Nhiều bài toán về số tự nhiên có thể giải bằng cách căn cứ vào một số dữ kiện của bài toán để chọn ra một số giá trị của số phải tìm, sau đó thử xem trường hợp nào thoả mãn các dữ kiện còn lại.
Ví dụ 26. Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó nếu sắp xếp từ nhỏ đến lớn thì tỉ lệ với 1 : 2 : 3
Giải
Căn cứ vào điều kiện các chữ số tỉ lệ với 1 : 2 : 3, các chữ số của số phải tìm có thể là 1, 2, 3 ; hoặc 2, 4 , 6 hoặc 3, 6, 9.
Chú ý rằng số phải tìm chia hết cho 18 nên chia hết cho 9, do đó tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. Trong ba trường hợp trên, ta thấy chỉ có bộ ba chữ số 3,6,9 là thoả mãn. Số phải tìm chia hết cho 2 nên chữ số tận cùng phải bằng 6. Các số 396 và 936 đều thoả mãn bài toán.
Chú ý:
1) Khi chọn ra khoảng giá trị chứa số phải tìm, người ta thường dùng phương pháp bất đẳng thức (xem chuyên đề bất đẳng thức).
2) Với phương pháp lựa chọn, ta cũng giải được bài toán tìm các số tự nhiên x và y thoả mãn đẳng thức: ax = by = c, trong đó a, b, c là các số tự nhiên cho trước. Xét ví dụ sau:
Ví dụ 27. Anh Lâm nói với bạn:
- Năm 1990, tuổi mình đúng bằng tổng các chữ số của năm sinh. Hãy tính xem anh Lâm sinh năm nào ?
Giải.
Gọi năm sinh của anh Lâm là 19xy thì 1990 – 19xy = 1 + 9 + x + y. Do đó : 90 – (10x + y) = 10 + x + y
80 = 11x + 2y
Do 11x ≤ 80 nên x ≤ 7. Do 2y ≤ 18 nên 11x ≥ 80 – 18 = 62, do đó x ≥ 6. Như vậy chỉ cần xét x = 6 hoặc x = 7
Với x = 6 thì 2y = 80 – 11.6 = 14 nên y = 7 Với x = 7 thì 2y = 80 – 11.7 = 3 Loại. Vậy anh Lâm sinh năm 1967
CHỦ ĐỀ 5
SO SÁNH HAI LUỸ THỪA
1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
- Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.
Nếu m > n thì am > an (a>1)
- Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (lớn hơn 0 ) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hớn .
Nếu a > b thì an >bn (n > 0)
2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính
chất đơn điệu của phép nhân (a < b thì a.c < b.c với c > 0 ).
Ví dụ 28:
So sánh số 1619 và 825 số nào lớn hơn ?
Giải
Ta thấy các cơ số 16 và 8 tuy khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2 nên ta tìm cách đừa 1619 và 825 về luỹ thừa cùng cơ số 2.
1619 = (24)19 = 276
825 = (23)25 = 275
Vì 276 > 275n nên 1619 >825
BÀI TẬP
19. So sánh các số sau, số nào lớn hơn ?
a) 2711 và 818 ; b) 6255 và 1257
c) 536 và 1124 ; d) 32n và 23n (n ∈N*) 20. So sánh các số sau, số nào lớn hơn ?
a) 523 và 6.522
c) 2115 và 275.498
21. So sánh các số sau, số nào lớn hơn ? a) 19929 và 200315
b) 339 và 1121
22. So sánh hai hiệu, hiệu nào lớn hơn ? 7245 - 7244 và 7244 - 7243 23. Tìm x ∈ N biết : a) 16x < 1284 b) 5x . 5x + 1 . 5 x + 2 ≤ 100 ...0 : 218 18 chữ số 0 24. Cho S = 1 + 2 + 22 + 23 + ....+ 29 Hãy so sánh S với 5 .28
25. Hiện nay tổng số tuổi của bố mẹ và con là 66. Sau 10 năm nữa thì tổng số tuổi của hai mẹ con hơn tuổi của bố là 8 và tuổi mẹ bằng ba lần tuổi con. Tính số tuổi của mỗi người hiện nay.
26. Có một bình 4 lít và một bình 5 lít. Làm thể nào để lấy được đúng 3 lít để chia 16 lít làm hai phần bằng nhau.
TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG, CỦA HIỆU, CỦA TÍCH
Kiến thức cơ bản: 1. Tính chất 1 a m ; b m ⇒ a + b m ; a – b m (a ≥ b) 2. Tính chất 2 a m ; b m ⇒ a + b m ; a – b m ( a ≥ b) 3. Tính chất 3 a m ⇒ k . a m ( k ∈ N) 4. Tính chất 4 a n ; b n ⇒ ab mn Đặc biệt : a b ⇒ an bn Nâng cao :
1. Các tính chất 1 và 2 cũng đúng nếu tổng số có nhiều sô hạng 2. a m ; b m ⇒ k1a + k2b m (Thí dụ 13)
a m ; b m ; a + b + c m ⇒ c m (Thí dụ 14)
Ví dụ 29
Cho a m ; b m, hãy chứng minh rằng k1a + k2b m.
Giải : a m ⇒ k1 a m ( tính chất 3) b m ⇒ k2b m (tính chất 3) Vậy k1a + k2b m (tính chất 1) Ví dụ 30 Chứng minh rằng: a) Nếu am ; bm và a + b + c m thì cm b) Nếu am và a + b + cm thì cm Giải: a) Giả sử cm ; bm nên a + b + cm (tính chất 2).
Điều này trái với đề bài a + b + c m . Vậy điều giả sử là sai, suy ra c m.
b) Giả sử cm . Ta có am ; bm nên a + b + c m (tính chất 1) . Điều này trái với đề bài a + b + c m. Vậy điều giả sử là sai, suy ra cm.
Nhận xét:
Phương pháp giải thí dụ 14 là phương pháp phản chứng. Nó có ba bước: - Giả sử có điều trái với điều phải chứng minh.
- Từ đó suy ra (nhờ các tính chất đã biết) một kết quả mâu thuẫn với điều đã cho, đã biết.
- Kết luận: Vậy điều giả sử là sai, điều phải chứng minh là đúng. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ NGUYÊN TỐ