Tất cả những khỏi niệm trước ủõy ủược xem xột theo ủỳng nghĩa ủể dẫn tới cỏc trường hợp của quỏ trỡnh ủiều khiển
(, , ,) ( ), , ( ),
x&= f t x u s= s t x ẻ Ă u= U t x ẻ Ă trong ủú n,
xẻ Ă t là thời gian, u là luật ủiều khiển, f, s là cỏc hàm trơn.
Luật ủiều khiển u ở ủõy ủược xỏc ủịnh bởi một phản hồi u= U t x( ), , U là một hàm khụng liờn tục.
để ủơn giản, chỳng ta giới hạn trong trường hợp khi s và u là những ủại lượng vụ hướng. Tất cả cỏc nghiờn cứu dưới dõy cú thể ủược xõy dựng cho trường hợp bậc của vectơ trượt.
Chế ủộ trượt chuẩn phải thỏa món ủiều kiện là: ủặt vectơ vận tốc V khụng nằm trong khoảng giữa của vectơ khụng gian tiếp tuyến T và mặt ủa tạp s= 0, nhưng vẫn cú ủiểm cắt với nú. Và bởi vậy một quỹ ủạo tồn tại trờn ủa tạp với vectơ vận tốc nằm trong T. Cỏc chế ủộ trượt như vậy là cỏc chế ủộ vận hành chớnh trong
Trường đại học Nụng nghiệp Hà Nội Ờ Luận văn thạc sĩ nụng nghiệp ... 58
cỏc hệ thống cú cấu trỳc biến ủổi và theo cỏc ủịnh nghĩa phớa trờn, chỳng là bậc một. Khi một lỗi chuyển mạch xảy ra thỡ quỹ ủạo sẽ rời xa ủa tạp ở một gúc ủộ nhất ủịnh. Mặt khỏc, trong trường hợp mặt trượt bậc hai, tất cả cỏc vectơ cú hướng nằm trong khoảng giữa tiếp tuyến và ủa tạp, và thậm chớ khi một lỗi chuyển mạch xảy ra thỡ trạng thỏi quỹ ủạo tại thời ủiểm ủú cú thể rời xa khoảng khụng giữa tiếp tuyến và ủa tạp.
để thấy những liờn kết với một số kết quả nổi tiếng của lý thuyết ủiều khiển xem xột tại trường hợp ủầu tiờn khi
( ) ( ) , ( ) ,
x&= a x + b x u s= s x ẻ Ă uẻ Ă trong ủú a,b,s là cỏc hàm vectơ trơn.
Hệ thống cú bậc tương quan (bậc quan hệ) là r với biến ủầu ra là s, ủiều ủú cú nghĩa là cỏc ủạo hàm , ,..., r 2
b b a b a
L s L L s L L- s bằng 0 trong vựng lõn cận của một ủiểm cho trước và r 1
b a
L L s- khỏc 0 tại ủiểm ủú.
Bậc quan hệ bằng r cú nghĩa là, trong trường hợp ủơn giản, u xuất hiện rừ ràng trong bậc rth tổng thời gian ủạo hàm của s. Trong trường hợp ủú thỡ ( )i i
a s = L s
với i= 1,...,r- 1, ủương nhiờn ủiều kiện ủều (3.4) ủược thỏa món và
( )r r 1 0 b a s L L s u - ả = ạ
ả . Cú một sự liờn quan trực tiếp giữa khỏi niệm bậc quan hệ và ủiều kiện trượt ủều. điều kiện trượt ủều (3.4) nghĩa là Ộbậc quan hệ với tớnh khụng liờn tụcỢ là khụng nhỏ hơn r. Tương tự, khỏi niệm bậc trượt rth là tương tự như khỏi niệm ủộng học Ờ 0.
Khỏi niệm bậc quan hệ ủược giới thiệu ỏp dụng cho trường hợp ủộc lập duy nhất. Tuy nhiờn chỳng ta sẽ ỏp dụng khỏi niệm này cho trường hợp khụng ủộc lập. Xỏc ủịnh một biến giả ủịnh xn+1= t x; &n+1= 1.
Trường đại học Nụng nghiệp Hà Nội Ờ Luận văn thạc sĩ nụng nghiệp ... 59 Xem xột hệ thống ủộng học cú dạng
( ), ( ), , ( ), , ( ),
x&= a t x + b t x u s= s t x u= U t x ẻ Ă
định lý 22. Hệ thống cú bậc quan hệ r với ủầu ra là hàm của s tại một vài ủiểm trượt Ờ r (t x0, 0). Cỏc hàm khụng liờn tục U cú giỏ trị trờn cỏc ủoạn [K,Ơ ) và
(- Ơ -, K] và trờn một vài khoảng ủo khỏc 0 trong bất kỳ vựng lõn cận của ủiểm trượt r gần ủiểm (t x0, 0). Do ủú nú cung cấp một ủại lượng ủủ lớn K cho sự tồn tại của chế ủộ trượt bậc r trong vựng lõn cận của ủiểm (t x0, 0). Chuyển ủộng trượt bậc r thỏa món phương trỡnh ủộng học bằng 0.
Minh chứng: Lý thuyết này là hệ quả tức thời của mệnh ủề 20. Tuy nhiờn chỳng ta sẽ cụ thể việc minh chứng, xem xột hệ tọa ủộ cục bộ mới:
1
( ,..., )n
y= y y trong ủú ( 1) 1 , 2 ,..., r
r
y = s y = s& y = s - , trong hệ tọa ủộ này ủa tạp r
L cho bởi phương trỡnh y1= y2 = ...= yr = 0 và ủộng học của hệ thống là như sau: 1 2 1 1 2 1 ,..., ( , ) ( , ) , ( , ) 0 (3.5) ( , ) ( , ) , ( ,..., ) r r r r n y y y y y h t y g t y u g t y t y t y u y y - + = = = + ạ x = Y + Y x = & & & &
Với Ueq = - h t y( , ) / ( , )g t y . Rừ ràng với ủiều kiện ban ủầu như trờn, bậc trượt
r-th của ủa tạp trượt Sr tương ủương với ủiều khiển u= Ueq( , )t y nú sẽ giữ hệ thống trong vũng ủa tạp trượt Sr. Dễ dàng nhận thấy rằng việc thay thế tất cả cỏc giỏ trị cú thể từ ủoạn [-K, K] cho u ủưa cho chỳng ta một tập hợp cỏc giỏ trị của vec tơ vận tốc Filippov.Ueq nhỏ hơn K0, do ủú với K>K0 thỡ sự thay thế u= Ueq
Trường đại học Nụng nghiệp Hà Nội Ờ Luận văn thạc sĩ nụng nghiệp ... 60
Thuật toỏn ủiều khiển u= - K sign s thỏa món ủịnh lý 22. Tuy nhiờn như một chế ủộ khụng ổn ủịnh theo minh chứng phớa trờn sẽ tương ủương với phương phỏp ủiều khiển ỏp dụng cho kiểu trượt bậc r và tạo ra phương trỡnh trựng với phương trỡnh ủộng học Ờ 0 cho hệ thống tương ứng.
đẳng thức sau thỏa món một cỏch ủồng nhất với hệ quả của phương trỡnh ủộng học hệ thống:
( ) ( )
( r ,..., , , , k ,..., , ) 0 (3.6)
P s s s x u& u u& =
Phương trỡnh (3.6) cú thể ủược giải quyết với sự lưu ý ủến ( )r
s và ( )k
u , hàm s bản thõn nú phụ thuộc vào u. Bậc chế ủộ trượt rth ủược xem xột như là trạng thỏi ổn ủịnh sỨ 0 và phải ủạt ủược bởi một bộ ủiều khiển thỏa món (3.6).
để ủạt ủược ủiều ủú cho cho s một vài ủộng học ổn ủịnh:
( 1) ( 2) 1 ... 1 0 r r r s a s a s s = - + - + + - = động học giỏn ủoạn: s&= - signs (3.7) để ủạt ủược mục ủớch ủú giỏ trị ủỏp ứng của ( )r
S sẽ tương ủương biểu thức (3.7) thay vào (3.6) phương trỡnh thu ủược chớnh là ( )k
u .
Bởi vậy một bộ ủiều khiển ủộng học ủược tạo thành từ phương trỡnh vi phõn của u. Với bộ ủiều khiển cỏc ủạo hàm liờn tục ,..., (r 1)
s s - sẽ là cỏc hàm trơn của cỏc giỏ trị trong khụng gian trạng thỏi của hệ thống. Trạng thỏi ổn ủịnh của hệ thống thỏa món biểu thức (3.2) và cỏc ủiều kiện liờn quan trong ủú cú ủiều kiện ủều (3.4) như vậy ủịnh nghĩa 16 ủược giữ nguyờn.
Lưu ý cú 2 sự khỏc biệt chế ủộ trượt trong hệ thống (3.6) và (3.7): Một chế ủộ trượt chuẩn của bậc trượt ủầu tiờn, chế ủộ ủú ủược giữ trờn bề mặt của ủa tạp
0
Trường đại học Nụng nghiệp Hà Nội Ờ Luận văn thạc sĩ nụng nghiệp ... 61 0
s= , chế ủộ ủú ủược giữ trong giới hạn cỏc ủiểm trượt r của ủa tạp trượt
( 1)
... r 0
s= = =s& &s& = s - = .
3.2.2. Trượt thực tế và ủộ hội tụ thời gian hữu hạn.
Một luật ủiều khiển u với ràng buộc s t x( , )= 0. Chất lượng của việc thiết kế ủiều khiển liờn quan ủến ủộ trượt chớnh xỏc, trong thực tế khụng cú phương phỏp ủể thiết kế luật ủiều khiển ủú, tuy nhiờn ủưa ra một ý tưởng là giữ cỏc ràng buộc theo quy ủịnh.
Bất kỳ ý tưởng về trượt nờn ủược hiểu như là một giới hạn của chuyển ủộng khi một chuyển ủổi khụng hoàn hảo biến mất và tần số chuyển ủổi hướng ủến vụ cựng. Xem e là một vài phương phỏp ủo của chuyển ủổi khụng hoàn hảo. Sau ủú trượt chớnh xỏc của bất kỳ kiểu trượt nào cú thể ủặc trưng bởi một tiệm cận trượt chớnh xỏc vớ eđ 0.
định nghĩa 18. Xem ( , ( , ))t x t e là một nhúm cỏc quỹ ủạo với m
eẻ Ă , với ủiều kiện chung ban ủầu là ( , ( ))t x t0 0 , và tỠ t0(hoặc tẻ [t T0, ]). Giả ủịnh rằng tồn tại
1 0
t Ỡ t (hoặc t1ẻ [t T0, ]) như vậy trờn mỗi ủoạn ộờt t', ''ựỳ
ở ỷnơi mà tÂỠ t1( hoặc trờn ủoạn [t T1, ]) hàm s t x t e( , ( , ))hướng ủến 0 với eđ 0. Trong trường hợp ủú chỳng ta gọi nhúm cỏc quỹ ủạo ủú như là một nhúm trượt thực tế với ràng buộc s=0. Chỳng ta gọi chuyển ủộng trờn ủoạn [t t0 1, ]là một quỏ trỡnh tạm thời và chuyển ủộng trờn ủoạn [t1,Ơ ) hoặc [t T1, ]là một quỏ trỡnh trạng thỏi ổn ủịnh.
định nghĩa 19. Một thuật toỏn ủiều khiển phụ thuộc vào một tham số m eẻ Ă gọi là thuật toỏn trượt thực với ủiều kiện ràng buộc s= 0 nếu với eđ 0, nú là hỡnh thức của một nhúm trượt thực cho bất kỳ ủiều kiện ban ủầu.
Trường đại học Nụng nghiệp Hà Nội Ờ Luận văn thạc sĩ nụng nghiệp ... 62
định nghĩa 20. Xem g e( ) là một hàm biến thực sao cho g e( )đ 0 khi eđ 0. Một thuật toỏn trượt thực với ràng buộc s= 0, ủược gọi là bậc trượt r (r> 0)
với g e( ) nếu với bất kỳ tập compact cỏc ủiều kiện ban ủầu và với bất kỳ ủoạn thời gian [T T1, 2] tồn tại một hằng số C, sao cho quỏ trỡnh trạng thỏi ổn ủịnh cho
[1, 2]
tẻ T T thoả món
( )
(, , ) ( )r
s t x t e Ê C g e
Trong trường hợp ủặc biệt khi g e( ) là khoảng thời gian nhỏ nhất của ủiều khiển trơn, từ Ộủối với g e( )Ợ cú thể ủược bỏ qua. đõy là trường hợp khi trượt thực xuất hiện như một kết quả của chuyển mạch rời rạc.
Với ủiều kiện trượt ủều Ờ r ủược thoả món, ủể cú bậc trượt thực rth với chuyển mạch rời rạc thỡ cần thiết phải cú ớt nhất bậc rth trong ý tưởng trượt (cung cấp bởi tần số chuyển mạch vụ hạn).
Bởi vậy, bậc trượt thực khụng vượt quỏ bậc của chế ủộ trượt tương ứng. Chế ủộ trượt tiờu chuẩn cung cấp, do ủú, chỉ cho bậc trượt thực thứ nhất. Bậc thứ hai của bậc trượt thực ủạt ủược bởi cỏc chuyển ủổi rời rạc của cỏc thuật toỏn trượt bậc hai. Bất kỳ bậc tuỳ ý nào của trượt thực cú ủể ủạt ủược bởi sự rời rạc của dạng thuật toỏn trượt cựng bậc.
Trượt thực tế cú thể ủạt ủược bằng những cỏch khỏc nhau từ sự chuyển ủổi rời rạc của chế ủộ trượt.
Thực tế, ủộ chớnh xỏc của trượt cuối cựng luụn luụn ủạt ủược trong thời gian hữu hạn. Bởi vậy, bờn cạnh lý thuyết thuần tuý cũng cú một số lý do khỏc ủể nghiờn cứu cỏc phương phỏp chế ủộ trượt (kiểu trượt) trong khoảng thời gian hữu hạn. Xem xột một hệ thống với ủiều khiển trượt bậc r. Giả sử rằng với khoảng chuyển
Trường đại học Nụng nghiệp Hà Nội Ờ Luận văn thạc sĩ nụng nghiệp ... 63
ủổi tối thiểu t cung cấp bậc trượt thực tối ủa r. điều ủú cú nghĩa là trượt chớnh xỏc tương ứng r
s : t ủược giữ, nếu như ủiều kiện bậc trượt r ủược giữ ở khoảng thời gian hiện tại. Giả sử rằng bậc trượt r trong hệ thống chuyển ủổi mạch liờn tục là tiệm cận ổn ủịnh và khụng thu hỳt cỏc quỹ ủạo trong khoảng thời gian hữu hạn. đú là lý do ủể kết luận trong trường hợp ủú với t đ 0, quỏ trỡnh thời gian tạm thời cho trường hợp tổng quỏt cố ủịnh cỏc ủiều kiện ban ủầu sẽ tiến tới vụ cựng. Vớ dụ, chế ủộ trượt (kiểu trượt) là theo cấp số nhõn ổn ủịnh, quỏ trỡnh thời gian tạm thời sẽ tỷ lệ với rln( )t- 1 . Bởi vậy nú khụng thể nhỡn thấy (bắt gặp) chớnh xỏc trong thực tế nếu chế ủộ trượt chỉ tiệm cận ổn ủịnh. Tại thời gian tương tự, thời gian của quỏ trỡnh tạm thời sẽ khụng thay ủổi mạnh mẽ nếu nú là hữu hạn từ ủầu. Quỏ trỡnh xảy ra khi một bậc trượt thực ủạt ủược với sự hội tụ thời gian vụ hạn là một vấn ủề vẫn cũn ủang ủược nghiờn cứu.
3.3. điều khiển trượt bậc hai
3.3.1. động học trượt bậc hai
Xột hệ thống
(, , ,) ( ), , ( ), (3.23)
x&= f t x u s= s t x ẻ Ă u= U t x ẻ Ă trong ủú n
xẻ Ă , t là thời gian, u là luật ủiều khiển, f và s là cỏc hàm trơn. Luật ủiều khiển cú nhiệm vụ là giữ cho ủầu ra sỨ 0. đạo hàm liờn tục ủầu ra theo biến s chỳng ta thu ủược cỏc hàm s s&&, ,...& Phụ thuộc vào cỏc bậc quan hệ của hệ thống, cỏc trường hợp khỏc cần ủược xem xột
a) Bậc quan hệ r= 1, nghĩa là s 0 u ả ạ ả & b) Bậc quan hệ rỠ 2, nghĩa là ( )i 0 ( 1,2,..., 1 ,) ( )r 0 s i r s u u ả ả = = - ạ ả ả
Trường đại học Nụng nghiệp Hà Nội Ờ Luận văn thạc sĩ nụng nghiệp ... 64
Trong trường hợp a), phương phỏp cổ ủiển giải quyết ủược vấn ủề ủiều khiển vỡ bậc của chế ủộ trượt là bậc 1. Tuy nhiờn chế ủộ trượt bậc hai cú thể ủược sử dụng ủể trỏnh hiện tượng những tiếng kờu. để ủạt ủược mục ủớch ủú, luật ủiều khiển u sẽ trở thành ủầu ra của ủộng học hệ thống bậc một. Vớ dụ, ủạo hàm theo thời gian của luật ủiều khiển u t&( ) cú thể ủược xem xột như một biến ủiều khiển thực sự. Một ủiều khiển giỏn ủoạn u& sẽ lỏi biến trượt s tới 0, và giữ trạng thỏi
0
s= trong một chế ủộ trượt bậc hai, ủảm bảo hàm ủiều khiển u là liờn tục và trỏnh ủược những tiếng kờu.
Trong trường hợp b), phương phỏp kiểu trượt bậc p với pỠ r là cụng nghệ ủiều khiển ủược lựa chọn.
Trỏnh những tiếng kờu: thỏa món vấn ủề ràng buộc tổng quỏt
Khi xem xột phương phỏp ủiều khiển cổ ủiển, biến ủiều khiển u t( ) ủược thiết kế là ủầu ra phản hồi của rơle. Việc ỏp dụng trực tiếp ủiều khiển trượt bậc hai, ủạt ủược chuyển ủộng trượt trờn mặt trượt ủa tạp, nghĩa là cú một giới hạn giữa ủầu vào u t( ) và ủầu ra liờn tục phự hợp với ủộng học của hệ thống cú bậc trượt một sẽ ủược lỏi bởi một tớn hiệu khụng liờn tục thớch hợp. động học bậc một cú thể bản thõn nú sẽ ủiều khiển cỏc thiết bị hoặc là cơ sở cho mục ủớch loại bỏ những tiếng kờu.
Giả thiết f và s là tương ứng với hàm khả vi bậc một và khả vi bậc hai (C C1, 2), và nú cú giỏ giỏ trị trong việc truyền thụng tin bao gồm giỏ trị hiện tại của
( ) ( )
, , ,
t u t s t x và cỏc tớn hiệu ủạo hàm theo thời gian của s. đạo hàm biến trượt s hai lần, ta suy ra ủược:
Trường đại học Nụng nghiệp Hà Nội Ờ Luận văn thạc sĩ nụng nghiệp ... 65 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , 3.24 , , , , , , , , 3.25 s s t x s t x f t x u t x s t s t x u s t x u f t x u s t x u u t t x u ả ả = + ả ả ả ả ả = + + ả ả ả &
&& & & & &
Mục tiờu ủiều khiển ủối với ủiều khiển trượt bậc hai là lỏi s ủến ủiểm 0 trong khoảng thời gian hữu hạn của cỏc hàm ủiều khiển liờn tục u t( ) (phụ thuộc vào thời gian). để thỏa món trạng thỏi ủiều khiển nghiờm ngặt ủú, cỏc giả thiết ủiều kiện sau ủược ủưa ra:
1) Cỏc biến ủiều khiển tựy thuộc vào sự thiết lập U= {u u: Ê UM}, trong ủú 1
M
U > là một hằng số thực, hơn nữa, giải phỏp của hệ thống ủược ủịnh nghĩa rừ cho mọi t, sẽ cung cấp hàm u t( ) là liờn tục với mọi t u t( )ẻ U. 2) Tồn tại u1ẻ ( )0,1 sao cho bất kỳ hàm liờn tục u t( ) với u t( )> u1 thỡ cú t1
sao cho s t u t( ) ( )> 0 với mỗi t> t1. Như vậy luật ủiều khiển
( ) ( ( )0 )
u t = - sign s t , trong ủú t0 là giỏ trị ban ủầu của thời gian, từ ủú tỡm ra mặt trượt s= 0 trong khoảng thời gian hữu hạn.
3) Xem xột s t x u&(, , ) là tổng ủạo hàm theo thời gian của biến trượt s t x( ), . Cú những hằng số dương sao cho nếu s t x( ), < s0 thỡ
( ) ( ) 0 m s t x u, , M, u ,x 3.26 u ả < G Ê Ê G " ẻ ẻ ả & U X và ủẳng thức u > u0 dẫn ủến su&> 0.
4) Cú một hàm dương F sao cho với khoảng s < s0 thỡ bất ủẳng thức sau ủược giữ nguyờn "t x, ẻ X,uẻ U
Trường đại học Nụng nghiệp Hà Nội Ờ Luận văn thạc sĩ nụng nghiệp ... 66 (, , ) (, , ) (, , ) (3.27) s t x u s t x u f t x u t x