3 và công thức (2-17) đã đ − ợc chứng minh.
2.3.3 Phân tích khả năng sinh các số nguyên tố dộ dà in của thuật toán
Chúng ta biết rằng nếu p là một số nguyên tố có độ dài n bit, không giảm tổng quát ta giả sử n>2 do đó nó là số lẻ nên có dạng p=2x+1 trong đó x là số có độ dài <n, do đó mọi −ớc nguyên tố của x đều có độ dài không quá n- 1 bit. Nói một cách khác là x sẽ là bội của F nào đó có thể đ−ợc tạo từ thuật toán và do đó p sẽ thuộc lớp LF hay p có thể đ−ợc sinh từ thuật toán. Tóm lại chúng ta đã thu đ−ợc kết quả sau.
Định lý 2.9. Mọi số nguyên tố độ dài n bit đều có thể đ−ợc sinh từ thuật toán
ξn xây dựng ở trên.
Chú ý: Thuật toán ξn có một số đặc điểm sau.
Thứ nhất: Đầu ra của thuật toán chỉ là những số nguyên tố thoả mãn điều kiện có độ dài không d−ới n bit.
Thứ hai: Hợp toàn bộ các lớp LF
thu đ−ợc bởi toàn bộ các số F có thể xây dựng đ−ợc trong thuật toán không phủ toàn bộ các số tự nhiên có độ dài n bit đó là các số có dạng x=2q với q cũng là nguyên tố. Tuy nhiên may mắn là các số này đều là hợp số do đó chúng ta không cần quan tâm đến.
Thứ ba: Việc đánh giá khả năng sinh đ−ợc các số nguyên tố độ dài n của thuật toán là một điều cực kỳ khó khăn, nó đòi hỏi việc phải đánh giá đ−ợc khả năng xây dựng các số F khác nhau và thêm nữa phải đánh giá đ−ợc số các lớp
LF
khác nhau cùng chứa một số nguyên tố p độ dài n bit, tuy nhiên chúng ta có thể hình dung đ−ợc một điều là xác suất sinh đ−ợc các số nguyên tố khác nhau cùng độ dài n là không nh− nhau.