III. Bài mới
Dạng 15: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tam thức bậc hai
2y ax= +bx c (a 0)+ ≠ y ax= +bx c (a 0)+ ≠ 1. Lí thuyết: Cách 1: Biến đổi y = kA2(x) + m (m là hằng số). • k < 0 ⇒ kA2(x) ≤ 0 ⇒ kA2(x) + m ≤ m ⇒y ≤ m Giá trị lớn nhất của y bằng m đạt đợc khi A(x) = 0.
• k > 0 ⇒ kA2(x) ≥ 0 ⇒ kA2(x) + m ≥ m ⇒y ≥ m Giá trị nhỏ nhất của y bằng m đạt đợc khi A(x) = 0.
Cách 2:
y = ax2 + bx + c ⇔ ax2 + bx + c – y = 0 + Tính ∆ hoặc ∆'.
+ Đặt điều kiện ∆ ≥ 0 (∆ ≥' 0) ⇒ Giải bất phơng trình chứa ẩn y.
• y ≥ m ⇒Giá trị nhỏ nhất của y bằng m đạt đợc khi
∆=∆'= 0 ⇔ x b 2a − = = b' a − .
• y ≤ m ⇒Giá trị lớn nhất của y bằng m đạt đợc khi ∆=∆'= 0 ⇔ x b 2a − = = b' a − 2. Bài tập:
Bài 1: Cho A = x – 2x + 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Kết quả: MinA = 4 <=> x = 1
Bài 2: Cho B = – 3x2 + 7x – 5. Tìm giá trị lớn nhất của B. Kết quả: MaxB = − 1112 <=> x = 76 .
Dạng 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm
1. Lí thuyết:
• Kiểm tra sự cĩ nghiệm của phơng trình
• Tính 1 2 1 2 b c x x , x .x a a − + = =
• Biến đổi biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm là A(x1; x2) về dạng cĩ chứa x1+ x2 và x1.x2
• Thay x1 + x2 và x1.x2 vào biểu thức A. Khi đĩ A trở thành tam thức bậc hai ẩn là tham số.
• Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A. Chọn giá trị tham số thích hợp.
2. Bài tập:
Ví dụ 1: Cho phơng trình x2 – 2(m – 4)x – 2m – 8 = 0 a) Chứng minh phơng trình luơn cĩ hai nghiệm phân biệt.
b) Cho A = x2(x2 – 2) + x1(x1 – 2). Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất. Hớng dẫn:
a) Tính ∆ =(m 3)− 2 +15 0, m> ∀ ∈Ăb) MinA = 32 <=> m = 4 b) MinA = 32 <=> m = 4
Ví dụ 2: Cho phơng trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0 a) Chứng minh phơng trình luơn cĩ hai nghiệm phân biệt. b) Cho B = x12 +x22. Tìm m để B đạt giá trị nhỏ nhất. Hớng dẫn:
a) ∆ =' (m 2)− 2 + >1 0 => phơng trình luơn cĩ hai nghiệm phân biệt b) B = x12 +x22 = (2m 3)− 2 + ≥3 3 => MinB = 3 <=> m = 32
Ví dụ 3: Cho phơng trình bậc hai x2 −2(m 1)x 2m 10 0+ + + = a) Tìm m để phơng trình cĩ nghiệm
b) Cho biểu thức P = 6x x1 2 +x12 +x22. Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính giá trị ấy. Hớng dẫn: a) m≤ −3 hoặc m 3≥ b) Tính đợc P = 4(m 2)+ 2 +28 Khi m≤ − =>3 m 2+ ≤ − =>1 (m 2+ )2 ≥ => ≥1 P 32 Khi m 3≥ =>m 2 5+ ≥ =>(m 2+ )2 ≥25=> ≥P 128 Vậy MinP = 32 <=> m = - 3
2008
Dạng 17: Chứng minh biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số
Cách giải:
• Tìm điều kiện của tham số để phơng trình cĩ hai nghiệm x ,x1 2 • Tính hệ thức Vi- ét: − + = = 1 2 1 2 b x x a c x .x a (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
• Tính giá trị của biểu thức theo x1+ x2 và x1.x2 ; thấy kết quả là một hằng số => Biểu thức liên hệ giữu hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số
Ví dụ 1:
Cho phơng trình x2 – 2(m – 6)x – 2m – 2 = 0
a) Chứng minh phơng trình luơn cĩ hai nghiệm phân biệt.
b) Cho P = x12 + x22 – 26x1x2 - x12. x22 . Chứng minh giá trị của biểu thức P khơng phụ thuộc vào tham số m.
Kết quả: b) P = 196 => giá trị của biểu thức P khơng phụ thuộc vào tham số m.
Ví dụ 2:
Cho phơng trình x2 −2(m 1)x m 4 0+ + − = a) Giải phơng trình khi m = 1
b) Chứng minh phơng trình luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m
c) Chứng minh biểu thức A = x (1 x ) x (1 x )1 − 2 + 2 − 1 khơng phụ thuộc vào giá trị của tham số m
Kết quả:
a) x1 = +2 7 ,x2 = −2 7
b) ∆ =' (m+ 12 )2 + 194 >0, với mọi m
c) A = 10 => Giá trị biểu thức A khơng phụ thuộc vào giá trị của tham số m
Dạng 18: Tìm giá trị của tham số để hai nghiệm của phơng trình thỏa mãn bất đẳng thức đã cho.
Bài 1: Cho phơng trình: x2 – 2x + m – 8 = 0 a) Tìm m để phơng trình cĩ nghiệm.
b) Tìm m để x1 + x2 > 2
Kết quả : a) m 9≤ b) m < 8
Bài 2: Cho phơng trình: x2 – (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (*).
a) Tìm m để phơng trình cĩ một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm cịn lại. b) Tìm m để phơng trình cĩ 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn x13 + x23 ≥ 0. Kết quả:
a) m = 1; nghiệm cịn lại x2 =3 b) m≥ −4