hợp, việc tính giá trị của biểu thức rất khó thực hiện nếu chỉ sử dụng các phép biến đổi trực tiếp, nhưng lại thực hiện được dễ dàng hơn thông qua việc tính giá trị của một biểu thức trung gian khác. Sau đây là một vài ví dụ minh họa.
Ví dụ 1 : Tính giá trị của biểu thức A = 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 32004.
Lời giải : Để tính giá trị của biểu thức A, cần liên hệ được với công thức tính an - 1, ta thấy ngay : 2A = (3 - 1)( 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 32004) = 32005 - 1.
Do đó :
Với học sinh lớp 6, 7 chưa học hằng đẳng thức thì có thể thực hiện theo cách sau : A = 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 32004
⇒ 3A = 3 + 32 + 33 + 34 + ... + 32005 ⇒ 2A = 3A - A = 32005 - 1 Suy ra :
Ví dụ 2 : Tính giá trị của biểu thức : B = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + 98.99.100.
Lời giải : Để tính được B, trong trường hợp này, ta đi tính 4B. 4B = 4(1.2.3 + 2.3.4 + ... + 98.99.100)
= 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + ... + 98.99.100.4
= 1.2.3.4 + 2.3.4.(5 - 1) + 3.4.5.(6 - 2) + + ... + 98.99.100.(101 - 97)
= 1.2.3.4 - 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.5 + + ... + 97.98.99.100 - 97.98.99.100 + 98.99.100.101 = 98.99.100.101
tiếng G. Polya đã nói : “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”. A.A. Stoliar còn nhấn mạnh : “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”.
Qua quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng khi giải bài toán “Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức” nhiều học sinh đã mắc phải sai lầm không đáng có.
Trước hết, đề nghị các bạn hãy đọc và phát hiện ra sai lầm trong lời giải của các ví dụ sau.
Ví dụ 1 : Tìm GTNN của biểu thức : A = x2 - 3x + 5 với x ≥ 2.
Lời giải :
Vậy GTNN của A là 11/4 khi x = 3/2.
Ví dụ 2 : Tìm GTNN của biểu thức :
với x ≠ 0 ; y ≠ 0.
Lời giải :
Ví dụ 3 : Tìm GTNN của biểu thức :
trong đó x, y là các số dương thay đổi, thỏa mãn x + y = 1.
Lời giải : Ta có :
Vậy GTNN của M là 4, khi xy = 1.
Bây giờ chúng ta cùng phân tích sai lầm của các lời giải trên.
* Trong ví dụ 1, ta thấy ngay x = 3/2 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 2. Lời giải trên chưa đúng vì đã quên mất điều kiện x ≥ 2 của bài toán.
Vậy GTNN của A phải là 3 khi x = 2.
Ta có thể tìm GTNN của biểu thức A bằng cách biến đổi khác như sau : A = x2 - 3x + 5 = (x2 - 3x + 2) + 3 = (x - 1)(x - 2) + 3.
Vì x ≥ 2 nên x - 1 > 0 và x - 2 ≥ 0, suy ra (x - 1)(x - 2) ≥ 0 suy ra A ≥ 3. Vậy GTNN của A là 3 khi (x - 1)(x - 2) = 0 tương đương x - 2 = 0 hay x = 2.
Chú ý : Nếu bài toán yêu cầu tìm GTNN của A khi x ≥ 3 thì ta sẽ xử lí ra sao ?
* Trong ví dụ 2, sau khi tìm ra GTNN của P là - 9/4 khi t = 1/2 nếu tiếp tục xác định các giá trị tương ứng của x và y, bạn sẽ không khó khăn gì để nhận ra rằng không tồn tại x ; y để t = 1/2 và P = - 9/4. Vậy lời giải trên là sai. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nếu bạn biết rằng :
với mọi x ≠ 0 ; y ≠ 0 (một kết quả quen thuộc) thì bạn sẽ thấy lời giải đúng như sau : Ta có : P = t2 - t - 2 = (t + 1)(t - 2)
+ Nếu t ≥ 2 thì t - 2 ≥ 0 và t + 1 > 0 suy ra (t + 1)(t - 2) ≥ 0 suy ra P ≥ 0. + Nếu t ≤ -2 thì t - 2 < 0 và t + 1 < 0 suy ra (t + 1)(t - 2) > 0 suy ra P > 0. Do đó P ≥ 0 với mọi x, y khác 0.
Suy ra P đạt GTNN là 0 khi t = 2 hay x = y.
* Trong ví dụ 3, GTNN của biểu thức M bằng 4, đạt được khi x.y = 1. Khi đó kết hợp với điều kiện x + y = 1 của đề bài, ta có hệ :
Dễ dàng nhận thấy hệ vô nghiệm, tức là M không thể bằng 4, suy ra lời giải trên là sai. Sau đây là lời giải đúng.
Nguyên nhân dẫn đến sai lầm trong các ví dụ trên chính là các bạn đã quên không xác định các giá trị tương ứng của các biến để bất đẳng thức trở thành đẳng thức. Đặc biệt, trong trường hợp giá trị của biến tồn tại thì chúng có thỏa mãn các điều kiện cho trước hay không.
Gặp sai lầm khi giải toán là điều khó tránh khỏi. Tìm ra sai lầm và sửa chữa sai lầm cũng không dễ chút nào. Nhưng nếu các bạn có ý thức khi giải toán thì chắc chắn các bạn sẽ thành công !
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐÁNH GIÁ CÁC ẨN