điểm mấu chốt của chúng rồi “xào nấu” chúng thành những bài toán “trông có vẻ lạ”. Việc này không những đã giúp tôi khắc sâu kiến thức, rèn luyện khả năng sáng tạo mà còn cho tôi những bài toán thú vị để... đố bạn bè. Xin được giới thiệu với các bạn một lần vào “bếp” của tôi, bắt đầu từ một bài toán rất đơn giản.
Bài toán 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của T = (a + 2003)2 + (b + 2004)2 + (c + 2005)2.
Lời giải : Ta có (a + 2003)2 ≥ 0 với mọi a ; (b + 2004)2 ≥ 0 với mọi b ; (c + 2005)2 ≥ 0 với mọi c. Suy ra T ≥ 0 với mọi a, b, c. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = -2003 ; b = -2004 ; c = -2005.
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 0.
Dễ thấy rằng, bài toán trên vẫn đúng khi ta thay các số 2003, 2004, 2005 bởi các số thực bất kì. Từ đó ta có bài toán sau :
Bài toán 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của T = (a + m)2 + (b + n)2 + (c + p)2 với m, n, p là các hằng số.
Hai bài toán trên có cách giải đơn giản (sử dụng tính chất A2 ≥ 0). Bây giờ, nếu thêm điều kiện a + b + c là một hằng số thì ta có thể đề xuất bài toán sau :
Bài toán 3 : Xét các số thực a, b, c có tổng là q. Tìm giá trị nhỏ nhất của T = (a + m)2 + (b + n)2 + (c + p)2 với m, n, p, q là các hằng số.
Tôi đã thử khá nhiều cách và cuối cùng cũng tìm được lời giải cho bài toán này nhờ sử dụng bất đẳng thức phụ sau : x2 + y2 + z2 ≥ (x + y + z)2/3 với mọi x, y, z (1).
Chứng minh (1) : Với mọi x, y, z ta có x2 + y2 ≥ 2xy ; y2 + z2 ≥ 2yz ; z2 + x2 ≥ 2zx. Cộng theo từng vế 3 bất đẳng thức cùng chiều trên ta được
2(x2 + y2 + z2) ≥ 2(xy + yz + zx) <=> 3(x2 + y2 + z2) ≥ (x + y + z)2 <=> x2 + y2 + z2 ≥ (x + y + z)2/3.
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z.
Lời giải : Theo bất đẳng thức (1) ta có
T = (a + m)2 + (b + n)2 + (c + p)2 ≥ (a + b + c + m + n + p)2/3 = (m + n + p + q)2/3. Suy ra T ≥ (m + n + p + q)2/3. Vậy giá trị nhỏ nhất của T là (m + n + p + q)2/3, khi đó
Lời giải của bài toán trên vẫn không thay đổi nếu ta thay điều kiện a + b + c = q bởi điều kiện a + b + c ≥ q. Ta có bài toán khá “hóc búa” sau :
Bài toán 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của T = (a + m)2 + (b + n)2 + (c + p)2. Biết a + b + c ≥ q và m, n, p, q là các hằng số.
Cũng vẫn là bài toán trên nhưng điều kiện a + b + c ≥ q được ẩn dưới một điều kiện khác là a, b, c dương và abc ≥ q3, bài toán sẽ trở nên “hóc búa” hơn nhiều :
Bài toán 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của T = (a + m)2 + (b + n)2 + (c + p)2. Biết a, b, c là các số dương, abc ≥ q3 và m, n, p, q là các hằng số.
Hướng dẫn : áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương a, b, c ta có
Việc mở rộng bất đẳng thức (1) cũng đã giúp tôi phát triển thêm chuỗi bài toán này. Ta có hai bất đẳng thức sau :
Chứng minh (2) : áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski cho 2n số ta có
Vậy theo nguyên lí quy nạp, ta đã chứng minh được (3).
Các bạn thử dùng các bất đẳng thức (1) ; (2) ; (3) để giải các bài toán sau nhé.
Bài toán 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của T = (a1 + b1)2 + (a2 + b2)2 + ... + (a2005 + b2005)2. Biết a1 + a2 + ... + a2005 = 2005 và b1, b2, ..., b2005 là các hằng số.
Bài toán 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của T = (a1 + b1)2 + (a2 + b2)2 + ... + (a2006 + b2006)2. Biết a1, a2, ... , a2006 là các số dương có tích không nhỏ hơn 24012 và b1, b2, ..., b2006 là các hằng số.
Bài toán 8 : Tìm giá trị nhỏ nhất của T = (a + m)2005 + (b + n)2005 + (c + p)2005. Biết a + b + c = 6015 và m, n, p là các hằng số.
Bài toán 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của T = (a + m)2006 + (b + n)2006 + (c + p)2006. Biết a, b, c là các số dương, abc ≥ 54135 và m, n, p là các hằng số.
ĐẶC BIỆT HOÁ ĐỂ CÓ BÀI TOÁN MỚI