chứng minh nhiều bài toán thú vị.
Bài toán 1 : Với a, b dương, ta có : a3 + b3 ab(a + b) (*)
Lời giải : Thật vậy, (*) tương đương với :
(a + b)(a2 - ab + b2) - ab(a + b) 0
tương đương với (a + b)(a2 - 2ab + b2) 0
hay là (a + b)(a - b)2 0, đúng với mọi a, b dương. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. * Ta có : (*) tương đương với a3/b + b2 a(a +ab)
hay là : a3/b + b2 a2 + ab
Tương tự, với a, b, c dương thì : b3/c + c2 b2 +cb ; c3/a + a2 cb2 +ca Từ đó, ta chứng minh được bài toán :
Bài toán 2 : Với ba số a, b,c dương, chứng minh rằng :
a3/b+ b3/c + c2 + c3/a ab + bc + ca.
* Từ (*), tiếp tục => : (a3 + b3)/ab a + b; (b3 + c3)/bc b + c; (c3 +a3)/ca c + a; với a, b, c là ba số dương. Sử dụng kết quả này, ta chứng minh được bài toán trong đề thi vào 10 chuyên Lê Hồng Phong 2000-2001 :
Bài toán 3 : Với a, b,c dương, chứng minh rằng :
(a3 + b3)/(2ab) + (b3 + c3)/(2bc) + (c3 +a3)/(2ca) a + b + c. * Lại có :
(*) tương đương với 4(a3 + b3) a3 + b3 + 3ab(a+b) hay : 4(a3 + b3) (a + b)3
Ta đề xuất được bài toán :
Bài toán 4 :
Với a, b, c dương, chứng minh rằng : 8(a3 + b3 + c3) (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 * Nhận xét : Nếu bổ sung giả thiết abc = 1, thì (*) tương đương với : a3 + b3 + abc ab(a + b) + abc hay là : a3 + b3 + 1 ab(a + b + c)
hay : 1/(a3 + b3 + 1) 1/(ab(a + b + c)) Tương tự, ta có :
1/(b3 + c3 + 1) 1/(bc(a + b + c)) ; 1/(c3 + a3 + 1) 1/(ca(a + b + c)) . => :
1/(a3 + b3 + 1) + 1/(b3 + c3 + 1) + 1/(c3 + a3 + 1) 1/(ab(a + b + c)) + 1/(bc(a + b + c)) + 1/(ca(a + b + c)) = 1/(a + b + c).(a + b + c)/abc = 1 .
Ta đề xuất được bài toán :
Bài toán 5 : Cho a, b, c dương, abc = 1. Chứng minh rằng :
1/(a3 + b3 + 1) + 1/(b3 + c3 + 1) + 1/(c3 + a3 + 1) 1 . * áp dụng bài toán 5, ta sẽ chứng minh :
Bài toán 6 : (Đề dự tuyển kì thi toán Quốc tế lần thứ 37, năm 1996).
ab/(a5 + b5 + ab) + bc/(b5 + c5 + bc) + ca/(c5 + a5 + ca) 1 .
Lời giải : Ta sẽ chứng minh
ab/(a5 + b5 + ab) + bc/(b5 + c5 + bc) + ca/(c5 + a5 + ca) 1/(a3 + b3 + 1) + 1/(b3 + c3 + 1) + 1/(c3 + a3 + 1)
bằng cách chứng minh :
ab/(a5 + b5 + ab) 1/(a3 + b3 + 1) (1) ; bc/(b5 +c5 + bc) 1/(b3 + c3 + 1) (2) ; ca/(c5 + a5 +c a) 1/(c3 + a3 + 1) (3) ; Thật vậy :
(1) tương đương với : a5 + b5 + ab ab(a3 + b3 +1) hay là : a5 + b5 ab(a3 + b3)
tương đương a5 + b5 a4b + ab4 (a5 - a4b) + (b5 - ab4) 0
(a - b)(a4 - b4) 0
(a - b)2(a + b)(a2 + b2) 0, đúng.
Tương tự, (2) và (3) cũng đúng, bài toán được chứng minh.
* Đề nghị các bạn áp dụng bất đẳng thức (*) để tiếp tục chứng minh các bài toán :
1. Cho a, b, c không âm, chứng minh :
2. Cho a, b, c dương, chứng minh :
RÚT GỌN BIỂU THỨC