: ANPH AA ANPH A= ANPH AA +
Phần VII Phơng pháp lặp giải gần đúng
phơng trình f x( ) 0=
Nội dung phơng pháp: Giả sử phơng trình có duy nhất nghiệm trong khoảng ( , )a b . Giải phơng trình f x( ) 0= bằng phơng pháp lặp gồm các bớc sau:
1. Đa phơng trình f x( ) 0= về phơng trình tơng đơng x g x= ( ). 2. Chọn x0∈( , )a b làm nghiệm gần đúng ban đầu.
3.Thay x x= 0 vào vế phải của phơng trình x g x= ( ) ta đợc nghiệm gần đúng thứ nhất x1=g x( )0 . Thay x1=g x( )0 vào vế phải của phơng
trình x g x= ( ) ta đợc nghiệm gần đúng thứ hai x2=g x( )1 . Lặp lại quá trình trên, ta nhận đợc dãy các nghiệm gần đúng
1 ( )0
x =g x , x2=g x( )1 , x3=g x( )2 , x4=g x( )3 ,...,xn=g x( n−1), ...
Nếu dãy các nghiệm gần đúng { }xn , n=1, 2,...hội tụ, nghĩa là tồn tại lim n
n x x
→∞ = thì (với giả thiết hàm g x( ) là liên tục trong khoảng ( , )a b ) ta có:
1 1
lim n lim ( n ) (lim n ) ( )
n n n
x x g x − g x− g x
→∞ →∞ →∞
= = = = .
Chứng tỏ x là nghiệm đúng của phơng trình x g x= ( ) và do đó x cũng là nghiệm đúng của phơng trình f x( ) 0= .
Tính hội tụ: Có nhiều phơng trình dạng x g x= ( ) tơng đơng với phơng trình f x( ) 0= . Phải chọn hàm số g x( ) sao cho dãy { }xn xây dựng theo phơng pháp lặp là dãy hội tụ và hội tụ nhanh tới nghiệm. Ta có tiêu chuẩn sau.
Định lý. Giả sử ( , )a b là khoảng cách ly nghiệm x của phơng trình ( ) 0
f x = và phơng trình x g x= ( ) tơng đơng với phơng trình f x( ) 0= . Nếu ( )
g x và g x'( ) là những hàm số liên tục sao cho g x′( ) ≤ < ∀ ∈q 1 x [ ]a b, thì từ mọi vị trí ban đầu x0∈( , )a b dãy { }xn xây dựng theo phơng pháp lặp
1
( )
n n
x =g x− sẽ hội tụ tới nghiệm duy nhất x trong khoảng ( , )a b của ph- ơng trình f x( ) 0= .
Phơng trình này có duy nhất nghiệm trong khoảng (1;1.5) và tơng đ- ơng với 3 2 1 x= x + . Do g x( )=3x2+1 có đạo hàm 3 2 2 2 '( ) 3 ( 1) x g x x = + thỏa mãn điều kiện 3 1 '( ) 1 4
g x = < trong khoảng (1;1.5) nên dãy lặp 3 2
1 1
n n
x+ = x + hội tụ tới nghiệm duy nhất từ một điểm bất kỳ trong khoảng (1;1.5) .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: Khai báo hàm g x( )=3x2+1: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
SHIFT 3 ( ALPHA X x2 + 1 ) Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0=1 và bấm phím = .
Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x=1.465571232.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu x0=1 bằng cách bấm phím 1 = .
Khai báo dãy xấp xỉ 3 2
1 ( ) n 1
n n
x+ =g x = x + :
SHIFT 3 ( Ans x2 + 1 )
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x=1.465571232.
Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến 9 chữ số thập phân) là 1.465571232
x= .
Thí dụ 2. Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình ex+ − =x 3 0. Vì f x( )=ex+ −x 3 có đạo hàm f x'( )=ex+ > ∀1 0 x nên nó đồng biến trên toàn trục số. Hơn nữa, f(0)= −3, f(1)= − >e 2 0 nên phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất nằm trong khoảng (0,1).
Phơng trình đã cho tơng đơng với x=ln(3−x). Đặt g x( ) ln(3= −x) thì '( ) 1 3 g x x = − − nên '( ) 1 ( )0,1 2 g x < ∀ ∈x .
Do đó dãy lặp xn+1=ln(3−xn) hội tụ từ mọi điểm bất kỳ trong khoảng (0,1).
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: Khai báo g x( ) ln(3= −x): 3 − )
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu 0
12 2
x = : 1 ab c/ 2 và bấm phím = . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến
26 27 28 0.792059968
x =x =x = .
Vậy nghiệm gần đúng là 0,792059968.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu 0
12 2
x = : 1 ab c/ 2 và bấm phím = . Khai báo dãy xấp xỉ xn+1=g x( ) ln(3n = −xn): ln ( 3− Ans )
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x26=x27 =x28=0,792059968.
Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến 9 chữ số thập phân) là 0,792059968
x=
Nhận xét 1. Nếu chỉ đòi hỏi nghiệm chính xác đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy thì chỉ cần sau 13 bớc lặp ta đã đi đến nghiệm là 0,79206.
Nhận xét 2. Nếu ta đa phơng trình ex+ − =x 3 0 về dạng x= −3 ex thì ( ) 3 x
g x = −e có đạo hàm g x'( )= −ex không thỏa mãn điều kiện (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
( )
'( ) 1 0,1
g x ≤ < ∀ ∈q x
nên ta cha thể nói gì đợc về sự hội tụ của dãy lặp.
Nhận xét 3. Chọn điểm xuất phát x0=2 ([2], trang 62) thì cần nhiều bớc lặp hơn.
Dùng lệnh solve để giải phơng trình trên Maple:
> solve(exp(x)+x-3,x);
-LambertW(exp(3)) + 3
Máy cho đáp số thông qua hàm LambertW.
Ta có thể tính chính xác nghiệm đến 30 chữ số nhờ lệnh: > evalf(",30);
.79205996843067700141839587788
Lời bình: Maple cho ta đáp số đến độ chính xác tuỳ ý.
Vì f x( )= +x lnx là một hàm đồng biến ngặt trên (0,+∞). Hơn nữa (1) 1 0
f = > và f( )1 1 1 0
e = − <e nên phơng trình có duy nhất nghiệm trên khoảng ( ,1)1
e .
Phơng trình đã cho tơng đơng với x e= −x =g x( ). Vì g x'( )= −e−x nên '( ) x 1 1 e g x e e − = ≤ < với mọi x ( ,1)1 e ∈ nên dãy lặp 1 xn n x+ =e− hội tụ.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: Khai báo g x( )=e−x: SHIFT ex ( − ALPHA X )
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu 0
12 2
x = :
1ab c/ 2 và bấm phím = . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x=0,567143290. Vậy nghiệm gần đúng là x=0,567143290.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS: Khai báo giá trị ban đầu 0
12 2 x = : 1 ab c/ 2 và bấm phím = . Khai báo 1 ( ) n n x n x+ =g x =e− : SHIFT ex ( − Ans )
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x=0,567143290. Vậy nghiệm gần đúng là x=0,567143290.
Thí dụ 4. Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình x=cos :x =g x( ).
Vì f x( )= −x cosx có đạo hàm f x'( ) 1 sin= + x≥ ∀0 x và chỉ bằng 0 tại một số
điểm rời rạc 2 2 x= − +π kπ nên nó là hàm đồng biến ngặt. Do f(0)= −1 và ( ) 2 2 f π π
= nên phơng trình có duy nhất nghiệm trong khoảng (0, ) 2
π . Hiển nhiên '( ) sin sin( ) 1 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2
g x = − x < π ε− < với mọi (0, ) 2
x∈ π ε− với ε đủ nhỏ nên dãy xn+1=cosxn hội tụ trong khoảng (0, )
2
π ε− .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:
ấn phím MODE MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian). Khai báo g x( ) cos= x: cos ALPHA X
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu 0 1.5
x = và bấm phím = . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x=0,739085133 radian.
Dãy lặp trên máy Casio fx-500 MS hoặc Casio fx-570 MS: Bấm phímMODE MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian) trên Casio fx-570 MS hoặc MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian) trên
Casio fx-500 MS.
Khai báo giá trị ban đầu x0=1.5: 1.5 và bấm phím = . Khai báo xn+1=g x( n) cos= xn: cos Ans
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x=0.739085133.
Thí dụ 5. Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình x3−3x+ =1 0.
Vì f( 2)− = −1, f( 1) 3− = , f(1)= −1,f(2) 3= và x3−3x+ =1 0 là phơng trình là bậc 3 nên nó có đúng 3 nghiệm trong các khoảng ( 2, 1)− − , ( 1,1)− ,(1, 2).
Phơng trình trên tơng đơng với x=33x−1. Xét khoảng ( 2, 1)− − . Đặt g x( )=33x−1. Ta có 3 2 3 1 1 '( ) 1 16 (3 1) g x x = < < − nên dãy 3 1 3 1 n n x+ = x − hội tụ trong khoảng ( 2, 1)− − .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: ấn phím MODE 1 (tính theo số thực).
Khai báo g x( )=33x−1: SHIFT 3 ( 3ì ALPHA X − 1 )
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu 0 1
x = − và bấm phím = .
Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x1≈ −1,879385242.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu x0= −1: − 1 và bấm phím = .
Khai báo 3
1 ( ) 3 1
n n n
x+ =g x = x − : SHIFT 3 ( 3ì Ans − 1)
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x1≈ −1,879385242. Vậy một nghiệm gần đúng là x1≈ −1,879385242.
Dùng sơ đồ Horner để hạ bậc, sau đó giải phơng trình bậc hai ta tìm đợc hai nghiệm còn lại là: x≈1,53208886và x≈0,3472963.
Chú ý: Để tính nghiệm x2≈0,3472963 ta không thể dùng phơng trình t- ơng đơng x=33x− =1 g x( ) nh trên vì 3 2
1'( ) '( ) (3 1) g x x = (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
− không thỏa mãn điều kiện g x'( ) ≤ <q 1 trong khoảng (0,1) và dãy lặp 3
1 3 1
n n
x+ = x − không hội tụ (Hãy thử khai báo giá trị ban đầu x=0,3472963 và thực hiện dãy lặp
3
1 3 1
n n
x+ = x − theo quy trình bấm phím trên, ta sẽ thấy dãy lặp hội tụ tới 1 1,879385242
x ≈ − ).
Nhận xét 1: Có thể giải phơng trình x3−3x+ =1 0 trên Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-570 MS theo chơng trình cài sẵn trên máy, quy trình bấm phím sau:
Vào MODE giải phơng trình bậc ba: MODE MODE 1 > 3 Khai báo hệ số: 1 = 0 = (-) 3 = 1 =
Máy hiện đáp số x1=1.53088886.
Bấm tiếp phím = , máy hiện x2= −1.879385242. Bấm tiếp phím = , máy hiện x3=0.347296355. Vậy phơng trình có ba nghiệm thực
1 1.53088886
x = ;x2= −1.879385242; x3=0.347296355.
Thí dụ 6. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số f x( )= − +x3 3x2−1 với trục hoành (chính xác đến 10−7).
Giải: Giao điểm của đồ thị hàm số f x( )= − +x3 3x2−1 với trục hoành chính là nghiệm của phơng trình f x( )= − +x3 3x2− =1 0.
Vì f( 1) 3− = , f(0)= −1, f(1) 1= , f(2,5) 2,125= và f(3)= −1 nên phơng trình có 3 nghiệm trong các khoảng ( 1;0)− ,(0;1)và (2,5;3).
Phơng trình f x( )= − +x3 3x2− =1 0 tơng đơng với x= 33x2−1. Đặt g x( )=33x2−1 thì 3 2 2 2 '( ) (3 1) x g x x = − và g x'( ) <0,9 1< .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: Bấm phímMODE 1 (tính theo số thực).
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu 0 2,7
x = và bấm phím = .
Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta đi đến nghiệm x≈2,879385242.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu x0=2,7: 2.7= .
Khai báo 3 2
1 ( ) 3 n 1
n n
x+ =g x = x − : SHIFT 3 ( 3ì Ans x2 − 1)Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x≈2,879385242. Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x≈2,879385242. Vậy một nghiệm gần đúng là x≈2,879385242.
Hai nghiệm còn lại có thể tìm bằng phơng pháp lặp hoặc phân tích ra thừa số rồi tìm nghiệm của phơng trình bậc hai hoặc một lần nữa dùng phơng pháp lặp.
Bài tập (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài tập 1. Tìm khoảng cách ly nghiệm của các phơng trình sau đây: 1) x4−4x− =1 0; 2) x3−9x2+18x− =1 0; 3) lgx− + =3x 5 0.
Bài tập 2 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Tp. HCM, 24.11.1996).
Giải phơng trình (tìm nghiệm gần đúng của phơng trình):
1) x3−7x+ =4 0; 2) x3+2x2−9x+ =3 0; 3)5 5 32x +32x−17 0= ; 4)x6−15x−25 0= ; 5)2x5−2cosx+ =1 0; 6)x2+sinx− =1 0; 7) 2cos3x−4x− =1 0; 8) 2 1 0 ( 0) 2 x −tgx− = − < <π x ; 9) Cho − < <1 x 0.
Tìm một nghiệm gần đúng của cosx tg x+ 3 =0;
10) (Câu hỏi thêm cho trờng chuyên Lê Hồng Phong): 10a) x4−x2+7x+ =2 0 ; 10b) x−6x− =1 0.
Bài tập 3 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Hà Nội, 18.12.1996).
Tìm một nghiệm gần đúng của phơng trình:
1) x3+5x− =1 0; 2) x6−15x−25 0= ; 3) x9+ −x 10 0= ;4) x−6x− =1 0; 5) x3−cosx=0; 6) 4) x−6x− =1 0; 5) x3−cosx=0; 6)
cot 0 (0 )
2
x− gx= < <x π ;
7) Tìm một nghiệm gần đúng (lấy 3 số lẻ) của phơng trình:
2 1 0
x −tgx− = ;
8) Tìm một nghiệm gần đúng (lấy 2 số lẻ thập phân) của: 2 sin 1 0
x + x− = .
Bài tập 4 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Đồng Nai, 15.2.1998).
Tìm một nghiệm gần đúng của phơng trình:
1) x3+5x− =2 0; 2) x9+ − =x 7 0; 3) x+7x− =1 0; 4) x+7x− =2 0.
Bài tập 5 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Tp. HCM, 15.3.1998).
Tìm một nghiệm gần đúng của phơng trình: 1) 3x−28x− =5 0; 2) x5−2x−sin(3x− + =1) 2 0;
3) Tìm nghiệm âm gần đúng của phơng trình: x10−5x3+2x− =3 0; 4) (Câu hỏi thêm cho trờng chuyên Lê Hồng Phong):
Tìm một nghiệm gần đúng của phơng trình 2x+ +3x 5x =11x.
Bài tập 6. Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình trên máy tính điện tử bỏ túi:
1) x3+3x2− =3 0; 2) x3− − =x 1 0; 3)x3+5x− =1 0;
4) 5x3−20x+ =3 0; 5) 8x3+32x−17 0= ; 6) x5− −x 0, 2 0= ; 7) x3+ −x 1000 0= ; 8) x7+5x− =1 0; 9) x16+ − =x 8 0;
13) x−3x=1; 14) 3x−26x− =5 0; 15) 3x−28x− =5 016) 4x+5x =6x; 17) 13x+11x =19x; 18) 2x+ +3x 4x =10x; 16) 4x+5x =6x; 17) 13x+11x =19x; 18) 2x+ +3x 4x =10x; 19) x3+logx− =2 0; 20) 2cosx e− x =0; 21)cos log (0 )
2
x= x < <x π ; 22) cosx tgx− =0. 22) cosx tgx− =0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});