chưa nắm vững kiến thức về căn thức và phép biến đổi tương đương các phương trình nên thường mắc phải một số sai lầm. Bài viết này nhằm giúp các bạn học sinh lớp 9 tránh được những sai lầm đó !
Ví dụ 1 :
Giải phương trình :
Lời giải sai : Ta có
Nhận xét : Rõ ràng x = -3 không phải là nghiệm của phương trình trên. Ghi nhớ rằng :
Ví dụ 2 : Giải phương trình :
Lời giải sai :
Nhận xét : Rõ ràng x = -3 không phải là nghiệm của phương trình trên. Ghi nhớ rằng :
Ví dụ 3 : Giải phương trình
Lời giải sai :
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Nhận xét : Các bạn nghĩ sao khi phương trình đã cho thực sự có nghiệm là x = -7 ? Ghi nhớ rằng :
Như vậy lời giải trên đã bỏ sót một trường hợp khi A ≤ 0 ; B < 0 nên mất nghiệm x = -7.
Ví dụ 4 : Giải phương trình
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2.
Nhận xét : Ta thấy ngay x = 2 không nghiệm đúng phương trình đã cho. Ghi nhớ rằng :
Ví dụ 5 : Giải phương trình
Lời giải sai :
Phương trình tương đương với :
Căn thức có nghĩa <=> x ≥ 3. Khi đó ta có :
Do đó phương trình vô nghiệm.
Nhận xét : Có thể thấy ngay x = 0 là nghiệm. Việc chia hai vế cho đã làm mất nghiệm này. Mặt khác cần ghi nhớ :
Do đó lời giải phải bổ sung trường hợp = 0 và trường hợp x < 0. Khi x < 0 thì phương trình viết về dạng :
Do đó x < 0 không thỏa mãn phương trình. Cuối cùng phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. Mong các bạn trao đổi thêm về vấn đề này
Thầy Tấn đã mở rộng bất đẳng thức 1/(a - b + c) + 1/(b + c - a) + 1/(c + a - b) ≥ 1/a + 1/b + 1/c (I) (với a, b, c là ba cạnh của một tam giác) theo hướng nâng lên lũy thừa bậc n các mẫu số của các phân thức : 1/(a - b + c)n + 1/(b + c - a)n + 1/(c + a - b)n ≥ 1/an + 1/bn + 1/cn (II)
l Câu hỏi đầu tiên đặt ra là : tại sao không thử mở rộng bất đẳng thức (I) theo hướng ngược lại - khai căn bậc n các mẫu số của các phân thức ?
Tiếp tục áp dụng cách chứng minh của bài toán phụ 1/x + 1/y ≥ 4?(x + y) ( với x, y > 0) ta có :
Suy ra :
Từ đó ta có :
Kết quả 1 : Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì :
(với mọi số tự nhiên n khác 0). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
* Thay đổi các tử số ở vế trái của bất đẳng thức (I) thầy Tấn đưa ra kết quả tiếp theo : c/(a - b + c) + a/(b + c - a) + b/(c + a - b) ≥ 3 (III)
Khai căn bậc n các tử số của các phân số ở vế trái của (III) lại có thêm kết quả khác.
Kết quả 2 : Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì :
(với mọi số tự nhiên n khác 0).
Chứng minh : Trước hết ta phát biểu và chứng minh bất đẳng thức Trê-bư-sép cho 3 số : Phát biểu :
Nếu a1 ≥ a2 ≥ a3 và b1 ≥ b2 ≥ b3 thì 3(a1b1 + a2b2 + a3b3) ≥ ≥ (a1 + a2 + a3)(b1 + b2 + b3) (1) ;
Nếu a1 ≤ a2 ≤ a3 và b1 ≥ b2 ≥ b3 thì 3(a1b1 + a2b2 + a3b3) ≤ ≤ (a1 + a2 + a3)(b1 + b2 + b3) (2). Chứng minh :
Với a1≥ a2 ≥ a3 và b1 ≥ b2 ≥ b3 ta có : (a1 - a2)(b1 - b2) ≥ 0 <=> a1b1 + a2b2 ≥ a1b2 + a2b1 ;
Tương tự ta có :
Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên ta có 2(a1b1 + a2b2 + a3b3) ≥ ≥ a1b2 + a2b1 + a2b3 + a3b2 + a3b1 + a1b3
<=> 3(a1b1 + a2b2 + a3b3) ≥ a1b2 + a2b1 + a2b3 + a3b2 + a3b1 + a1b3 + (a1b1 + a2b2 + a3b3) = = (a1 + a2 + a3)(b1 + b2 + b3).
Vậy (1) được chứng minh.
Tương tự, ta cũng chứng minh được (2).
Trở lại kết quả 2.
Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c => b + c - a ≤ c + a - b ≤ a + b - c
=> 1/(a - b + c) ≥ 1/(b + c - a) ≥ 1/(c + a - b) Theo các bất đẳng thức (1) ; (I) ; (2) ta có :
Suy ra điều phải chứng minh.
* Từ bất đẳng thức (III) thầy Tấn đã nâng lên lũy thừa bậc n các tử số của các phân số ở vế trái để tìm kết quả mới, còn tôi đã mạnh dạn tiếp tục nâng lên lũy thừa bậc m các mẫu số của chúng. ý tưởng sử dụng bất đẳng thức Trê-bư-sép cho 3 số một lần nữa lại có hiệu quả.
Kết quả 3 : Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì : cn/(a - b + c)m + an/(b + c - a)m + bn/(c + a - b)m ≥
≥ an - m + bn - m + cn - m với mọi số tự nhiên m, n.
Chứng minh : áp dụng các bất đẳng thức (1) ; (II) ; (2) ta có :
(trong đó a, b, c là ba cạnh của một tam giác, m, n, p, q là các số tự nhiên khác 0). Các bạn thử chứng minh xem !
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG