Phép biến đổi nhanh fourier FFT (Fast Fourier Transform) có ứng dụng rộng rãi trong xử lý số tín hiệu.biến đổi FFT thuận chuyển tín hiệu từ miền thời gian rời rạc sang miền tần số rời rạc.Biến đổi FFT ngược thực hiện chuyển tín hiệu từ miền tần số rời rạc sang miền thời gian rời rạc.Giả sử x(n) là tín hiệu rời rạc theo thời gian tuần hoàn chu kỳ N (N mẫu/chu kỳ) chuyển sang miền tần số rời rạc X(k).Phép biến đổi FFT thuận N điểm viết dưới dạng tổng các hàm sin và cosin như sau: 1 1 0 0 ( ) N ( ).sin(2 / ) N ( ). os(2 kn/N) n n X k − x n πkn N j − x n c π = = =∑ + ∑
X(k) là giá trị phổ tại tần số thứ k (k=0,1,2…,N-1) cũng là hàm tuần hoàn chu kỳ N,x(n) là tín hiệu tại thời điểm n.Phép biến đổi FFT ngược (IFFT) chuyển đổi toàn bộ phổ tần X(k) sang tím hiệu miền thời gian rời rạc.Phép biến đổi IFFT với điểm N là:
1 1 0 0 1 1 ( ) N ( ).sin(2 / ) N ( ). os(2 kn/N) k k X n X k kn N j X k c N − π N − π = = = ∑ + ∑
Sự khác nhau giữa FFT và IFFT chỉ là hệ số (biên độ) của hàm sin,cosin và dấu trừ.Hai quá trình trên là một cặp tuyến tính,dùng IFFT ở máy phát và FFT ở máy thu ta khôi phục được tín hiệu ban đầu.điều này được minh hoạ như hình sau:
IFF FFT
Tần số Thời gian Tần số
Hình 3.14 khôi phục lại phổ tín hiệu ban đầu khi dùng liên tiếp IFFT và FFT
Các bít tín hiệu ở từng dòng có thể được xem như biên độ của 4 hàm sin với tần số khác nhau.Vì thế ta có thể dùng IFFT để tạo ra tín hiệu miền thời gian.cần lưu ý là tín hiệu đang trong niền thời gian,mà IFFT là chuyển đổi tín hiệu từ miền tần số sang miền thời gian?Câu trả lời đó là ta coi các bít vào không phải biểu diễn miền thời gian mà là ở miền tần số 1,2,3 và 4Hz.Bằng cách này chúng ta có thể đưa các bít này vào IFFT để tạo ra tín hiệu OFDM miền thời gian.