Cách 1 : Gọi ∆1’, ∆2’ lần lượt là biệt số của (1) và (2) thì ∆1’ = a4b2 - b5 = b2(a4 - b3) và ∆2’ = b4a2 - a5 = a2(b4 - a3).
Xét : (a4 - b3) + (b4 - a3) - (a + b - 2) = (a4 - a) + (b4 - b) - (a3 - 1) - (b3 - 1) = (a3 - 1)(a - 1) + (b3 - 1)(b - 1)
= (a - 1)2(a2 + a + 1) + (b - 1)2(b2 + b + 1) 0 với mọi a, b => (a4 - b3) + (b4 - a3) ≥ a + b - 2 ≥ 0 với mọi a, b thỏa mãn a + b ≥ 2.
Vậy trong hai biểu thức a4 - b,sup>3 và b4 - a3 có ít nhất một biểu thức không âm => trong hai biệt số ∆1’ và ∆2’ có ít nhất một biệt số không âm, tức là ít nhất có một phương trình có nghiệm.
Cách 2 : Nếu a ≥ b thì 2 ≤ a + b ≤ 2a => a ≥ 1.
Vì a ≥ b và a ≥ 1 nên a3 ≥ b3 và a4 ≥ a3 => a4 ≥ a3 ≥ b3 => ∆1’ ≥ 0 => phương trình (1) sẽ có nghiệm. Nếu a ≤ b thì tương tự, (2) sẽ có nghiệm.
Nhận xét : 1) Một số bạn chứng minh phản chứng bằng cách giả sử cả hai phương trình đều vô
nghiệm để dẫn đến mâu thuẫn.
2) Có thể dùng bất đẳng thức Trê-bư-sép với n = 2 để suy ra : 2(a4 + b4) ≥ (a3 + b3) (a + b) (*).
Nếu (1) và (2) vô nghiệm thì a4 < b3 và b4 < a3 thì a3 + b3 > a4 + b4 => (a3 + b3)(a + b) > (a4 + b4)(a + b) ≥ 2(a4 + b4) (**).
Do (*) và (**) mâu thuẫn nên suy ra điều phải chứng minh. 3) Nhiều bạn xét quá nhiều trường hợp nên lời giải rất dài dòng. 4) Có bạn sai lầm khi trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều.
Bài 2(15) : Giải phương trình :
Lời giải : Điều kiện để căn thức có nghĩa là : 1 - x3 ≥ 0 <=> x ≤ 1. Khi đó :
x2 + 2 = (1 - x) + (x2 + x + 1) Đặt :
+ Trường hợp 1 : a = 2b
Ta có ∆ = 25 - 48 = - 23 < 0, phương trình vô nghiệm. + Trường hợp 2 : b = 2a
Hai giá trị này đều thỏa mãn x ≤ 1. Vậy phương trình có hai nghiệm
Nhận xét : Hầu hết các bạn đều làm theo cách trên nhưng không lí luận để có :
Các bạn lưu ý rằng đẳng thức không phải luôn đúng mà chỉ đúng với a ≥ 0 ; b ≥ 0. Khi a ≤ 0 ; b ≤ 0 thì . Một số bạn không đặt ẩn phụ mà đã khử căn thức (bằng cách bình phương hai vế) rồi đưa phương trình về dạng tích.
Nhận xét : 1) Hầu hết các bạn đã dùng cách biến đổi trực tiếp hoặc sử dụng hệ quả của kết quả (1)
: