3 phép nhân với một số nhỏ (nhân với p) Nh− vậy thờ
3.2.2 Số nguyên tố Sophie
Trong lý thuyết số một khái niệm đ−ợc Sophie Germain đ−a ra vào năm 1825 có liên quan đến các số nguyên tố cần tìm của chúng ta, đó là các số nguyên tố Sophie Germain và đ−ợc định nghĩa nh− sau.
Định nghĩa số nguyên tố Sophie
Số nguyên tố q đ−ợc gọi là số nguyên tố Sophie khi p=2q+1 cũng là số
nguyên tố.
Bà đã chứng minh đ−ợc một định lý đó là.
Định lý Sophie. Nếu q là số nguyên tố Sophie thì hoặc không tồn tại hoặc tồn tại các số nguyên x, y, z khác 0 và không là bội của q sao cho xq+yq=zq.
Định lý trên về mặt lý thuyết là một khẳng định tính đúng đắn cho tr−ờng hợp đầu tiên của định lý cuối cùng của Fermat, tuy nhiên cái mà chúng ta quan tâm hơn là kết quả sau, do Powell chứng minh năm 1980, về số các số nguyên tố q≤x thoả mãn Aq+B cũng nguyên tố với AB chẵn và gcd(A,B)=1, ký hiệu là S(A,B)(x) nh− sau.
Định lý Powell. S(A,B)(x)< Cx Logx
( )2 với C là một hằng số. Hơn nữa ta có
x A B S x x →∞ lim ( , )( ) ( ) π =0.
Tr−ờng hợp riêng với A=2 và B=1, thì ta có số các số nguyên tố Sophie, ký hiệu là S(x). Công việc mà đề tài này h−ớng tới có thể hiểu không gì khác là đi tìm bằng thực hành các số nguyên tố Sophie. Qua giới hạn nêu trong định lý Powell thì công việc của chúng ta sẽ cực kỳ khó khăn bởi vì không những bởi việc tìm những số nguyên tố càng lớn thì càng khó do th−a hơn mà trong những số nguyên tố lớn này thì số các số Sophie cũng càng th−a hơn.