Ví dụ đầu tiên về bài toán elliptic là giải phương trình Poisson xác định trên hìng tròn đơn vị. Bài toán được mô tả bằng phương trình:
‐∆u = 1 trong miền Ω, u = 0 trên ∂Ω. Trong đó Ω là hình tròn đơn vị. Trong trường hợp này nghiệm chính xác là:
4 y x 1 ) y , x ( u 2 2 − − =
Như vậy ta có thể đánh giá được sai số theo các phương pháp chia lưới khác nhau.
Ta thực hiện giải bài toán theo các bước sau:
• nhập lệnh pdetool từ cửa sổ lệnh của MATLAB và con trỏ chuột trở thành dấu +.
• mở menu Options, đánh dấu mục Grid và Snap. Vẽ hình tròn đơn vị bằng bấm vào icon hình ellip trên thanh công cụ và kéo rồi thả chuột. Nếu 159
hình tròn chưa thỏa mãn yêu cầu thì bấm đúp vào nó để kích hoạt hộp thoại và nhập lại các thông số mô tả chính xác tâm và bán kính của hình tròn.
• nhập kiểu biên bằng cách bấm vào menu Boundary và chọn Boundary
Mode hay bấm đúp vào nút ∂Ω. Khi này biên của vùng ∂Ω được vẽ và biên ngoài được gán điều kiện biên mặc định(điều kiện biên Dirichlet u = 0 trên biên). Trong trường hợp này đây là điều kiện biên mong đợi. Nếu điều kiện biên khác đi ta bấm đúp vào biên để hiển thị hộp thoại và sửa lại điều kiện biên cho phù hợp và hiển thị nó.
• để xác định phương trình vi phân đạo hàm riêng nhấp chuột vào nút
PDE trên thanh công cụ(có thể chọn menu PDE | PDE Speficification). Khi này một hộp thoại được mở ra và ta có thể xác định các hệ số c , a và f. Trong trường hợp này c = 1 , f = 1 và a = 0.
• nhấp chuột vào nút Mesh(nút hình tam giác) hay chọn Mesh | Initialize
Mesh . Khi này một lưới hình tam giác được khởi gán và hiển thị.
• nhấp nút Refine(nút tam giác có nhiều tam giác con) hay chọn Mesh |
Refine Mesh. Như vậy lưới mịn hơn được khởi gán và hiển thị.
• để giải phương trình nhấp nút = hay chọn menu Solve | Solve PDE (Ctrl‐E). Dùng hộp thoại Plot Selection trong menu Plot | Parameters để chọn các hiển thị nghiệm khác nhau.
• để so sánh nghiệm số và nghiệm chính xác, chọn menu Plot |
Parameters để hiển thị hộp thoại Plot Selection. Trong mục Property của
Color chọn user enrty. Sau đó nhập biểu thức MATLAB u‐(1‐x.^2‐y.^)/4 vào trường soạn thảo user etry và nhấp nút lệnh Plot. Ta nhận được hình vẽ sai số tuyệt đối của nghiệm. Để xuất kết quả vào vùng làm việc của MATLAB ta dùng Mesh | Export Mesh và Solve | Export Solution. Để tinh chỉnh kết quả nhấp nút Refine và = nhiều lần. Kết quả lưu trong ct8_2.m.