Các bạn đã học qua lớp 7 chắc chắn đều biết về các đường đồng quy của tam giác :
Định lí 1 : Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm ; Định lí 2 : Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm ; Định lí 3 : Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm ; Định lí 4 : Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm.
SGK Toán 7 tập 2 đã sử dụng cùng một phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy để chứng minh định lí 2, định lí 3.
Phương pháp chứng minh này có thể mô tả khái quát như sau :
Ba đường thẳng a, b, c đồng quy nếu :
- Mọi điểm thuộc c đều có tính chất C và ngược lại. - Chứng tỏ giao điểm của a và b thỏa mãn tính chất C.
Các bạn cần lưu ý, quỹ tích các điểm thỏa mãn tính chất C chính là đường thẳng c. Như vậy mấu chốt của phương pháp này chính là việc phát hiện ra tính chất C.
Nếu ta phát hiện ra nhiều tính chất của đường thẳng c thì cũng có nghĩa là sẽ có nhiều cách chứng minh a, b, c đồng quy.
Ta sẽ áp dụng phương pháp này để chứng minh các định lí trên. * Chứng minh định lí 1 :
hai cạnh khác nhau, song song với cạnh thứ ba là trung tuyến thuộc cạnh thứ ba đó.
- Gọi AM, BN, CK lần lượt là các trung tuyến của ∆ABC ; G = BN ∩ CK. Qua G dựng DE // BC, FR // AB, PQ // AC (hình 1).
Theo bổ đề 1 ta có GF = GR ; GP = GQ. Từ đó dễ thấy ∆DQG = ∆FGP ; ∆FGP = ∆GRE (g.c.g) => ∆DQG = ∆GRE => DG = GE=> G Є AM (theo bổ đề 1).
Vậy AM, BN, CK đồng quy tại G. Định lí 1 được chứng minh.
Cách 2 : (hướng dẫn)
- Bổ đề 2 : Quỹ tích các điểm nằm trong một tam giác với các cạnh a, b, c, có tỉ số khoảng cách tới hai cạnh b, c là c/b là trung tuyến thuộc cạnh a.
- Gọi AM, BN, CK lần lượt là các trung tuyến của ∆ABC ; G = BN ∩ CK. Dựng GD ⊥ AB, GE BC.
Theo bổ đề 2 suy ra :
GD/GF = BC/AB ; GF/GE = AC/BC ;
=> GD/GE = GD/GF . GF/GE = BC/AC . AC/BC = AC/BC ; * Chứng minh định lí 2 : (sử dụng kết quả khác với SGK)
- Bổ đề 3 : Trong ∆ABC, DE // BC (D Є AB, E Є AC), quỹ tích điểm I thuộc DE sao cho ID/IE = AB/AC là
đường phân giác AA1.
- Gọi AA1, BB1, CC1 lần lượt là các phân giác của ∆ABC ; I = BB1 ∩CC1. Qua I dựng DE // BC, FR // AB, PQ // AC (hình 2).
Từ bổ đề 3 suy ra :
IF/IR = BC/AC ; IQ/IP = AB/BC ;
Mặt khác, ta nhận thấy các tam giác IFP, RIE, QDI đôi một đồng dạng => ID/IE = ID/FP . FP/IE = IQ/IP . IF/IR = AB/BC . BC/AC = AB/AC.
=> ID/IE = AB/AC => I Є AA1 (theo bổ đề 3).
Vậy AA1, BB1, CC1 đồng quy tại I. Định lí 2 được chứng minh. * Chứng minh định lí 4 :
- Bổ đề 4 : Cho ∆ABC, N thuộc đường cao BB’ và K thuộc đường cao CC’ sao cho DE // BC (D Є AB, E Є
AC). Quỹ tích điểm H thuộc DE sao cho HD/DE = BK2/CN2 là đường cao AA’. Hướng dẫn : (hình 3)
Hai tam giác vuông ANC và AKB có NB’ ∩ AC ; KC’ ∩ AB => AN2 = AB’.AC ; AK2 = AC’.AB (1).
Hai tam giác vuông AB’B và AC’C đồng dạng vì có chung ∠ BAC => AB’.AC = AC’.AB (2). Từ (1) và (2) => AN = AK.
Gọi M Є AA’ sao cho ∠ BMC = 90o tương tự ta có : AN = AK ; BM = BK ; CM = CN (3). Xét tam giác vuông BMC, MA’ ⊥ BC => BM2 = BA’.BC và CM2 = CA’.BC
=> BA'/CA' = BM2/CM2 = BK2/CN2 = HD/HE (theo bổ đề 3) => nếu H’ = DE ∩ AA’ thì H'D/H'E = BA'/CA' = HD/HE => H’ ≡ H.
Trở lại định lí 4 (hình 4)
- Gọi M, N, K lần lượt nằm trên các đường cao AA’, BB’, CC’ của ∆ABC sao cho ∠ BMC = ∠ AKB = 90o, H = BB’ ∩ CC’.
Qua H dựng DE // BC, FR // AB, PQ // AC.
Từ bổ đề 4 suy ra :
HQ/HP = AK2/CM2 ; HF/HR = BN2/AN2
Mặt khác, ta nhận thấy các tam giác HFP, RHE, QDH đôi một đồng dạng nên : HD/HE = HD/FP . FP/HE = HQ/HF . HF/HR = AK2/CM2 . BM2/AN2
=> HD/HE = BM2/CM2 (Do AK = AN) => H Є AA’ (theo bổ đề 4). Vậy AA’, BB’, CC’ đồng quy tại H.
Định lí 4 được chứng minh.
* Đề nghị bạn đọc chứng minh các bổ đề 1 ; 2 ; 3 và làm bài tập sau.
Bài tập : Trong một tam giác, đường thẳng đối xứng với đường trung tuyến qua đường phân giác cùng xuất
phát từ một đỉnh được gọi là đường đối trung của đỉnh đó. Chứng minh rằng trong tam giác, ba đường đối trung đồng quy.
Như vậy thông qua hai chứng minh định lí của SGK, ta đã rút ra được một phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy rất hiệu quả. Tôi hi vọng các bạn sẽ thành công trong nhiều trường hợp khác. 7 TẬP "LỘI NGƯỢC" ... KHI GIẢI TOÁN
“Lội ngược dòng” là một cụm từ quen thuộc trong thể thao, dùng để chỉ những cố gắng đảo ngược kết quả của
một trận đấu. Còn “lội ngược dòng” khi giải toán là quá trình phân tích đi lên từ kết quả để tìm ra lời giải. Với mỗi hướng “lội ngược dòng” ta sẽ có thể tìm ra một cách giải.
Ta xét bài toán sau :
Bài toán : (định lí Py-ta-go) Cho ∆ABC vuông tại A, BC = a, AC = b, AB = c.
Chứng ming rằng : a2 = b2 + c2 (*)
Hướng 1 : Từ a2, b2, c2 ta liên hệ đến diện tích của các hình vuông có cạnh là a, b, c. Nếu dựng về phía ngoài của ∆ABC các hình vuông có cạnh lần lượt là BC, CA, AB thì (*) tương đương với diện tích hình vuông cạnh BC bằng tổng diện tích của hai hình vuông có cạnh CA, AB.
Ta tiếp tục đặt vấn đề : liệu có thể chia hình vuông cạnh BC thành hai hình chữ nhật có diện tích bằng diện tích của hai hình vuông còn lại không.
Từ đó ta phát hiện ra đường HH’, trong đó H là chân đường vuông góc hạ từ A của ABC. ⇼
Cách 1 : Dựng về phía ngoài của ∆ABC các hình vuông AEFB, BMNC, CPQA (hình 1). Đường cao AH
BC cắt MN tại H’ (H Є BC). Đặt BH = c’ và CH = b’. Ta cần chứng minh : SCNH’H = SCPQA ; SBMH’H
a.b’ = b2 ; a.c’ = c2 (**).
Thật vậy, vì hai tam giác vuông ABC và HBA có chung nên ∆ABC đồng dạng với ∆HBA suy ra : AB/HB = BC/AB => AB2 = HB.BC => c2 = a.c'.
Tương tự ta có b2 = ab’.
Định lí được chứng minh và nếu biết trước (**) thì ta cũng không cần vẽ thêm các hình vuông phụ.
Hướng 2 : Ta có :
a2 = b2 + c2 = (b + c)2 - 2bc
<=> a2 + 4. 1/2 bc = (b + c)2 : (1).
Liên hệ với các công thức tính diện tích, ta nhận thấy a2 và (b + c)2 là diện tích các hình vuông có cạnh a và b + c ; 1/2 bc là diện tích tam giác có hai cạnh bên là b và c. Từ đây ta thử tìm cách dựng hình phụ và chứng minh.
Cách 2 :
Dựng hình vuông ADEF có độ dài cạnh là b + c ; B Є AD ; C Є AF (hình 2). Lấy I Є EF ; K Є DE sao cho IF = KE = b.
Ta nhận thấy ∆ABC = ∆DKB = ∆EIK = ∆FCI ;
BCIK là hình vuông.
=> SBCIK + SABC + SDKB + SEIK + SFCI = SADEF
<=> SBCIK + 4.SABC = SADEF
<=> a2 + 4. 1/2 bc = (b + c)2
<=> a2 = b2 + c2.
Hướng 3 : Thay đổi cách nhìn một chút so với cách 2, ta thấy :
(*) <=> 1/2(b + c)(b + c) = 1/2a2 + 2. 1/2bc , trong đó vế trái là diện tích của hình thang có hai đáy là b, c và có đường cao là b + c.
Cách 3 : Trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF = c ; Dựng điểm D thuộc nửa mặt phẳng có bờ AE,
chứa điểm B, DE ⊥ AE, DE = b (hình 3).
Ta nhận thấy ABDE là hình thang vuông có hai đáy AB = c, DE = b, đường cao AE = b + c ; ∆ABC = ∆ECD ; ∆BCD vuông cân tại C có cạnh là a.
<=> SABDE = SBCD + 2.SABC
<=> 1/2(b + c)(b + c) = 1/2a2 + 2. 1/2bc <=> a2 = b2 + c2.
Hướng 4 : Tiếp tục biến đổi (*) theo hướng khác, a2 = b2 + c2 = (b - c)2 + 2bc <=> a2 = (b - c)2 + 4. 1/2bc.
Cách 4 : Không mất tính tổng quát, giả sử b > c. Dựng hình chữ nhật ABA’C ; hình vuông BCED (chứa A’) ;
trên BA’ lấy điểm B’ sao cho BB’ = c ; trên DB’ lấy điểm C’ sao cho DC’ = c ; CA’ ∩ EC’ = D’ (
Ta chứng minh được những kết quả sau :
∆ABC = ∆A’CB = ∆B’BD = ∆C’DE = ∆D’EC và A’B’C’D’ là hình vuông có cạnh là b - c. => SBCED = SA’B’C’D’ + SA’BC + SB’BD + SC’DE + SD’EC
<=> SBCED = SA’B’C’D’ + 4.SABC
<=> SBCDE = SA'B'C'D' + 4.SABC
<=> a2 = (b - c)2 + 4. 1/2bc <=> a2 = b2 + c2.
Việc tập “lội ngược dòng” sẽ giúp các bạn tập giải quyết được các bài toán. Các bạn thử tìm lời giải của các bài tập :
Bài tập 1 : Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng :
SSABCD ≤ 1/2.AC.BD.
Bài tập 2 : Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó. Chứng minh rằng :
7h MỘT PHƯƠNG PHÁP THÚ VỊ GIẢI BÀI TOÁN TÍNH GÓC
Các bài toán về tính số đo góc rất đa dạng, xuất hiện nhiều trong các kì thi. Để giải quyết tốt dạng toán này có khi phải vẽ hình phụ. Trong bài viết này, tôi xin giới thiệu với các em phương pháp vẽ thêm hình phụ là tam giác đều trong bài toán tính số đo góc.
Bài toán 1 : Cho tam giác ABC cân tại A, ∠ A = 200. Trên AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Tính
Lời giải :
Vì tam giác ABC cân tại A, ∠ A = 200 nên ∠ ABC = ∠ ACB = 800. Vậy E thuộc miền trong tam giác ABC, suy ra ∠ ACE = 200 (1).
Dễ thấy ∆ABE = ∆ACE (c.c.c) nên ∠ BAE = ∠ CAE = ∠ A / 2 = 100 (2).
Từ (1) suy ra ∠ A = ∠ ACE = 200 suy ra ∆DAC = ∆ECA (c.g.c), kết hợp với (2) suy ta ∠ ACD = 1010.
Ta có ∠ BDC là góc ngoài của ∆DAC nên ∠ BDC = ∠ DAC + ∠ DCA = 200 + 100 = 300.
Cách 2 : Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, chứa điểm C, dựng tam giác đều ABI
Vì ∆ABC cân tại A, ∠ A = 200 nên AI = AB = AC ; ∠ CAI = 400 ; ∠ IBC = 200 suy ra ∠ ACI = 70 tại A) suy ra ∠ BCI = 1500
Lại có ∆ADC = ∆BCI (c.g.c)
Suy ra ∠ ADC = ∠ BCI = 1500 suy ra ∠ BDC = 300.
Bài toán 2 (đề thi vô định toán Nam Tư năm 1983) : Cho tam giác ABC cân tại A, ∠ A = 800. Ở miền trong tam giác lấy điểm I sao cho ∠ IBC = 100 ; ∠ ICB = 300. Tính ∠ AIB.
Lời giải : Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC, chứa điểm A, dựng tam giác đều BCE
Vì ∆ABC cân tại A, nên ∠ A = 800 nên ∠ ABC = ∠ ACB = 500 suy ra ∠ ABE = ∠ ACE = 100
miền trong tam giác BCE.
Dễ dàng chứng minh được ∆AEB = ∆ICB (g.c.g) suy ra BA = BI suy ra ∆ ABI cân tại B, có ∠ = 400 suy ra ∠ AIB = 700.
Bài toán 3 : Cho tam giác ABC cân tại A, ∠ A = 1000. Trên cạnh AB kéo dài về phía B, lấy điểm E sao cho AE = BC. Tính ∠ AEC.
Vì ∆ABC cân tại A, ∠ A = 1000 nên ∠ ABC = 400 ; tia AF nằm giữa hai tia AE, AC Suy ra ∠ CAF = 400 suy ra ∆ABC = ∆CAF (c.g.c)
Suy ra AC = FC suy ra ∆AEC = ∆FEC (c.c.c)
Suy ra ∠ AEC = ∠ FEC = 1 / 2 ∠ AEF = 600 / 2 = 300.
Qua một số bài toán nêu trên có thể thấy, việc vẽ thêm hình phụ là tam giác đều tỏ ra rất hiệu quả đối với bài toán tính số đo góc bởi vì nó đã tạo ra các góc 60o ; tạo ra nhiều mối quan hệ bằng nhau giữa các cạnh, các góc, các tam giác, ...
Các bạn hãy làm thêm bài toán sau :
Bài toán 4 : Cho tam giác ABC cân tại A, ∠ A = 800. Trên AC lấy điểm E, trên BC lấy điểm F sao cho ABE = ∠ CAF = 300. Tính ∠ BEF.
7h ĐỊNH LÍ PY - TA - GO MANG ĐẾN NHIỀU BÀI TOÁN THÚ VỊ
Khi hỏi một bạn học sinh lớp 8 năm học 2003-2004 : “Nếu một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 1 thì cạnh huyền bằng bao nhiêu ?”, chắc bạn đó sẽ lúng túng. Điều đó cũng dễ hiểu vì trong chương trình môn toán thì năm học 2003-2004 trở về trước, học sinh lớp 8 chưa học căn bậc hai.
Nhưng nếu đặt câu hỏi đó cho một học sinh lớp 7 vào cuối học kì I của năm học 2003-2004 thì bạn đó sẽ trả lời :
- Quá dễ ! 12 + 12 = 2, đáp số là chứ gì !
Định lí Py-ta-go và căn bậc hai trong sách giáo khoa Toán 7 mới giúp ta có thêm nhiều khả năng tiếp cận những bài toán thú vị.