nhiên tất cả các bạn đều quên mất một dữ kiện quan trọng, đó là ΔABC nhọn. Phải chăng bài toán không cần dữ kiện này ?
Bài 5(8) : Cho tam giác ABC không vuông. Các đường cao BB’, CC’ cắt nhau tại H. Gọi K là trung điểm của AH, I là giao điểm của AH và B’C’. Chứng minh rằng : I là trực tâm của tam giác KBC.
Lời giải :
Trường hợp 1 : Tam giác ABC nhọn (hình vẽ). Gọi L là điểm đối xứng của H qua BC.
Ta có : BLC = BHC = B ' HC ' (đối đỉnh) = 180o - BAC (Vì AC 'HB ' nội tiếp) => BLC + BAC = 180o
=> tứ giác ABLC nội tiếp => CLA = CBA . (1)
Mặt khác, vì BB 'C = BC 'C ( = 90o) nên tứ giác BC’B’C nội tiếp => AB ' C ' = CBC ' . (2) Từ (1) và (2) => : CLI = AB 'I => tứ giác CLIB ’ nội tiếp => B 'CI = B 'LI . (3)
Theo giả thiết, tam giác AHB’ vuông tại B’, B’K là trung tuyến nên KB’ = KH => KB 'H = KHB ' = BHL = BLH (vì tam giác BLH cân tại B) => tứ giác KB’LB nội tiếp , suy ra B 'BK = B 'LK . (4)
Từ (3) và (4) => tứ giác BCB’E nội tiếp (E là giao của CI và BK) => BEC = BB 'C = 90o => CI vuông góc với BK.
Chú ý rằng : KI vuông góc với BC Vậy I là trực tâm của tam giác KBC.
Trường hợp 2 : Tam giác ABC tù, chứng minh hoàn toàn tương tự như trường hợp 1.
Bài toán : Cho đường tròn tâm O và hai điểm A, B cố định nằm trên đường tròn. Hai điểm M, N chạy trên đường tròn sao cho MN cắt đoạn thẳng AB. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
Trước khi giải bài toán, xin phát biểu không chứng minh một bổ đề đơn giản.
Bổ đề : Cho đường tròn (w) đường kính AB và điểm M.
Nếu M nằm trên (w) thì AMB = 90o
Nếu M nằm trong (w) thì AMB > 90o
Nếu M nằm ngoài (w) thì AMB < 90o
Trở lại việc giải bài toán thách đấu.
Thuận : Giả sử I là trung điểm của dây MN và MN cắt đoạn AB. Vì MN cắt đoạn AB nên A, B
nằm về hai phía của MN. => : A, O nằm về một phía của MN B, O nằm về hai phía của MN hoặc là:
A, O nằm về hai phía của MN B, O nằm về một phía của MN Chú ý rằng OI vuông góc với MN, ta có : AIO ≤ 90o BIO ≥ 90o hoặc là AIO ≥ 90o BIO ≤ 90o Theo bổ đề ta có :
I nằm ngoài đường tròn đường kính AO I nằm trong đường tròn đường kính BO hoặc:
I nằm trong đường tròn đường kính AO I nằm ngoài đường tròn đường kính BO
=> I thuộc hình H gồm hai hình tròn đường kính AO, BO bỏ đi phần chung của chúng (hình H là phần tô màu như hình vẽ).
Đảo : Giả sử I thuộc hình H (nói trong phần thuận). Vì I thuộc H nên I nằm trong đường tròn tâm
O (nói trong đề bài). => đường thẳng qua I, vuông góc với OI cắt đường tròn tâm O tại hai điểm M, N. Đương nhiên, I là trung điểm của MN. (1)
Cũng vì I thuộc H nên :
I nằm ngoài đường tròn đường kính AO I nằm trong đường tròn đường kính BO hoặc:
I nằm trong đường tròn đường kính AO I nằm ngoài đường tròn đường kính BO Theo bổ đề, ta có : AIO ≤ 90o BIO ≥ 90o hoặc là AIO ≥ 90o BIO ≤ 90o Chú ý rằng OI vuông góc với MN, ta có : A, O nằm về một phía của MN
B, O nằm vềhai phía của MN hoặc là:
A, O nằm về hai phía của MN B, O nằm về một phía của MN => A, B nằm về hai phía của MN. => MN cắt đoạn AB. (2)
Từ (1), (2) => phần đảo đã được chứng minh.
Kết luận : Quỹ tích của các điểm I thỏa mãn điều kiện của đề bài là hình H (đã mô tả ở trên và
được tô màu như hình vẽ).
Bài 2(9) : Cho hình vuông ABCD. Tìm tập hợp các điểm M nằm trong (không nằm trên cạnh) hình vuông sao cho : MAB + MBC + MCD + MDA = 180o