Ví dụ 31.
a) Chứng minh rằng mọi số nguyên tố m lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng 6n + 1 hoặc 6n – 1 ( n ∈ N).
b) Có phải mọi số có dạng 6 n ± 1 ( n ∈ N) đều là số nguyên tố hay không.
a) Mỗi số tự nhiên khia chia cho 6 có một trong các số dư 0, 1, 2, 3, 4, 5. Do đó mọi số tự nhiên đều viết được dưới một trong các dạng 6n – 2, 6n – 1, 6n, 6n + 1, 6n + 2 , 6n + 3. Vì m là số nguyên tố lớn hơn 3 nên m không chia hết cho 2, không chia hết cho 3, do đó m không có dạng 6n – 2 , 6n, 6n + 2 , 6n + 3 . Vậy m viết được dưới dạng 6n + 1 hoặc 6n – 1 (ví dụ : 17 = 6.3 – 1 , 19 = 6.3 + 1)
b) Không phải mọi số có dạng 6n ± 1 ( n ∈ N) đều là số nguyên tố. Chẳng hạn 6.4+ 1 = 25 không là số nguyên tố (đpcm)
Liệu có một công thức nào mà với mọi giá trị tự nhiên của chữ đều cho ta các số nguyên tố không ? Cho đến nay, người ta chưa tìm thấy một công thức như vậy. Tuy nhiên có một số biểu thức mà với khá nhiều giá trị của chữ, biểu thức đó cho ta các số nguyên tố.
Biểu thức 2n2 + 29 cho các giá trị nguyên tố với n = 0, 1, 2, ... 28
Biểu thức n2 + n + 41 do Ơ – le (Euler 1707 – 1783) đưa ra cho các giá trị nguyên tố với n = 0 , 1, 2, 3,... 39 (còn với n = 40 thì 402 + 40 + 41 = 40 .(40 + 1) + 41 chia hết cho 41)
Biểu thức n2 – 79n + 1601 cũng cho các giá trị nguyên tố với n = 0, 1, 2,... 79
(còn với n = 80 thì biểu thức bằng 412)
Số Phec–ma. Nhà toán học kiêm luật gia Pháp Phec–ma (Pierre de Fermat 1601 – 1665) xét biểu thức 2m + 1 trong đó m = 2n với n = 0 , 1, 2, 3 ,4, cho các số nguyên tố 2 + 1 = 3; 22 + 1 = 5 ; 24 + 1 + 17; 28 + 1 = 257 ; 216 + 1 + 65537. Với n = 5 được số 232
+ 1 = 4294967297, Phec–ma cho rằng đó cũng là số nguyên tố và ông đưa ra giả thuyết : Biểu thức 2m + 1 với m là một luỹ thừa của 2 cho ta các số nguyên tố.