II. Tính xác suất bằng hình học.
10. Cho một ngũ giác nội tiế p1 đường trịn đơn vị Chọn một điể mM bất kì thuộc đường trịn Tìm điều kiện
của ngũ giác để xác suất chọn được điểm M thuộc ngũ giác là lớn nhất. Tính xác suất lớn nhất đĩ.
Bài giải
Vì đường trịn đã cho cĩ diện tích khơng đổi nên muốn xác suất thỏa yêu cầu đề bài lớn nhất thì diện tích của ngũ giác nội tiếp phải lớn nhất.
Ta coi bài tốn như đã giải gần xong. Ta hình dung rằng ta đã cĩ được vị trí cần tìm của tất cả các đỉnh, trừ một đỉnh R chẳng hạn. 4 điểm khác: M, N, P, Q đã được cố định, mỗi điểm ở vào đúng vị trí của nĩ, nhưng ta cịn cần chọn R sao cho diện tích là cực đại. Song, tồn bộ diện tích do 2 phần hợp thành: tứ giác MNPQ với các đỉnh đã được cố định, đa giác này khơng phụ thuộc R. T tập trung chú ý vào tam giác này, diện tích của nĩ, khi tồn bộ diện tích trở thành cực đại thì cũng trở thành cực đại. Đáy MQ của tam giác MQR đã được cố định. Nếu R di chuyển theo đường song song với đáy MQ thì diện tích sẽ khơng thay đổi. T sẽ chọn tiếp tuyến với đường trịn song song với đáy MQ. Điểm tiếp xúc của nĩ rõ ràng là vị trí của đỉnh R làm cho diện tích tam giác MQR trở thành cực đại. Khi R ở vị trí đĩ thì tam giác trở thành cân. RM = RQ. Nếu diện tích ngũ giác cực đại thì 2 cạnh bên phải bằng nhau. Nhưng lí luận đĩ cũng cĩ thể áp dụng cho mọi cặp cạnh lân cận: khi diện tích đạt được cực đại thì tất cả các cạnh phải bằng nhau và như vậy ngũ giác đều nội tiếp cĩ diện tích cực đại là ngũ giác đều.
Ta tính được diện tích hình trịn đơn vị: S = π
Diện tích ngũ giác đều nội tiếp đường trịn cĩ bán kính 1 là: S’ = 5 2.1 2 .sin2 5 π ≈2.3776 Vậy xác suất cần tìm là P = S' 2.3776 0.7568 S = π ≈