết kinh nghiệm của sự trừu tợng hoá dừng lại ở con đờng thứ nhất, thì lí thuyết trừu tợng hoá biện chứng xây dựng trên quan điểm kết hợp cả hai con đờng. Điều này đợc diễn tả trong công thức nổi tiếng của V. I.
Lênin “Từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng rồi từ t duy trừu tợng đến thực tiễn đó là con đờng biện chứng của sự nhận thức chân lí”.
Sự đối lập giữa cái cụ thể và cái trừu tợng lại có nghĩa tơng đối trong quá trình nhận thức: “Chúng ta bắt đầu nghiên cứu từ những cái hiện thực và cụ thể, từ tiên đề thực tế”, nhng chúng ta lại đi từ trừu tợng đến cụ thể để “t duy quán triệt đợc cái cụ thể và mô tả lại cái cụ thể dới hình thái một cái xu thế trong t duy”.
Khi nói về mối quan hệ giữa cái cụ thể và cái trừu tợng trong quá trình sáng tạo Toán học, giáo s Nguyễn Cảnh Toàn viết “Trong quá trình giải quyết một đề tài, những khái quát có tính chất lí luận thờng không ra đời một cách đơn giản, có khi phải xem xét rất nhiều trờng hợp đặc biệt, cụ thể để rồi từ đó lần mò dẫn ra cái trừu tợng, khái quát ...”
Còn quan điểm của Đavđốp là quan điểm chỉ đạo những công trình nghiên cứu nâng cao khả năng tiếp thu những khái niệm Toán học trừu tợng cho học sinh cấp 1 đang tiến hành ở Viện Tâm lí học đại cơng Liên xô. “Trong giảng dạy Toán học việc tăng cờng khả năng cho học sinh vận dụng kiến thức lí thuyết vào việc giải toán hay giải quyết các nhiệm vụ thực tiễn là biện pháp phù hợp với quy luật về sự kết hợp biện chứng giữa cái cụ thể và cái trừu tợng”. 1.3.3. Quan hệ giữa cái chung và cái riêng trong t duy toán học.
Các chân lí toán học cũng nh chân lí thực nghiệm là sự phản ánh gần đúng hiện thực; chúng luôn luôn cần đợc hoàn thiện để phản ánh chân thực hơn nhằm đáp ứng cao hơn nhu cầu thực tiễn của con ngời. Cái thay đổi trong toán học là sự thay đổi quan điểm từ đó nhìn nhận những kết quả đã thu đợc qua nhiều quá trình. Từ sự thay đổi đó, các định lí Toán học đợc phát minh ra vẫn đúng trong một chừng mực nào đó khi con ngời khám phá ra nó, vẫn luôn luôn tồn tại mà
không bị định lí khác thay thế; tuy nhiên từ vị trí cơ bản nhất, chúng trở thành cái quan trọng nhất, cái riêng trong hệ thống Toán học.
Nh vậy, nhận thức đi từ cái riêng đến cái chung, rồi từ cái chung chuyễn hoá thành cái riêng, theo tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình cho rằng, xét đến phơng diện nào đó thì cái chung và cái riêng mâu thuẫn, nhng xét ở những phơng diện khác thì cái chung và cái riêng lại thống nhất: cái chung bao trùm lên cái riêng và cái riêng nằm trong cái chung, mỗi cái riêng có thể nằm trong nhiều cái chung khác nhau và mỗi cái chung nh vậy cũng ứng với một cách nhìn về cái riêng, ứng với một quan điểm làm cơ sở cho sự thống nhất giữa cái chung và cái riêng. Từ một cái riêng nếu biết nhìn theo nhiều quan điểm các góc độ khác nhau thì có thể khái quát thành nhiều cái chung khác nhau, và đôi khi đem đặc biệt hoá nhiều cái chung thì lại đợc một cái riêng và cứ nh thế qua nhiều giai đoạn phát triển lên thành cái mới.
Ví dụ: trong Hình học thì tam giác đều vừa là trờng hợp riêng của hình tứ diện
đều vừa là trờng hợp riêng của tam giác cân. Xét về số chiều thì tam giác đều và tứ diện đều là mâu thuẫn, nhng xét về tính chất là thì có tất cả các cạnh bằng nhau là thống nhất.
Trong dạy học Toán, nếu ngời giáo viên nắm đợc mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng sẽ đem lại hiệu quả cao .
1.3.4. Sự thống nhất của lôgíc biện chứng và lôgíc hình thức trong t duy
toán học.
Lôgic biện chứng nghiên cứu t duy dới góc độ cách thức t duy nhận thức sự phát triển và biến đổi của các sự vật và hiện tợng. Lôgíc biện chứng với t cách là học thuyết triết học về những quy luật chung nhất của sự nảy sinh và phát triển của t duy giúp chúng ta nắm đợc nội dung và sự vật. Nhiệm vụ chủ yếu của lôgic biện chứng là nghiên cứu các quy luật và các hình thức t duy biện
chứng. Nó đòi hỏi chúng ta phải tiến xa hơn nữa. Theo tác giả M. Alêcxêep, muốn thực sự hiểu biết đợc một số đối tợng cần phải thâu tóm và nghiên cứu tất cả các đối tợng ấy, tất cả các mối liên hệ và “quan hệ gián tiếp” của nó nữa. Chúng ta không bao giờ thực hiện đợc điều này một cách hoàn toàn.
Theo các tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình “lôgic hình thức nghiên cứu cơ cấu của các hình thức t duy, nó bỏ qua không nói tới sự nãy sinh và phát triển của các hình thức ấy. Những quy luật của t duy do lôgic hình thức trình bày phản ánh những quan hệ đơn giản nhất của sự vật phản ánh của yếu tố ổn định và bất biến tơng đối của sự vật, mặt hình thức của
sự vật” [14, tr 69]. Nh vậy ta thấy rằng, nếu lôgic hình thức vạch ra những cấu trúc của kiến thức thì lôgic biện chứng lại giải thích chân lí nh một quá trình, nh một kiến thức đợc nãy sinh. Sự thống nhất trong sự vận động giữa lôgic biện chứng và lôgíc hình thức trong nhận thức Toán học giữa lôcgic để trình bày Toán học và lôgic để nhận thức. Mỗi sự vật đều có nội dung và hình thức của nó, nội dung đó là cơ sở là mặt chính của sự vật còn hình thức là mặt phụ để thể hiện sự tồn tại trong thế giới sự vật mà thôi. Vì nội dung là những yếu tố những quá trình tạo nên sự vật, còn hình thức là những hệ thống tạo nên mối liên hệ t- ơng đối bền vững giữa các yếu tố của nội dung, và giữa chúng có một mối quan hệ biện chứng với nhau. Điều đó có nghĩa không có lôgic hình thức thì không tồn tại lôgic biện chứng và ngợc lại. Giữa chúng không tồn tại tách rời nhau, nh- ng không phải vì thế mà lúc nào giữa chúng cũng phù hợp với nhau. Tuy nhiên sự thống nhất ở đây luôn luôn là mặt tích cực, có vai trò quyết định trong sự vận động của sự vật và hiện tợng. Nh vậy sự thống nhất của chúng trong t duy toán học tạo nên sự vận động biến đổi không ngừng của các sự vật và hiện tợng.
1.4. Các cơ sở lý luận và thực tiễn để vận dụng các quan điểm biện chứng cho học sinh.
Nghị quyết Trung ơng 2 khoá VIII quy định nhiệm vụ và mục tiêu giáo dục nh sau: “Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là nhằm xây dựng những con ngời và thế hệ....làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có t duy sáng tạo, có kỹ năng thực hành giỏi...”. Từ đó ta thấy rằng quan điểm biện chứng của t duy góp phần quan trọng trong việc rèn luyện t duy toán học. Thật vậy, theo quan điểm biện chứng của t duy Toán học là khi xem xét sự vật phải xuất phát từ chính bản thân của sự vật hiện tợng, phải xem xét sự vật một cách khách quan, phải hiểu rõ bản chất của sự vật. Đây là cơ sở để nhận thức sự vật một cách đúng đắn, qua đó học sinh có thể làm chủ đợc tri thức khoa học, và thực hành giỏi. Điều này đòi hỏi học sinh nắm thật vững các thuộc tính bản chất khái niệm, giả thiết và kết luận của định lí, và điều kiện đã cho trong Bài toán; Cần nhìn nhận và xem xét một cách đầy đủ và tất cả các tính chất phức tạp của sự vật, xem xét trong các mối quan hệ biện chứng (liên hệ bên trong và liên hệ bên ngoài) trong tổng thể những mối quan hệ liên thuộc; Phải xem xét sự vật trong sự mâu thuẫn và thống nhất từ đó giúp học sinh học Toán một cách chủ động sáng tạo, khả năng phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề.
1.4.1. Nói về vai trò của Toán học trong nhận thức khoa học, P. Ănghen đã viết : Muốn nhận thức biện chứng và đồng thời duy vật về tự nhiên, cần hiểu“
biết toán học và khoa học tự nhiên” [28, tr 48]. Theo đó, Toán học không chỉ là một lĩnh vực nhất định mà còn là một phơng pháp là một dạng nhất định của nhận thức khoa học, nó góp phần xây dựng các lí thuyết khoa học.
Còn A. N. Côgôrốp khẳng định: “Về nguyên tắc thì phạm vi ứng dụng ph-
ơng pháp toán học không hạn chế: tất cả các dạng vận động đều có thể nghiên cứu theo kiểu toán học” [28, tr 195].
Khác với phơng pháp biện chứng, nó giúp nghiên cứu những nhân tố của sự ổn định, tính không đổi trong sự vận động không ngừng của những đối tợng đợc
nghiên cứu. Còn phơng pháp biện chứng hoạt động trong nhận thức nh là sự vận động tới nhng kết quả khoa học mới. Qua đó phát hiện ra những quy luật vận động của nó trong Toán học.
1.4.2. Nh vậy, qua dạy học Toán cho học sinh phổ thông mà góp phần vận dụng các quan điểm biện chứng của t duy toán học. Điều này không chỉ giúp cho học sinh học Toán và các môn học khác của học sinh đang còn học ở môi trờng phổ thông đạt kết quả cao mà còn tạo điều kiện cho học sinh t duy một cách biện