trình khi giải trực tiếp sẽ rất phức tạp, thậm chí không giải được. Trong một số trường hợp như vậy, ta có thể tìm cách đánh giá giữa các ẩn hoặc giữa ẩn với một số, từ đó xác định nghiệm của hệ. Phương pháp này gọi là “phương pháp đánh giá các ẩn”.
1. Đánh giá giữa các ẩn
Ví dụ 1 (đề thi vào khối chuyên Toán Tin, ĐHQG Hà Nội năm 1996) : Giải hệ phương trình
Lời giải : Điều kiện : x ≥ 1/2 ; y ≤ 1/2. Ta sẽ chứng minh x = y. Thật vậy :
Vậy nghiệm duy nhất của hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện) là : x = y = 1.
Ví dụ 2 (đề thi vào khối chuyên, ĐHSPHN năm 2004) : Tìm nghiệm dương của hệ
Lời giải : Ta sẽ chứng minh x = y = z. Do x, y, z có vai trò như nhau nên không mất tổng quát, giả sử x y và x z. (4)
Vì x > 0, y > 0, z > 0 nên :
Từ (1), (2), (4) => 2x2004 = y6 + z6 ≤ x6 + z6 = 2y2004 => 2x2004 ≤ 2y2004 => x ≤ y. (5) Từ (1), (3), (4) => 2x2004 = y6 + z6 ≤ y6 + x6 = 2z2004 => 2x2004 ≤ 2z2004 => x ≤ z. (6) Từ (4), (5), (6) suy ra x = y = z.
Thay vào (1) ta có 2x2004 = x6 + x6 = 2x6 suy ra x = 1 (do x > 0). Vậy hệ có nghiệm dương duy nhất : x = y = z = 1.
Ví dụ 3 : Tìm a, b, c biết 4a - b2 = 4b - c2 = 4c - a2 = 1 (*)
Lời giải : Ta thấy ngay a > 0, b > 0, c > 0. Giả sử a > b, từ (*) ta có :
4a - 4b = b2 - c2 > 0 => b > c (>0) ; 4b - 4c = c2 - a2 > 0 => c > a (>0).
=> b > c > a trái với giả thiết a > b => a ≤ b.
Tương tự như trên, nếu a < b thì cũng dẫn đến điều vô lí. Vậy a = b, suy ra : 4a - 4b = b2 - c2 = 0 => b = c => a = b = c.
4a - b2 = 1 <=> 4a - a2 = 1 <=> a2 - 4a + 1 = 0
Giải phương trình bậc hai ẩn a trên ta được hai nghiệm là ++++++++ Vậy hệ phương trình (*) có hai nghiệm :
2. Đánh giá ẩn với một số
Ví dụ 4 (đề thi vào lớp 10 chuyên, ĐHQG Hà Nội 2004) : Biết a > 0, b > 0 và a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 (1).
Tính giá trị của biểu thức P = a2004 + b2004.
Lời giải : Ta sẽ chứng minh a = 1, b = 1, từ đó tính được P. Thật vậy, từ (1) ta có : a100.(1 - a) = b100.(b - 1) (2) a101.(1 - a) = b101.(b - 1) (3) Trừ (2) cho (3) theo từng vế ta có : (a100 - a101)(1 - a) = (b100 - b101)(b - 1) <=> a100.(1 - a)2 = b100.(1 - b)(b - 1) <=> a100.(1 - a)2 = - b100.(1 - b)2. (4) Nếu a ≠ 1, do a > 0 suy ra :
a100.(1 - a)2 > 0 ≥ - b100.(1 - b)2 trái với (4) => a = 1 => b = 1 (thay vào (2), b >0). Vậy P = 12004 + 12004 = 2.
Ví dụ 5 : Giải hệ phương trình
Lời giải : Ta sẽ chứng minh x = 1. Nhận xét : x, y, z đều khác 0. Giả sử x > 1 (4).
Tương tự, x < 1 cũng dẫn đến điều vô lí. Suy ra x = 1, thay vào (1) và (2) ta có :
Vậy hệ có nghiệm duy nhất : x = y = z = 1.
MỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIẤ TRỊ LỚN NHẤT