9.4.1 Tìm nghiệm phương trình
Trong mục này ta sẽđề cập đến việc lập chương trình tìm nghiệm của phương trình F(x) = 0. Nghiệm của phương trình là giá trị x0 nào đó mà F(x0) = 0. Nếu F(x) là một hàm đơn giản ta có thể giải và tìm được nghiệm đúng (x0) của nó. Nếu F(x) là một hàm phức tạp, việc tìm nghiệm đúng của nó gặp rất nhiều khó khăn, và thậm chí là không tìm được bằng phương pháp giải tích. Trong trường hợp đó ta có thể tìm nghiệm gần đúng của phương trình bằng cách lập chương trình cho máy tính. Ở ví dụ 4.3 ta đã xét phương pháp lặp Newton để tìm nghiệm gần đúng của phương trình, trong đó cần phải biết đạo hàm của hàm F(x). Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, việc tính đạo hàm của hàm F(x) cũng khá phức tạp, nên người ta thường sử dụng phương pháp chia đôi. Nói chung, dù sử dụng phương pháp nào, việc tìm nghiệm phương trình F(x)=0 bằng phương pháp số đều gắn liền với sự hội tụ nghiệm. Thời gian tính của máy lúc đó sẽ phụ thuộc vào tốc độ hội tụ của phương pháp. Ví dụ phương pháp lặp Newton sẽ cho thời gian tính ít hơn so với phương pháp chia đôi, vì tốc độ hội tụ của nó nhanh hơn. Điều kiện hội tụ có thểđược xác định bởi các chỉ tiêu sau:
a) F(xi) <Epsilon (9.4.1)
b) xi −x0 <Epsilon (9.4.2)
c) xi−xi−1 <Epsilon (9.4.3)
trong đó Epsilon là một số dương vô cùng bé tùy ý, x0 là nghiệm chính xác của phương trình, xi là các giá trị có thể lấy làm xấp xỉ của nghiệm. Ta thấy, chỉ tiêu a) chỉ quan tâm đến độ chính xác của hàm, tức là xi được lấy làm nghiệm gần đúng nếu nó làm cho giá trị hàm tại đó đủ nhỏ; chỉ tiêu b) xem xi là nghiệm gần đúng nếu nó rất gần với nghiệm thực; còn chỉ tiêu c) lấy xi làm nghiệm gần đúng nếu nó rất gần với giá trị xấp xỉ ở bước trước đó. Rõ ràng ta không hy vọng tìm được nghiệm chính xác của phương trình, bởi vì quá trình lặp để tìm nghiệm sẽ kết thúc nếu chỉ tiêu hội tụ thỏa mãn. Ta cũng chưa biết trước nghiệm chính xác x0
nên chỉ tiêu b) nói chung không được sử dụng trong thực tế. Sau đây ta sẽ xét phương pháp chia đôi tìm nghiệm phương trình F(x)=0 khi sử dụng các chỉ tiêu a) và c).
Về nguyên tắc, để tìm nghiệm của phương trình F(x)=0, trước hết ta nên khảo sát sơ bộ để xác định số nghiệm của phương trình, các khoảng giá trị của x mà nghiệm có thể nằm trong những khoảng đó. Giả sử ta xét một khoảng được giới hạn bởi hai đầu mút XL và XR (điểm bên trái và điểm bên phải). Nếu F(XL).F(XR)<0 thì tồn tại nghiệm trong khoảng này. Để xác định nghiệm, ta tiến hành chia đôi khoảng (XL, XR) bởi điểm XC và xét xem nghiệm rơi vào khoảng nào trong hai khoảng trên bằng cách xác định dấu của F(XL).F(XC) và
F(XC).F(XR). Quá trình cứ tiến hành cho đến khi thỏa mãn chỉ tiêu hội tụ nghiệm.