Elip 1. Phương trỡnh chớnh tắc: 2 2 2 2 1 x y a + b = , (a>b>0). 2. Cỏc yếu tố: c2 =a2 −b2, c>0.
Tiờu cự: F1F2=2c; Độ dài trục lớn A1A2=2a Độ dài trục bộ B1B2=2b. Hai tiờu điểm F1(−c;0 ,) F c2( );0 .
Bốn đỉnh: đỉnh trờn trục lớn A1(−a;0 ,) A a2( );0 , đỉnh trờn trục bộ B1(0;−b B), 2( )0;b .
Bỏn kớnh qua tiờu điểm: MF1 = = +r1 a exM; MF2 = = −r2 a exM
Tõm sai: e c 1 a = < Đường chuẩn: a x e = ±
Khoảng cỏch giữa hai đường chuẩn: d 2a
e
= .
3. Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xỳc với elip là: A2a2+B2b2=C2.
Hyperbol 1. Phương trỡnh chớnh tắc: 2 2 2 2 1 x y a −b = , (a>0, b>0). 2. Cỏc yếu tố: c2 =a2 +b2, c>0.
Tiờu cự: F1F2=2c; Độ dài trục thực A1A2=2a Độ dài trục ảo B1B2=2b. Hai tiờu điểm F1(−c;0 ,) F c2( );0 .
Hai đỉnh: đỉnh trờn trục thực A1(−a;0 ,) A a2( );0 , Hai đường tiệm cận: b
y x a = ± Tõm sai:e c 1 a = > x y F2 F1 B2 B1 A2 A 1 O M y=b ax y=- b ax B1 B2 A2 F2 A1 F1 O y x
Đường chuẩn: a x
e
= ±
Khoảng cỏch giữa hai đường chuẩn: d 2a
e
=
3. Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xỳc với hypebol là: A2a2−B2b2=C2.
Parabol
1. Phương trỡnh chớnh tắc: y2 =2px, (p>0 gọi là tham số tiờu).
2. Cỏc yếu tố:Một tiờu điểm ;0 Một tiờu điểm ;0 2 p F ữ , đường chuẩn 2 p x= − B. BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Trong mặt phẳng Oxy, tỡm phương trỡnh đường trũn cú tõm I(1;0) và tiếp xỳc với đường thẳng (D) 3x–4y + 12 = 0.
2. Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol (P) nhận Ox làm trục đối xứng, đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm M(2;−2 2). a. Lập phương trỡnh của (P).
b. Đường thẳng (D) đi qua điểm E(2;0), song song với đường thẳng: −2x+ y−1=0 và cắt (P) tại hai điểm F1,F2. Xỏc định tọa độ của F1,F2.
c. Tớnh diện tớch của tam giỏc cú một đỉnh nằm trờn đường chuẩn của (P), cũn hai đỉnh kia là hai đầu dõy đi qua tiờu điểm và song song với trục Oy.
d. Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi Parabol (P) với đường thẳng (D). 3. Trong mặt phẳng cho Elip: 9x2 +16y2 =144.
a. Tỡm cỏc tiờu điểm, tiờu cự và tõm sai của Elip.
b. Lập phương trỡnh của Parabol cú đỉnh trựng với gốc tọa độ và cú tiờu điểm trựng với tiờu điểm bờn phải của Elip đĩ cho.
4. Trong mặt phẳng Oxy cho Hyberbol (H) : 1. 4 5 2 2 = − y x
a. Tỡm tõm sai và cỏc tiệm cận của (H).
b. Lập phương trỡnh tiếp tuyến của (H) đi qua điểm M(5;−4). 5. Trong mpOxy cho cho Parabol (P) cú phuơng trỡnh : y2 =8x.
a. Tỡm tọa độ của tiờu điểm và phương trỡnh đường chuẩn của (P).
b. Chứng minh rằng với mọi k ≠0đường thẳng : kx−y−2k =0 luụn luụn cắt (P) tại hai điểm phõn biệt. 6. Trong mpOxy cho ba điểm A(0;1),B( ) ( )1;−1,C 2;0.
a. Tỡm tõm đường trũn ngọai tiếp tam giỏc ABC và viết phương trỡnh đường trũn đú.
b. Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua A và vuụng gúc với đường phõn giỏc của gúc phần tư thứ I.
7. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm F(3;0) và đường thẳng (D) cú phương trỡnh 3x–4y+16=0.
a. Tớnh khoảng cỏch từ điểm F tới (D). Suy ra phương trỡnh đường trũn cú tõm là F và tiếp xỳc với (D). b. Viết phương trỡnh của parabol (P) cú tiờu điểm là F và cú đỉnh là gốc tọa độ O.
c. Chứng tỏ rằng (P) tiếp xỳc với (D), tỡm tọa độ tiếp điểm. 8. Trong mặt phẳng Oxy cho Elip : 9x2 +25y2 =225.
a. Viết phương trỡnh chớnh tắc và xỏc định cỏc tiờu điểm, tõm sai của Elip.
b. Một đường trũn (C) cú tõm I(0;1) và đi qua điểm A(4;2). Viết phương trỡnh của đường trũn và chứng tỏ rằng (C) đi qua hai tiờu điểm của Elip.
B2 F2 F2 y
x
9. Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E): x2 +3y2 =12.
a. Tớnh độ dài trục lớn, trục nhỏ, tọa độ hai tiờu điểm và tõm sai của Elip (E).
b. Cho đường thẳng (D) cú phương trỡnh: mx−3y+9=0. Tớnh m để (D) tiếp xỳc với (E).
c. Viết phương trỡnh của Parabol cú đỉnh trựng với gốc tọa độ và cú tiờu điểm là tiờu điểm bờn trỏi của Elip đĩ cho. của Elip đĩ cho.
10. Trong mpOxy cho đường thẳng (D) cú phương trỡnh : 4x−3y+2=0 và F(2;0) a. Viết phương trỡnh Parabol (P) nhận F làm tiờu điểm và đỉnh là gốc tọa độ. b. Tỡm khỏang cỏch từ F đến đường thẳng (D). Tỡm tọa độ tiếp điểm.
11. Trong mpOxy cho Elip (E) cú phương trỡnh : 9x2 +25y2 −225=0. a. Tỡm tọa độ tiờu điểm và tõm sai của (E).
b. Viết phương trỡnh đường thẳng (D1) qua F1 và cú hệ số gúc k = 1 và (D2) qua F2 và cú hệ số gúc k= −1. Chứng tỏ (D1)⊥ (D2).
c. Viết phương trỡnh đường trũn tõm F2 qua giao điểm của hai đường thẳng (D1) và (D2). Từ đú suy ra (D1) tiếp xỳc với đường trũn.
12. Trong mpOxy cho F(0;3) và đường thẳng (D) : 3x−4y+16=0. a. Lập phương trỡnh đường trũn tõm F và tiếp xỳc với (D).
b. Lập phương trỡnh của Parabol (P) cú tiờu điểm F và cú đỉnh là gốc tọa độ. Chứng tỏ rằng (P) tiếp xỳc với (D). Tỡm tọa độ tiếp điểm.
13. Trờn mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường Hypebol với phương trỡnh : 3x2 – y2 = 12.
a. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh, tiờu điểm, tõm sai và phương trỡnh cỏc đường tiệm cận của hypebol đú. b. Tỡm cỏc giỏ trị của tham số k để đường thẳng y = kx cắt hypebol núi trờn.
14. Trờn mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(−1;2), B(2;1) và C(2;5).
a. Viết phương trỡnh tham số của cỏc đường thẳng AB và AC. Tớnh độ dài cỏc đoạn thẳng AB và AC. b. Viết phương trỡnh đường trũn ngoại tiếp ∆ABC.
15. Trờn mặt phẳng Oxy cho Elip cú phương trỡnh : x2 + 4y2 = 4. a. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh, tiờu điểm và tõm sai của elip.
b. Đường thẳng qua 1 tiờu điểm của elớp và song song với trục Oy cắt elớp tại 2 điểm M và N. Tớnh độ dài đoạn thẳng MN.
c. Tỡm giỏ trị của k để đường thẳng y = x + k cắt elớp đĩ cho. 16. Trong mặt phẳng Oxy cho hypebol : 1.
94 4 2 2 = − y x
a. Xỏc định tọa độ cỏc đỉnh, tọa độ cỏc tiờu điểm, tõm sai và cỏc tiệm cận của hypebol. Vẽ hypebol đĩ cho. b. Tỡm cỏc giỏ trị của n để đường thẳng y = nx – 1 cú điểm chung với hypebol.
17. Trong mặt phẳng Oxy cho elớp (E) cú phương trỡnh 3x2 + 5y2 = 30.
a. Xỏc định tọa độ cỏc đỉnh, tọa độ cỏc tiờu điểm và tõm sai của elớp.
b. Một đường thẳng ∆ đi qua tiờu điểm F2(2;0) của elớp (E), song song với trục tung, cắt elớp (E) tại 2 điểm A và B. Tớnh khoảng cỏc từ A và B tới tiờu điểm F1.
18. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2;3) và B(−2;1).
a. Viết phương trỡnh đường trũn đi qua hai điểm A, B và cú tõm nằm trờn trục hồnh.
b. Viết phương trỡnh chớnh tắc của Parabol cú đỉnh là gốc tọa độ, đi qua điểm A và nhận trục hồnh làm trục
đối xứng. Vẽ đường trũn và Parabol tỡm được trờn cựng một hệ trục tọa độ. 19. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(5;0) và B(4;3 2).
a. Lập phương trỡnh đường trũn nhận AB làm đường kớnh. Tỡm tọa độ cỏc giao điểm của đường trũn và trục hồnh.
b. Lập phương trỡnh chớnh tắc của đường Elớp đi qua A và B. 20. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hypebol cú phương trỡnh :
369 9
4x2 − y2 = .
b. Viết phương trỡnh chớnh tắc của elớp đi qua điểm 3 ; 2 3 7
M và cú chung cỏc tiờu điểm với hypebol đĩ cho.
21. Trờn mặt phẳng tọa độ Oxy cho cho đường trũn (C) cú phương trỡnh:x2 + y2 −6x−2y=0. a. Xỏc định tọa độ tõm và bỏn kớnh của đường trũn (C).
b. Chứng minh rằng : Đường trũn (C) đi qua gốc tọa độ O. Gọi OA là đường kớnh của đường trũn, viết phương trỡnh tiếp tuyến của đường trũn (C) tại điểm A.
22. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho Elớp (E) : 1. 2 6 2 2 = + y x
a. Xỏc định tọa độ cỏc tiờu điểm và độ dài cỏc trục của (E).
b. Điểm M thuộc (E) nhỡn hai tiờu điểm của nú dưới một gúc vuụng. Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (E) tại
M.
23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trũn (C) cú phương trỡnh : 0 3 2 6 2 2 +y − x− y− = x . a. Xỏc định tõm và bỏn kớnh của đường trũn (C).
b. Tỡm cỏc điểm thuộc đường trũn (C) cú hồnh độ x = 1 và viết phương trỡnh tiếp tuyến tại cỏc điểm đú. 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) đi qua điểm
4 9 ; 5
M và nhận điểm F( )5;0 làm tiờu điểm của nú. a. Viết phương trỡnh chớnh tắc của hypebol (H).
b. Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (H) biết rằng tiếp tuyến đú song song với đường thẳng 5x+4y−1=0. 25. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho một elip (E) cú khoảng cỏch giữa cỏc đường chuẩn là 36 và cỏc bỏn
kớnh qua tiờu điểm của M nằm trờn elip (E) là 9 và 15. a. Viết phương trỡnh chớnh tắc của elip (E).
b. viết phương trỡnh tiếp tuyến của elip (E) tại điểm M. 26. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho Elớp (E):
2 2
125 16 25 16
x + y = cú hai tiờu điểm là F F1, 2. a. Cho điểm M(3;m) thuộc (E), hĩy viết phương trỡnh tiếp tuyến của (E) tại M khi m>0. b. Cho A và B là hai điểm thuộc (E) sao cho AF1+BF2 =8. Hĩy tớnh AF2+BF1.