1. CÁC BÀI TỐN VỀ HèNH CHểP TAM GIÁC
Bài 1 (Trớch đề thi Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD cú cạnh AD vuụng gúc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tớnh khoảng cỏch từ đỉnh A đến (BCD).
Bài 2. Cho ∆ABC vuụng tại A cú đường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trờn đường thẳng vuụng gúc với (ABC) tại A lấy
điểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung điểm của SB, SC và H là hỡnh chiếu của A trờn EF. 1. Chứng minh H là trung điểm của SD.
2. Tớnh cosin của gúc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE). 3. Tớnh thể tớch hỡnh chúp A.BCFE.
Bài 3. Cho hỡnh chúp O.ABC cú cỏc cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuụng gúc với nhau từng đụi một. Gọi H là hỡnh chiếu của điểm O lờn (ABC) và cỏc điểm A’, B’, C’ lần lượt là hỡnh chiếu của H lờn (OBC), (OCA), (OAB).
1. Tớnh thể tớch tứ diện HA’B’C’.
2. Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều.
Bài 4. Cho hỡnh chúp O.ABC cú OA, OB, OC đụi một vuụng gúc. Gọi , , α β γ lần lượt là gúc nhị diện cạnh AB, BC,
CA. Gọi H là hỡnh chiếu của đỉnh O trờn (ABC).
1. Chứng minh H là trực tõm của ∆ABC. 2. Chứng minh 1 2 12 12 12.
OH =OA +OB +OC
3. Chứng minh cos2α +cos2β +cos2γ =1. 4. Chứng minh cosα +cosβ +cosγ ≤ 3.
Bài 5. Cho hỡnh chúp O.ABC cú OA = a, OB = b, OC = c vuụng gúc với nhau từng đụi một. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB.
1. Tớnh gúc ϕ giữa (OMN) và (OAB).
2. Tỡm điều kiện a, b, c để hỡnh chiếu của O trờn (ABC) là trọng tõm ∆ANP.
3. Chứng minh rằng gúc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuụng khi và chỉ khi 12 12 12.
a =b +c
Bài 6. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ∆ABC vuụng cõn tại A, SA vuụng gúc với đỏy. Biết AB = 2, (ãABC), (SBC)=600. 1. Tớnh độ dài SA.
2. Tớnh khoảng cỏch từ đỉnh A đến (SBC).
3. Tớnh gúc hợp bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
Bài 7. Cho hỡnh chúp O.ABC cú OA = a, OB = b, OC = c vuụng gúc với nhau từng đụi một. 1. Tớnh bỏn kớnh r của mặt cầu nội tiếp hỡnh chúp.
2. Tớnh bỏn kớnh R của mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp.
Bài 8 (trớch đề thi Đại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuụng gúc với nhau, giao tuyến là đường thẳng (d). Trờn (d) lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cựng vuụng gúc với (d) và AC = BD = AB. Tớnh bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cỏch từ đỉnh A đến (BCD) theo a.
Bài 9. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuụng gúc với đỏy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.
2. Tớnh khoảng cỏch giữa MB và AC theo a. 3. Tớnh gúc hợp bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
Bài 10. Cho tứ diện S.ABC cú ∆ABC vuụng cõn tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuụng gúc với đỏy. Vẽ AH vuụng gúc với SB tại H, AK vuụng gúc với SC tại K.
1. Chứng minh HK vuụng gúc với CS.
2. Gọi I là giao điểm của HK và BC. Chứng minh B là trung điểm của CI. 3. Tớnh sin của gúc giữa SB và (AHK).
4. Xỏc định tõm J và bỏn kớnh R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.
Bài 11. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ∆ABC vuụng tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bờn SA = 5 và vuụng gúc với đỏy. Gọi D là trung điểm cạnh AB.
1. Tớnh cosin gúc giữa hai đường thẳng AC và SD. 2. Tớnh khoảng cỏch giữa BC và SD.
3. Tớnh cosin của gúc hợp bởi hai mặt phẳng (SBD) và (SCD).
Bài 12. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a. SA vuụng gúc với đỏy và SA a= 3. 1. Tớnh khoảng cỏch từ đỉnh A đến (SBC).
2. Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AB và SC.
Bài 13. Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC cú độ dài cạnh đỏy là a, đường cao SH = h. Mặt phẳng (α) đi qua AB và vuụng gúc với SC.
1. Tỡm điều kiện của h theo a để (α) cắt cạnh SC tại K. 2. Tớnh diện tớch ∆ABK.
3. Tớnh h theo a để (α) chia hỡnh chúp thành hai phần cú thể tớch bằng nhau. Chứng tỏ rằng khi đú tõm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trựng nhau.
2. CÁC BÀI TỐN VỀ HèNH CHểP TỨ GIÁC
Bài 14. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy hỡnh vuụng cạnh a, SA = a và vuụng gúc với đỏy. Gọi E là trung điểm CD. 1. Tớnh diện tớch ∆SBE.
2. Tớnh khoảng cỏch từ đỉnh C đến (SBE).
3. (SBE) chia hỡnh chúp thành hai phần, tớnh tỉ số thể tớch hai phần đú.
Bài 15. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy hỡnh vuụng cạnh a. Cạnh bờn SA vuụng gúc với đỏy và SA a= 3. 1. Tớnh khoảng cỏch từ đỉnh C đến (SBD).
2. Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SD và AC. 3. Tớnh gúc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Bài 16. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy hỡnh vuụng cạnh 3cm. Cạnh bờn SA vuụng gúc với đỏy và SA=3 2cm. Mặt phẳng (α) đi qua A và vuụng gúc với SC cắt cỏc cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K.
1. Chứng minh AH vuụng gúc với SB, AK vuụng gúc với SD. 2. Chứng minh BD song song với (α).
3. Chứng minh HK đi qua trọng tõm G của ∆SAC. 4. Tớnh thể tớch hỡnh khối ABCDKMH.
Bài 17. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bờn SA vuụng gúc với đỏy và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD.
1. Tớnh khoảng cỏch từ A đến (BCN). 2. Tớnh khoảng cỏch giữa SB và CN.
3. Tớnh gúc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC). 4. Tỡm điều kiện của a và b để cosã 3
3
CMN = . Trong trường hợp đú tớnh thể tớch hỡnh chúp S.BCNM.
Bài 18. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a. ∆SAD đều và vuụng gúc với (ABCD). Gọi H là trung điểm của AD.
1. Tớnh d(D,(SBC)), d(HC,SD).
2. Mặt phẳng (α) qua H và vuụng gúc với SC tại I. Chứng tỏ (α) cắt cỏc cạnh SB, SD. 3. Tớnh gúc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Bài 19. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thoi tõm O. SO vuụng gúc với đỏy và SO =2a 3, AC = 4a, BD = 2a. Mặt phẳng (α) qua A vuụng gúc với SC cắt cỏc cạnh SB, SC, SD tại ', ', 'B C D .
2. Tớnh theo a bỏn kớnh mặt cầu nội tiếp S.ABCD.
Bài 20. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Đường cao SA = 2a. Trờn cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0≤ ≤m a).
1. Tỡm vị trớ điểm M để diện tớch ∆SBM lớn nhất, nhỏ nhất. 2. Cho
3
a
m= , gọi K là giao điểm của BM và AD. Tớnh gúc hợp bởi hai mặt phẳng (SAK) và (SBK).
3. CÁC BÀI TỐN VỀ HèNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG
Bài 21. Cho hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là trung điểm của A’D’, BB’, CD, BC. 1. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng.
2. Tớnh khoảng cỏch giữa IK và AD. 3. Tớnh diện tớch tứ giỏc IKNM.
Bài 22 (Trớch đề thi Đại học khối A – 2003). Cho hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tớnh gúc phẳng nhị diện [B,A'C,D].
Bài 23. Cho hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tỡm điểm M trờn cạnh AA’ sao cho (BD’M) cắt hỡnh lập phương theo thiết diện cú diện tớch nhỏ nhất.
Bài 24. Cho hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. 1. Chứng minh A’C vuụng gúc với (AB’D’). 2. Tớnh gúc giữa (DA’C) và (ABB’A’).
3. Trờn cạnh AD’, DB lấy lần lượt cỏc điểm M, N thỏa AM = DN = k (0< <k a 2). a. Chứng minh MN song song (A’D’BC).
b. Tỡm k để MN nhỏ nhất. Chứng tỏ khi đú MN là đoạn vuụng gúc chung của AD’ và DB.
Bài 25. Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cú AB = 2, AD = 4, AA’ = 6. Cỏc điểm M, N thỏa
, ' (0 1).
AM =mAD BN =mBB ≤ ≤m
uuuur uuur uuur uuuur
Gọi I, K là trung điểm của AB, C’D’. 1. Tớnh khoảng cỏch từ điểm A đến (A’BD).
2. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng.
3. Tớnh bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp ∆A BD' . 4. Tớnh m để diện tớch tứ giỏc MINK lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 26. Cho hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D’ cú độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là trung điểm AB, N là tõm hỡnh vuụng
ADD’A’.
1. Tớnh bỏn kớnh R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N.
2. Tớnh bỏn kớnh r của đường trũn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D. 3. Tớnh diện tớch thiết diện tạo bởi (CMN) và hỡnh lập phương.
Bài 27 (trớch đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hỡnh lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ cú đỏy hỡnh thoi cạnh a,
ã 60 .0
BAD= Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’.
1. Chứng minh B’, M, D, N cựng thuộc một mặt phẳng. 2. Tớnh AA’ theo a để B’MDN là hỡnh vuụng.
Bài 28. Cho hỡnh lăng trụ đứng tam giỏc ABC.A’B’C’ cú đỏy là tam giỏc vuụng tại A. Cho AB = a, AC = b, AA’ = c. Mặt phẳng (α) qua B và vuụng gúc với B’C.
1. Tỡm điều kiện của a, b, c để (α) cắt cạnh CC’ tại I (I khụng trựng với C và C’). 2. Cho (α) cắt CC’ tại I.
a. Xỏc định và tớnh diện tớch của thiết diện. b. Tớnh gúc phẳng nhị diện giữa thiết diện và đỏy.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Chuyờn đề
HèNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHễNG GIAN
A. Lí THUYẾT