HÌNH 4: Tuyến tính hóa các đoạn trên biên Pareto
2.4.3 Các thủ tục của phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đa mục tiêu:
Trong phần này chúng ta trình bày chi tiết các thủ tục cho việc thực hiện phương pháp
tổng trọng số chấp nhận đượcđa mục tiêu.
Bước 1: Chuẩn hóa các hàm mục tiêu.
Khi ∗ là vector nghiệm tối ưu đối với hàm mục tiêu fi thứ i.
Điểm Utopia được định nghĩa như sau:
= [ ( ∗) ( ∗) … ( ∗) ]
Điểm giả Nadir được định nghĩa là:
= [ … ]
Trong đó: Mỗi thành phần được xác định bởi:
= max[ ( ∗) ( ∗) … ( ∗) ] (5)
Điểm anchor ∗ thứ i được định nghĩa như sau:
∗ = ∗ ∗ … ∗ (6)
Và bây giờ hàm mục tiêu chuẩn hóa đạt được là:
̅ = −
Trang 35
Bước 2:
Tối ưu nhiều mục tiêu sử dụng cách tiếp cận bằng phương pháp tổng trọng số với số lượng phân chia nhỏ -
Đối với bài toán 3 hàm mục tiêu, hàm mục tiêu tổng fTotal với các trọng số wi đạt được
như sau:
= [ + (1− ) ] + (1− )
= + (1− ) + (1− ) ớ ∈[0,1] (8)
Một cách tổng quát, hàm mục tiêu tổng của m hàm mục tiêu được xác định bởi:
= + (1− ) , ≥ 2 (9)
Trong đó:
≡
Chú ý rằng m-1 nhân tố trọng số thì cần để tìm không gian mục tiêu m chiều.
Bước hình thức kích thước của nhân tố trọng số thứ i là wi được xác định bởi số lượng phân chia ban đầu cùng với số chiều của hàm mục tiêu thứ i:
∆w = 1
n ; , i = 1, … , m−1 (10)
Trong phần trình bày này, ta sử dụng cùng một giá trị của trọng số wi. Có một lược đồ
để xác định giá trị của trọng số wi một cách có hệ thống, điều này sẽ giúp ích rất nhiều
trong việc tạo ra nghiệm có sự phân bố tốt hơn. Tuy nhiên trong phương pháp Tổng
trọng số chấp nhận được thì đẳng thức (10) có thể được dùng đến duy chỉ một lần và sau
đó quá trình mịn hóa sẽ được áp dụng đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu xấp xỉ.
Bước 3:
Loại bỏ các nghiệm trùng nhau. Vì khi sử dụng phương pháp Tổng trọng số có thể sinh
ra ra các nghiệm trùng nhau này. Khoảng cách Euclid giữa các nghiệm này là 0 và trọng
số các nghiệm trùng nhau này chỉ chọn 1 nghiệm nằm trên biên Pareto. Trong khi thực
hiện tính toán nếu khoảng cách giữa các nghiệm trong không gian mục tiêu nhỏ hơn -
khoảng cách đã xác định trước đó, thì khi đó ta nhận tất cả các nghiệm này và sẽ xóa bỏ
nghiệm trước đó.
Trang 36
Nhận dạng các đoạn trên biên Pareto. Các đoạn với hình dạng bất kỳ nào được dùng, nhưng
trong phần trình bày này ta sử dụng mặt có hình dạng là tứ giác trong bài toán 3 chiều. 4
nghiệm tối ưu Pareto trở thành 4 nốt của mỗi mặt và các cạnh là các đoạn thẳng nối 2 điểm
cạnh nhau của mỗi mặt. Việc xây dựng và duy trì các lưới trên biên Pareto có thể sẽ rất dài
dòng nhưng có 2 thuận lợi :
i) Các mặt đóng vai trò quan trọng khi sử dụng mịn hóa các mặt trong những pha
tiếp theo.
ii) Nếu chỉ tìm thấy điểm không trội thì rất khó vẽ hay hình dung ra hình dạng của
biên Pareto. Nhưng khi có lưới thì việc này sẽ dễ hơn nhất là khi các lưới là hữu
hạn.
Bước 5:
Xác định cách bố tríđể mịn hóa mỗi mặt trên biên Pareto. Khi các mặt càng lớn thì nó cần phải được lọc nhiều hơn.
Hình 9:Trong trường hợp 3 chiều, biên Pareto là mặt và mảnhbiên Pareto đã được tuyến tính
hóa bằng 4 đoạn thẳng nối 4 đỉnh.
Hình ảnh này cũng cho thấy ví dụ về quá trình mịn hóa, trong đó các mặt được tạo thành bởi 4
nốt trong không gian mục tiêu 3 chiều. Vì mặt dưới thấp hơn thì lớn hơn, nên nó sẽ được làm mịn nhiều. Trong mỗi lưới (gồm nhiều mặt tạo thành ), vị trí của nghiệm chấp nhận được xác định bằng phép nội suy và bài toán con Sub-Optimization được giải cùng với đường thẳng nối điểm giả Nadir và các nghiệm chấp nhận được. Nghiệm hiện tại có thể khác biệt với nghiệm
chấp nhận được và có thể có nghiệm trội – nghiệm này sẽ được xóa đi trong quá trình làm mịn
Trang 37
Vector vị trí của nghiệm chấp nhận được thứ j trên từng mặt đã được làm mịn trên biên Pareto
– đạt được như là tổng trọng số của 4 vector nghiệm (ương ứng là 4 node) như sau:
= + + + ∈[0,1] (11)
Trong đó: là vector vị trí nút thứ i của mảnh biên Pareto (hình 9.b)
là nhân tố trọng số đối với phép nội suy.
Vector chuẩn hóa của đạt được như sau:
= −
− (12)
Trong đó: là tọa độ thứ i của vector . Mức độ mịn được đặc trưng bởi giá trị của
trọng số thì được xác định dựa trên độ dài trung bình tương đối của mặt trên mỗi hướng.
Bước 6:
Áp đặt ràng buộc bất đẳng thức bổ sung cho mỗi nghiệm chấp nhận được và giải bài
toán con Sub-Optimization bằng phương pháp tổng trọng số. Đối với nghiệm chấp nhận
được các hàm chuẩn hóa thứ j, , bài toán con Sub-Optimization được định nghĩa như sau: min [− − ̅ . ( )]̅ Sao cho: ( − ̅ ). ( ( )̅ − ̅ ) | − ̅ |. | ̅( )− ̅ | = 1 (13) ℎ( ) = 0 ̅( )≤ 0 Trong đó: = − − ̅ :Giá trị trọng số. ℎ( ) và ̅( ) :Các vector ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức tương ứng.
Chú ý rằng: điểm nadir chuẩn hóa - ̅ là vector đơn vị. Tức là:
Trang 38
Hình 10: Hình minh họa 3 chiều mô tả ràng buộc đẳng thức bổ sung cho quá trình
mịnh hóa biên Pareto.
Ràng buộc đẳng thức:
( − ̅ ). ( ̅( )− ̅ )
| − ̅ |. | ( )̅ − ̅ | = 1
Làm cho 2 vector ( − ̅ ) và ( ̅( )− ̅ ) trở nên đồng tuyến tính. Do đó ràng buộc này
đảm bảo rằng nghiệm đạt được chỉ nằm trên đường thẳng ( − ̅ ) kết nối nghiệm chấp nhận được trên các “mảnh”mặt phẳng tuyến tính và điểm giả Nadir.
Hàm mục tiêu − − ̅ . ̅( ) là một hàm vô hướng cần được cực tiểu để xác định nghiệm
gần điểm Utopia theo hướng của − − ̅
Nghiệm hiện tại có được sau khi chuẩn hoá thứ j, ∗ sẽ khác với nghiệm chấp nhận được.
Trong hình 10, vector − ̅ = (0,0,0)
Bước 7: Mịn hóa biên Pareto.
Trong phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đối với bài toán 2 hàm mục tiêu, nghiệm tối ưu non-Pareto thì được loại bỏ một cách tự động nên việc lọc thì không cần thiết.
Tuy nhiên theo phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đa mục tiêu thì bất cứ nghiệm nào
dựa trên ràng buộc đẳng thức đều chấp nhận được và nghiệm tối ưu non-Pareto có được.
Trong mỗi bước, ta cần phải thực hiện việc mịnhóa biên Pareto để đạt được biên Pareto thực.
Trang 39
Nhận dạng các đoạn (siêu phẳng) trên biên Pareto với tất cả nghiệm tối ưu Pareto kể cả
nghiệm đã đạt được ở các bước trước. Nếu tiêu chuẩn cuối cùng được tìm thấy thì dừng ngược lại quay lại bước 5, một vài tiêu chuẩn dùng có thể được dùng là:
i) Số pha đáp ứng yêu cầu.
ii) Kích thước đoạn (mặt) trên biên Pareto lớn nhất tương ứng giá trị đã được chỉ định.
iii) Độ lệch chuẩn giữa kích thước của tất cả các đoạn (mặt) trên biên Pareto
tương ứng với giá trị đã được chỉ định.
Trong phần trình bày này, số lượng lớn nhất của các pha thì được sử dụng như là tiêu chuẩn để
Trang 40