Phương trỡnh vi phõn khụng liờn tục và cỏc vi phõn

Tất cả cỏc phương phỏp ủiều khiển ủó nờu ở trờn ủều cú chung một ủặc ủiểm cơ bản: luật ủiều khiển tương ứng *

u ủều là cỏc hàm khụng liờn tục của x. Cụ thể hơn, *

u thụng thường là một hàm liờn tục từng ủoạn của x. Bằng cỏch ủặt *

u vào biểu thức (2.1), ta sẽ xem xột trạng thỏi của x trong hệ thống ủiều khiển là:

( ) ( , ( ), * , ( ) )

x t& = f t x t u t x t  và ủộng học tương ứng sẽ là

( , ) , . *( , ) (2.5)

g t x = f t x u t x 

ủú là một hàm khụng liờn tục của x. Vấn ủề mụ tả toỏn học cơ bản của phương phỏp ủiều khiển trượt ủược diễn giải ngay sau ủõy. đú chớnh là nguyờn tắc giải phương trỡnh vi phõn

( , , 0) ( ) (2.6)

x&= g t x x =a

với g t( ),. là hàm khụng liờn tục.

Vớ dụ 2. Khụng tồn tại nghiệm (hầu hết mọi nơi) cho phương trỡnh vụ hướng

( ) ( )

sgn , 0 0 2.7

x&= − x x =

Trường đại học Nụng nghiệp Hà Nội Ờ Luận văn thạc sĩ nụng nghiệp ... 37

Hỡnh 2.3. Hàm dấu sgnx

Trong vớ dụ trước ủó chỉ ra rằng, thụng thường, cỏc bài toỏn khụng liờn tục cú ủiều kiện ủầu theo biểu thức (2.6) theo nghĩa cổ ủiển sẽ khụng tồn tại nghiệm (hầu hết khắc nơi). Do vậy việc ủưa ra một phương phỏp giải tổng quỏt là cần thiết. Lẽ tự nhiờn là thay ủổi quan niệm về nghiệm của (2.7) bằng việc mở rộng về phớa phải lõn cận ủiểm 0 ủể tớnh toỏn trạng thỏi của g x( )= −sgn( )x khi

0

x ≠ . điều ủú dẫn ủến việc xem xột hàm ủa trị G:Ă →Ă ủược ủịnh nghĩa bởi ( ) { ( )} { sgn }, 0; ( )0 [ 1,1]

G x = g x = − x x≠ G = −

và bài toỏn giỏ trị ủầu của phương trỡnh vi phõn bao hàm ( ) ( ) , ( )0 0 (2.8)

y t& ∈G y t  y =

cú nghiệm là hằng y t( )=0 cho mọi t. Hàm G phự hợp với giỏ trị duy nhất ( )

{g x } khi g là liờn tục, tại 0, G( )0 ủạt ủược bằng cỏch lấy tất cả cỏc giỏ trị của ( )

g x khi x là ủủ nhỏ và >0, ủú là {−1,1}, do ủú bao lồi của nú là [−1,1] và cuối cựng sẽ cú ủiểm giao khi x →0(làm như vậy sẽ khụng xảy ra hiệu ứng gỡ).

Trường đại học Nụng nghiệp Hà Nội Ờ Luận văn thạc sĩ nụng nghiệp ... 38

Bằng cỏch này ta cú thể xỏc ủịnh ủược sự tồn tại của nghiệm mà khụng làm mất ủi quan hệ với phương trỡnh gốc (2.7).

Hỡnh 2.4. Hàm G(x)

Cần lưu ý, sự tồn tại nghiệm của biểu thức (2.7) rất nhạy cảm với ủiều kiện n ủầu. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Vớ dụ 3. Phương trỡnh vụ hướng

( ) ( )

sgn , 0 2.9

x&= − x x =a

cú nghiệm cục bộ (mọi nơi) với mỗi a≠0 cho bởi phương trỡnh ( ) , 0

x t = −a t ≤ <t a hoặc x t( )= +t a, 0≤ < −t a. Nếu ta xột ( ) 0, 0; ( ) sgn , 0

g x = x= g x = − x x≠

thỡ (2.9) (hầu như mọi nơi) cú nghiệm toàn cục, nghĩa là trong khoảng thời gian

[0;+∞) với giỏ trị ban ủầu a bất kỳ, với x t( ) (= a−t)+ nếu a>0, x t( ) (= a+t)− nếu a<0, x t( )=a nếu a=0.

Trường đại học Nụng nghiệp Hà Nội Ờ Luận văn thạc sĩ nụng nghiệp ... 39

Hỡnh 2.5. Nghiệm hầu khắp nơi của phương trỡnh 2.9 2.3. Cỏc vi phõn và cỏc lời giải của Filippov

Trước hết, ta xột bài toỏn giỏ trị ban ủầu cho cỏc trỡnh vi phõn và nhắc lại một vài ủịnh lý về sự tồn tại nghiệm.

Ta cú một hàm ủa trị (ỏnh xạ giỏ trị tập hợp) : N G Ω →Ă

ở ủú Ω là tập mở trong Ă N, hàm G lấy giỏ trị khỏc rỗng ( ) N

G x ⊂Ă . Sự tồn tại nghiệm cố ủiển (theo nghĩa hầu khắp nơi) của bài toỏn giỏ trị ban ủầu:

( ) ( ), 0 (2.10)

x&∈G x x =a

cú mối quan hệ với tớnh chất liờn tục của hàm G, như sau ủõy. Hàm G ủược gọi là:

Ớ Nửa liờn tục trờn tại x0∈ Ω nếu với mọi tập mở A sao cho G x( )0 ⊂ A ta cú G x( )⊂ A với mọi x ủủ gần x0.

Ớ Nửa liờn tục dưới tại x0∈ Ω nếu với mọi tập mở A sao cho ( )0

Trường đại học Nụng nghiệp Hà Nội Ờ Luận văn thạc sĩ nụng nghiệp ... 40

Vớ dụ 4. Xột G1( )0 = −[ 1;1 ;] G x1( ) { }= 0 nếu x≠0

Khi ủú G1 là nửa liờn tục trờn, khụng là nửa liờn tục dưới tại 0. Xột:

( ) { } ( ) [ ]

2 0 0 ; 2 1;1

G = G x = − nếu x ≠0

Khi ủú G2 là nửa liờn tục dưới, khụng là nửa liờn tục trờn.

Hỡnh 2.6. Hàm G2(x) và G1(x)

Một nghiệm của bài toỏn giỏ trị ban ủầu (2.10) là một hàm:y: 0;[ T)→ Ω

với T là số dương hữu hạn sao cho ủạo hàm của y tồn tại với hầu hết cỏc (0; ) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

t∈ T và nú khả tớch cục bộ, ( ) ( )

b

a

ydt = y b −y a

∫ & với mọi cặp a b, trong (0;T) và y t&( )∈G y t( ( )) với hầu hết cỏc t∈(0;T).

điều kiện ủặt lờn y trong cỏc ủịnh nghĩa trước (trừ (2.11)) tất cả ủều hiển nhiờn cần tớnh liờn tục ủịa phương của y. Bài toỏn ủiều khiển khỏ thường xuyờn yờu cầu kiểm tra trạng thỏi trờn một khoảng thời gian quy ủịnh, vớ dụ : kiểm tra trờn

[0;+∞) nếu ổn ủịnh tiệm cận là ủiều kiện chớnh. Với lý do như vậy, ủịnh lý về sự tồn tại nghiệm toàn cục là quan trọng nhất.

Trường đại học Nụng nghiệp Hà Nội Ờ Luận văn thạc sĩ nụng nghiệp ... 41

định lý 5. (Sự tồn tại nghiệm) Cho G là một hàm giỏ trị khỏc rỗng, compact lồi và nửa liờn tục trờn. Giả sử tồn tại cỏc hằng số A, B sao cho

( )

{ }

sup u u: ∈G x ≤ A x +B với mọi x

Khi ủú bài toỏn (2.10) cú nghiệm trờn [0 :+∞) với mọi a∈ Ω.

Vớ dụ 6. Cho G x( ) {= −sgnx}nếu x≠0,G( ) {0 = −1;1}.

Khi ủú G là nửa liờn tục trờn, giỏ trị compact, giỏ trị lồi trừ tại 0 (và G khụng là nửa liờn tục dưới tại 0). Bài toỏn giỏ trị ban ủầu:x&∈G x x( ) ( ), 0 =0

thiếu ủiều kiện ủể tồn tại nghiệm.

Hỡnh 2.7. Hàm dấu G(x)

Vớ dụ trờn chỉ ra rằng ủiều kiện lồi của G x( ) với mọi x là khụng thể bỏ trong sự tồn tại nghiệm của ủịnh lý 5. định lý trờn cú thể mở rộng tới bài toỏn vế phải là một hàm phụ thuộc vào sự biến ủổi của thời gian:

( , ) ( ), 0 (2.12)

x&∈G t x x =a

với ủộ ủo thớch hợp và phỏt triển thờm cỏc tớnh chất của hàm G.

Trường đại học Nụng nghiệp Hà Nội Ờ Luận văn thạc sĩ nụng nghiệp ... 42 định lý 7 (Sự tồn tại nghiệm)

Cho hàm ủa trị : 0;[ ) N N

G +∞ ìĂ →Ă là hàm giỏ trị lồi và thỏa món: ( ),.

G t là nửa liờn tục trờn với mọi t, và với mọi x tồn tại hàm ủo ủược h sao cho ( ) ( , )

h t ∈G t x với hầu hết t≥0, và tồn tại hàm khả tớch ủịa phương b c, sao cho: ( )

{ } ( ) ( )

sup u u: ∈G t x, ≤b t x +c t

với hầu hết t≥0 và với mọi x. Khi ủú (2.12)cú nghiệm trờn [0;+∞).

Cả định lý 5 và định lý 7 ủều yờu cầu tớnh nửa liờn tục của vế phải. Nếu vế phải là nửa liờn tục dưới (trường hợp ớt ủược nghiờn cứu hơn) với biến trạng thỏi, thỡ tồn tại ủịnh lý tương tự ủịnh lý 7 mà khụng cần ủiều kiện giỏ trị lồi. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Ta trở lại bài toỏn phương tỡnh vi phõn với giỏ trị ban ủầu cho hàm khụng liờn tục:

( , , 0) ( ) (2.13)

x&=g t x x =a

Ta ủó thấy khỏi niệm nghiệm của (2.6) cần ủịnh nghĩa mở rộng ủể ủảm bảo sự tồn tại nghiệm của bài toỏn. Chỳng ta nhắc lại ủịnh nghĩa cơ bản ủược Filippov ủưa ra như sau:

Cho: : 0;[ ) N g +∞ ì Ω →Ă

là hàm ủo ủược và thỏa món với mọi A, tồn tại B=B t( ) khả tớch ủịa phương sao cho bất ủẳng thức sau ủỳng hầu khắp nơi:

( )

{ } ( )

sup g t x, :t+ x ≤A ≤B t

Ta xỏc ủịnh hàm ủa trị G liờn kết với g như sau. Xỏc ủịnh B x( ,ε) là hỡnh cầu tõm x, bỏn kớnh ε trong Ă N. Xột tập:

( ) ( )

Trường đại học Nụng nghiệp Hà Nội Ờ Luận văn thạc sĩ nụng nghiệp ... 43 và cho

( , ) { , ( , )\ : 0, 0} (2.14)

G t x =I clco g t B x ε L ε > measL=

Ở ủú clcoA là bao lồi ủúng của A, nghĩa là giao của tất cả cỏc tập lồi, ủúng chứa A.

định nghĩa 8.

Một nghiệm Filippov y của (2.6) là một hàm liờn tục tuyệt ủối : 0;[ ] N y T →Ă sao cho: y t&( )∈G t y t , ( ) (2.15)

với hầu hết t∈(0;T).

Từ ủú Filippov ủịnh nghĩa thay thế phương trỡnh vi phõn với hàm khụng liờn tục (2.6) bởi phương trỡnh vi phõn bao hàm (2.15). Cấu tạo hàm G từ hàm g là tổng quỏt từ cỏch xỏc ủịnh ta ủó biết sau vớ dụ 2. Bỏ ủi cỏc tập hợp cú ủộ ủo bằng 0 trong cỏch lấy giỏ trị hàm g, mục ủớch ủể bỏ qua cỏc bất thường của vế phải trong (2.6) trờn cỏc tập hợp nhỏ. Với mọi t và x, G t x( , ) ủược xỏc ủịnh bởi (2.14) trở thành cỏc tập khỏc rỗng, lồi, ủúng và hàm ủa trị G t( ),. là nửa liờn tục trờn, hơn nữa nếu g t( ),. là liờn tục tại z thỡ G t z( ), ={g t z( ), }. điều ủú dẫn ủến, nếu g( ).,x là một hàm ủo ủược và g t( ),. là liờn tục khắp nơi thỡ y là một nghiệm cổ ủiển của (2.6) khi và chỉ khi y là nghiệm Filippov.

đối với hệ thống ủiều khiển (2.1) với phản hồi ủiều khiển khụng liờn tục ( )

* * ,

u =u t x chỳng ta cú ủược trường hợp cụ thể của khỏi niệm nghiệm Filippov của (2.5). Từ ủú

( ) ( )

( , , * , )

Trường đại học Nụng nghiệp Hà Nội Ờ Luận văn thạc sĩ nụng nghiệp ... 44 nếu x là một nghiệm Filippov của (2.1) với *

u=u , f là trơn và u t*( ),. là liờn tục tại x t( ). Hàm f thụng thường là hàm trơn và khụng liờn tục là do ta ủưa vào trong f hàm phản hồi ủiều khiển khụng liờn tục *

u . Tớnh chất của hàm ủa trị G ủược cho bởi (2.14) cho phộp ta ỏp dụng ủịnh lý tồn tại nghiệm với bài toỏn giỏ trị ban ủầu cho phương trỡnh vi phõn bao hàm.

định lý 9. (Sự tồn tại nghiệm)

Tồn tại nghiệm Filippov của (2.1) với u =u t x*( , ) trờn [0;+∞) với ủiều kiện:

Ớ N, (., , ) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

f x u

Ω =Ă là ủo ủược với mọi x và u f t, ( ,.,.) là liờn tục với hầu hết t≥0;

Ớ Tồn tại cỏc hàm khả tớch ủịa phương b c, sao cho: ( , , ) ( ) ( )

f t x u ≤b t x +c t

với hầu hết mọi t≥0 mọi x và mọi u U∈ ;

Ớ u* là hàm ủo ủược.

Sử dụng trực tiếp ủịnh nghĩa Filippov dựa vào (2.14) thường phức tạp. Trong phần sau này ta mụ tả cụng thức chi tiết cho phộp ta ủạt ủược, trong một trường hợp thực tế ủơn giản nhưng hữu ớch, một biểu thức cụ thể cho ủộng lực học Filippov. Ta sẽ xem xột ủộng lực học ủiều khiển trượt vụ hướng trơn trờn một ủa tạp ủối chiều, và trơn từng khỳc.

Cụ thể hơn, giả sử:

1

M = P=

s khả vi liờn tục, gradient của nú Ds x( )≠0 khi s x( )=0 và bề mặt S trơn xỏc ủịnh bởi (2.4) chia Ω thành hai tập mở khụng giao nhau G G−, + (với biờn chung S). Giả sử g ủược cho bởi (2..5) là bị chặn và hạn chế của nú trờn cả G G+, − hội

Trường đại học Nụng nghiệp Hà Nội Ờ Luận văn thạc sĩ nụng nghiệp ... 45

tụ tới giỏ trị g+(t x, 0),g−(t x, 0) tương ứng khi x→x0∈S với mọi x0∈S. Xỏc ủịnh: gN+,gN− là hỡnh chiếu của g+,g− theo vectơ ủơn vị thụng thường N tới mặt S tại mỗi ủiểm, ủược ủịnh hướng từ G− tới G+. Cho y là hàm liờn tục tuyệt ủối trờn khoảng thời gian ủược cho, với mọi t,

( ) 0, N , ( ) 0, N , ( ) 0, , ( ) , ( )

s y t = g− t y t ≥ g+ t y t ≤ g−t y t >g+t y t 

Khi ủú y là nghiệm Filippov của (2.6) khi và chỉ khi với mọi t: ( ) , ( ) (1 ) , ( ) y t αg+ t y t α g− t y t =  + −   & ở ủú N , ( ) n N g t y t g g α − − + =   − hay rừ hơn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . 2.16 . Ds g g Ds g g y t Ds g g − + + − − +  −    =  −    &

với vế phải ủược tớnh tại t y t, ( ). Từ ủú, trong trường hợp này, ủộng lực học Filippov thu ủược một cỏch rừ ràng là sự kết hợp lồi của cỏc vectơ g+,g−

Trường đại học Nụng nghiệp Hà Nội Ờ Luận văn thạc sĩ nụng nghiệp ... 46

2.4. Khả năng tồn tại và ủiều khiển tương ủương

Vấn ủề cơ bản chỳng ta bắt ủầu là tỡm quy tắc ủiều khiển phản hồi *

u sao cho nghiệm của (2.1) tương ứng với *

u thoả món ủiều kiện trượt (2.3). ắ nghĩa thớch hợp của biến trạng thỏi tương ứng với hàm phản hồi cú thể khụng liờn tục *

u qua (2.1) ủó thu ủược nhờ ủịnh nghĩa Filippov ở trờn.

Trong phần này ta tớnh ủến trạng thỏi hạn chế (2.3) và xột một dạng tổng quỏt của bài toỏn tỡm nghiệm, ủú là bài toỏn tỡm nghiệm của phương trỡnh:

x&∈F x x t( ) ( ), ∈K với mọi t (2.17)

ở ủú hàm ủa trị : N

F Ω →Ă và tập ủúng N

K ⊂Ă là cố ủịnh (Ω là một tập mở của Ă N).

để trỏnh cỏc ủiểm kỹ thuật, chỳng ta chỉ xem xột phương tỡnh vi phõn tự trị (2.17), nghĩa là chỳng ta giả sử F khụng phụ thuộc vào t. Bài toỏn ủiều khiển của chỳng ta (2.1), (2.2), (2.3) cú ủược khi cung cấp một trường hợp cụ thể

( , ) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

f = f x u , nghĩa là cho ủộng lực là bất biến ủối với thời gian, bằng cỏch lấy ( ) ( , ) { ( , ): }, (2.18)

F x = f x U = f x u u U∈ x∈ Ω

ủú là tập hợp tất cả cỏc vận tốc cú thể chấp nhận ủược của hệ thống ủiều khiển ủược cho, và

( )

{ : 0} (2.19)

K = z∈ Ω s z =

Chỳng ta tạm dừng ủể nhắc lại (cỏc kết quả ủó biết), nếu f là liờn tục và U là compact, thỡ tập hợp tất cả cỏc quỹ ủạo của hệ thống ủiều khiển

( ) , ( ) ( ), , ( )

x t& = f t x t u t  u t ∈U hầu khắp nơi phự hợp ủể mở vũng lặp (ủo ủược) ủiều khiển u( ). , trựng với tập tất cả cỏc nghiệm của phương trỡnh vi phõn bao hàm: x t&( )è ,t x t U( ), 

Trường đại học Nụng nghiệp Hà Nội Ờ Luận văn thạc sĩ nụng nghiệp ... 47

Ngay cả khi kết quả này khụng thớch hợp cho chỳng ta với bài toỏn trờn ủõy, nú cũng chỉ ra rằng vi phõn bao hàm cú thể mang lại khung toỏn học thuận lợi ủể nghiờn cứu cỏc bài toỏn ủiều khiển nhất ủịnh.

Một nghiệm y của vi phõn bao hàm

( )

x&∈F x

ủược gọi là cú thể tồn tại (khả thi) cho K nếu y thoả món (2.17), nghĩa là ( )

y t ∈K với mọi t. Vậy chỳng ta quan tõm ủến những nghiệm ủặc biệt này (nếu cú) của phương trỡnh vi phõn bao hàm trong (2.17) thoả món ủiều kiện trượt ủược xỏc ủịnh bởi tập ràng buộc K. Cụ thể hơn, ta cú ủiều kiện ban ủầu

( )0

a=x ∈K và chỳng ta tỡm ủiều kiện ủảm bảo tồn tại ớt nhất một nghiệm khả thi, nghĩa là, một nghiệm của (2.17) ủưa ra từ a tại 0.

Nếu F là giỏ trị ủơn, nghĩa là, ta ủang xem xột một hệ thống cỏc phương trỡnh vi phõn thường x&=g x( ), một cỏch tự nhiờn ủể ỏp ủặt, như một ủiều kiện ủủ cho sự tồn tại, ủú là cỏc ủộng học tiếp xỳc với tập K.

Hỡnh 2.9. động học tiếp xỳc với tập K

Sau ủú, chỳng ta ủược dẫn ủến xem xột hỡnh nún tiếp xỳc với K tại một ủiểm cho trước x∈K, T K x( , )

Trường đại học Nụng nghiệp Hà Nội Ờ Luận văn thạc sĩ nụng nghiệp ... 48 ủú là tập tất cả cỏc ủiểm lim( n )/ n n w x x t →∞ = − , ở ủú dóy xn∈K, xn →x và dóy cỏc số dương tn →0. Nếu K cú bề mặt trơn S ủạt ủược bởi (2.19), thỡ mặt nún tiếp xỳc T K x( , ) trở thành khụng gian tiếp xỳc của S tại x. Ta xỏc ủịnh:Ds x( )là ma trận jacobian PìN của s tại x, cú chỉ số ( j h, ) là: j ( )

h s x x ∂ ∂ ở ủú sj là thành phần thứ j của s. Ta cú: Mệnh ủề 10.

Cho K ủược cho bởi (2.19). Cho 1( N, P)

s∈C Ă Ă với Ds x( ) ủạt bậc cao nhất nếu s x( )=0. Khi ủú ( , ) {w N : ( )w 0}

T K x = ∈Ă Ds x =

Bõy giờ ta xột bài toỏn ủiều khiển tự ủộng

( ) ( ), 0 , ( ) (2.20)

x&∈F x x =a x t ∈K

ở ủú F ủược cho bởi (2.18) và K là tập ủúng cho trước. Phương trỡnh vi phõn bao hàm (2.20) mụ phỏng (như một trường hợp ủặc biệt) bài toỏn ủiều khiển. Thật vậy, tất cả cỏc trạng thỏi từ (2.1) (nếu thời gian bất biến) tương ứng với cỏc luật ủiều khiển bất kỳ thoả món (2.2) tuõn theo (2.20) với hầu hết mọi t. Hơn nữa, ủộng học Filippov x tương ứng với cỏc luật ủiều khiển phản hồi khụng liờn tục từ U thoả món (2.20) cho ta (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

U là compact, f là liờn tục, và f x U( , ) là lồi với mọi x∈ Ω (2.21)