Các bạn hãy xuất phát từ một bài toán nhỏ : “Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 - 2x + 2”.
Thật là dễ dàng viết được y = (x - 1)2 + 1 nên y ≥ 1 với mọi x và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1. Do đó y đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 1.
Điều cốt lõi ở cách viết trên là từ biểu thức x2 - 2x, ta biết phải thêm 1 đơn vị để có (x - 1)2. Tại sao biết được điều đó ? Tại vì ta nhìn x2 là bình phương số thứ nhất, 2x là hai lần tích số thứ nhất với số thứ hai
hai chính là 1, vậy phải thêm bình phương số thứ hai tức là thêm 1 !
Đây là một kĩ năng mà các bạn cần thành thạo để giải quyết nhiều bài toán. Bây giờ các bạn hãy lần lượt theo dõi các thí dụ :
Thí dụ 1 : Chứng minh với mọi a, b ta có a2 - ab + b2 ≥ 0.
Phân tích : Nhìn vế trái như một đa thức bậc 2 đối với ẩn a và sử dụng kĩ năng trên ta có :
a2 - ab + b2 = a2 - 2.a.b/2 + (b/2)2 + 3/4.b2 = (a - b/2)2 + 3/4.b2.
Từ đó dễ dàng => điều phải chứng minh và thấy ngay đẳng thức chỉ xảy ra khi a = b = 0.
Thí dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = x2 + y2 + xy - x - y.
Phân tích : Nhiều bạn viết :
F = 1/2(2x2 + 2y2 + 2xy - 2x - 2y + 2) - 1 <.dd> = 1/2[ (x - 1)2 + (y - 1)2 + (x + y)2] - 1 .
Do đó : F ≥ -1 với mọi x, y. Nhưng ta thấy bất đẳng thức này không thể trở thành đẳng thức nên “con đường” này không đi đến được kết quả. Thậm chí có bạn sau khi chứng tỏ đẳng thức F = -1 không xảy ra đã “liều” kết
luận : F không có giá trị nhỏ nhất !
Nếu sử dụng kĩ năng đã trình bày thì hãy nhìn F như đa thức bậc hai ẩn x và viết : F = x2 - x(y - 1) + (y2 - y) = x2 + 2.x.[ (y - 1)/2 ] + [ (y - 1)/2 ]2 + 3/4.y2 - y/2 - 1/4 [ x + (y - 1)/2 ]2 + 3/4.(y2 - 2/3.y + 1/9) - 1/4 - 1/12 = [ x + (y - 1)/2 ]2 + 3/4(y - 1/3)2 - 1/3 . Do đó F≥ - 1/3 với mọi x, y. Mặt khác :
Vậy F đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 1/3 khi x = y = 1/3 . (xem thêm TTT2 số 2 - 4/2003)
Thí dụ 3 : Phân tích đa thức thành nhân tử :
F = x4 + y2 - 2x2y + x2 + x - 2y.
Phân tích : Hãy nhìn F như đa thức ẩn y, ta viết :
F = y2 - 2y(x2 + 1) + x4 + x2 + x = y2 - 2y(x2 + 1) + (x2 + 1)2 - x2 + 2x - 1 = (y + x2 + 1)2 - (x - 1) (y + x2 - x - 2)
Thí dụ 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
Phân tích : Vẫn với kĩ năng nhìn ra bình phương của một biểu thức ta viết :
Thí dụ 5 : Tìm các số nguyên x, y sao cho :
Phân tích : Ta thấy : x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 +1 > 0 với mọi x nên y xác định với mọi x. Từ đó ta cũng có y > 0. Do đó :
Vì x, y thuộc Z nên y + x + 2 và y - x - 2 cũng nhận giá trị nguyên. Lưu ý tổng và tích của hai biểu thức này là dương nên ta có :
Kĩ năng làm xuất hiện bình phương của một biểu thức còn được sử dụng trong rất nhiều bài toán khác. Mong các bạn lưu ý để giải quyết các bài toán cần tới kĩ năng này.
8h ĐẶC BIỆT HOÁ ĐỂ CÓ BÀI TOÁN MỚI
Trong quá trình dạy học toán, việc tìm lời giải các bài toán không chỉ là mục đích mà còn là cơ sở để đề xuất các bài toán mới. Nếu ta biết khai thác bài toán vừa giải xong bằng cách đặc biệt hóa thì có thể thu được những bài toán thú vị khác.
Bài toán 1 : Từ điểm P trên đường chéo AC của hình bình hành ABCD, kẻ đường thẳng d lần lượt cắt các tia
AB, AD tại M và N.
Chứng minh : AB/AM + AD/AN = AC/AP . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Lời giải : (hình 1)
Từ B và D kẻ BB’ // MN, DD’ // MN (B’, D’ thuộc AC). Ta có : AB/AM = AB'/AP ; AD/AN = AD'/AP .
Do đó : AB/AM + AD/AN = (AB' + AD')/AP . Vì ΔBOB’ = ΔDOD’ (g.c.g) => B’O = D’O.
Nên : AB’ + AD’ = 2AO = AC => AB/AM + AD/AN = AC/AP .
* Trong bài toán 1 ta chú ý rằng AO là trung tuyến của ΔABD. Nếu P là trọng tâm của ΔABD thì AP = 1/3.AC . Từ đó ta có bài toán sau :
Bài toán 2 : Đường thẳng d đi qua trọng tâm G của ΔABC lần lượt cắt các cạnh AB và AC tại M và N.
Chứng minh : AB/AM + AC/AN = 3 .
Lời giải : (hình 2)
Tương tự như bài toán 1 :
AB/AM = AC/AN = 2AO/AG = 2.3/2.AG/AG = 3 .
* Trong bài toán 2 nếu đường thẳng d cắt tia CB tại P thì : AC/CN + BC/CP = 3 và AB/BM - BC/BP = 3.
Từ đó ta có bài toán sau :
Chứng minh :
Lời giải : (hình 3)
áp dụng bài toán 2 ta có : AB/AM = AC/AN = 3 ; AC/CN + BC/CP = 3 . (1) Riêng vì MN cắt tia CB tại P nên tương tự cách chứng minh bài toán 2, ta có :
BA/BM = BA'/BG ; BC/BP = BC'/BG => BA/BM = BC/BP = 3 . (2) (dễ thấy BA’ - BC’ = 3BG). Từ (1) và (2) => : AB/AM + AC/AN + AC/CN + BC/CP + AB/BM - BC/BP = 9
=> : AB.(AM + MB)/(AM.MB) + AC.(AN + NC)/(AN.NC) - BC.(CP - BP)/(BP.PC) = 9 => : AB2/(AM.BM) + AC2/(AN.CN) - BC2/(BP.CP) = 9 (đpcm)
* Nếu ΔABC đều, cạnh a thì AB = AC = BC = a, ta đề xuất được bài toán :
Bài toán 4 : Đường thẳng d đi qua tâm O của tam giác đều ABC, cạnh a, cắt cạnh AB tại M, cạnh AC tại N và
tia CB tại P. Chứng minh :
Các bạn hãy giải bài toán 4 xem như bài tập. Trên đây là các bài tập định lượng, được khai thác từ bài toán 1 theo hướng đặc biệt hóa.
Bằng phương pháp tương tự mời bạn đọc hãy đề xuất các bài toán mới.
8d MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG PHÉP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Sau khi xem xong tạp chí Toán Tuổi thơ 2 số 5 (tháng 7 năm 2003), tôi rất tâm đắc với các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Do đó tôi mạnh dạn trao đổi với bạn đọc về vấn đề vận dụng phép phân tích đa thức thành nhân tử vào giải một số dạng toán ở bậc THCS.