Gọi W là chu trình (không nhất thiết phải có hướng) từ một đỉnh s đến chính nó, hướng của chu trình được định nghĩa trước. Gọi W và W là tập hợp các cung thuận và các cung nghịch trong chu trình này. Tôn trọng hướng của chu trình, ta định nghĩa số nhân của chu trình µ(W) như sau:
µ(W) = ∏ ∏ ∈ ∈ W j i ij W j i ij ) , ( ) , ( µ µ (6.3) Gửi luồng dọc theo một chu trình cũng giống như gửi luồng dọc theo một
đường đi ngoại trừ luồng quay trở về với nó. Tính chất 6.1 chỉ ra rằng nếu chúng ta gửi một đơn vị luồng theo chu trình W bắt đầu từđỉnh s thì µ(W) đơn vị sẽ quay trở vềđỉnh này. Nếu µ(W) > 1, chúng ta tạo ra một độ vượt quá tại đỉnh s; trong trường hợp này chúng ta gọi chu trình W là chu trình làm tăng. Nếu µ (W) < 1, chúng ta tạo ra một sự thiếu hụt tại đỉnh s; trong trường hợp này chúng ta gọi chu trình W là chu trình làm giảm. Nếu µ (W) = 1, luồng dọc theo chu trình này bảo toàn cân bằng khối lượng tại tất cả các đỉnh của nó; chúng ta gọi chu trình W này là chu trình cân bằng.
Chú ý rằng nếu chúng ta đảo hướng của chu trình, chúng ta tráo đổi vai trò của các tập hợp W và W. Do đó, tử số của biểu thức (6.3) trở thành mẫu số và mẫu số trở thành tử số. Các tính chất sau là kết luận cho nhận xét trên.
Tính chất 6.2
Nếu µ(W) là số nhân của một chu trình W có hướng xác định thì 1/µ(W) là số nhân của chu trình đó với hướng ngược lại.
Chú ý rằng trừ khi chu trình là một chu trình cân bằng, chúng ta có thể làm cho nó trở thành một chu trình làm tăng hoặc một chu trình làm giảm bằng cách
định hướng tương ứng. Kếđến chúng ta sẽ phát biểu một số tính chất của chu trình
KHOA CNTT –
ĐH KHTN
Tính chất 6.3
Bằng cách gửi (tăng) θ đơn vị dọc theo một chu trình không cân bằng (làm tăng hoặc làm giảm) W bắt đầu tại đỉnh s, chúng ta tạo ra một độ mất cân bằng
θ(µ (W) – 1) đơn vị tại đỉnh s.
Tính chất 6.4
Gọi s là một đỉnh trong một chu trình không cân bằng W. Thì để tạo ra một
độ mất cân bằng α đơn vị tại đỉnh s (trong khi thỏa mãn các ràng buộc về cân bằng khối lượng tại tất cả các đỉnh), chúng ta phải gửi α /(µ(W) – 1) đơn vị luồng dọc theo chu trình W bắt đầu tại đỉnh s.