Câu 1: (1, 25 điểm):
a. Phân tích (0, 25 điểm): x2 + 2x – 8 = (x - 2)(x +4) Điều kiện A có nghĩa: x 2 và x - 4
b. (1 điểm): Tìm x để A = 0 :
Để A = 0 thì x5 – 2x4+ 2x3 – 4x2 –3x + 6 = 0 và x2 +2x – 8 0 A = 0 khi x = 1 hoặc x = -1
Câu 2: (1, 5 điểm: Mỗi câu 0, 75 điểm):
1. Giải phương trình: 148 169 186 199 10 25 23 21 19 x x x x − + − + − + − = (14825−x− +1) (16923−x− +2) (18621−x− +3) (19919−x− =4) 0 (123 – x ) ( 1 1 1 1) 25 23 21 19+ + + = 0 123 – x = 0 x = 123
Vậy phương trình có tập nghiệm là: S =123
2. Cho a + b + c = 0 và abc 0 . Rút gọn biểu thức: C= 2 2 2 2 2 2 2 2 2
ab bc ca a b c +b c a +c a b
+ − + − + −
Từ a + b + c = 0 a + b = - c
Bình phương hai vế ta có (a + b)2 = c2 dẫn đến a2 + b2 – c2 = -2ab
Tương tự b2 + c2 – a2= -2bc ; c2 + a2 – b2 = -2ac E Do đó C = ab2ab+ bc2bc+ ca2ca= −21 1 1− − = −2 2 32
− − − A M
Câu 3: (3, 0 điểm) H
B 1.a.(1, 0 Điểm) : Gọi H là giao điểm của MB và EF.
Tứ giác AMND có: D N C MN=ND (gt) AM ND (gt) AMND là hình bình hành AD MN MN BC NE BC Có C∆MHE= ∆BHF(g.c.g) Suy ra EH = FH (1) Mặt khác AB EF (gt) (2) Từ (1) và (2) suy ra E và F đối xứng qua AB
b. (0, 25 điểm) : Tứ giác MEBF có MH = HB (gt)
EH = EH (cm trên) MEBF là hình bình hành.
Hình bình hành MEBF có MB EF nên là hình thoi
c. (0, 5 điểm) Có BC NE C (cm trên) nên BCNE là hình thang
Hình thang BCNE là hình thang cân C = CBE C = 2CBA CBA = 600
Vậy hình bình hành ABCD có CBA = 600 thì BCNE là hình thang cân 2 + Cách dựng: (1, 0 Điểm) y
-Dựng ∆DBE có ba cạnh: x A D BD =5cm; DE = 7 cm: BE = 6 cm -Trên tia BE dựng điểm C sao cho BC = 4 cm
- Dựng tia Dx BE - Dựng tia Cy BE . Dx cắt Cy tại A
Nối AB . Tứ giác ABCD là hình thang cần dựng
B C E
+ Chứng minh (0, 25 Điểm): Theo cách dựng , tứ giác ABCD có AD BC nên là hình thang
BC = 4 cm , BD = 5 cm
Theo tính chất đoạn chắn song song: AD = CE = BE – BC = 6 – 4 = 2 (cm) và AC = DE = 7(cm)
Vậy hình thang ABCD thoả mãn đầu bài toán
Đề thi học sinh giỏi khối 8
Đề năm học: 2000-2001. Thời gian: 120 phút.
Câu 1: Cho m và n là hai số tự nhiên có tổng bằng 2000 . 2001 Chứng minh rằng: m3 + n3 chia hết cho 6.
Câu 2: Giải phương trình sau: a, 2x2 – 5x + 2 = 0 b, x3 + 2x2 – x – 2 = 0
Câu 3: Chứng minh rằng với bất kỳ hai số a và biểu thức ta có: (a10 + b10 )(a2 + b2 ) ≥ (a8 + b8 )(a4 + b4 )
Câu 4: Tứ giác ABCD có AB = b, CD = a, AD = BC, ADC∧ +BCD∧ =900. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC, BD.
a, Chứng minh tứ giác MPNQ là hình vuông.
b, Gọi S là diện tích tứ giác MPNQ. Chứng minh rằng: S ≥ ( )
8
2
b a−
Trong trường hợp nào thì có dấu “=” ?
Câu 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Gọi D và E là hai điểm lần lượt thuộc hai cạnh AB và AC sao cho BD.EC =BC42 . Chứng minh rằng: các đường phân giác của ∧
A và ∧
DEC gặp nhau trên cạnh BC.
---
Đề năm học 2002 – 2003. Thời gian 120 phút.
Câu 1: Cho biểu thức P = x3 +xx2 −520x +
a, Tìm tập xác định của P. b, Rút gọn P.
c, Với x > -5. Tìm giá trị lớn nhất của P.
Câu 2: a, Giải phương trình: 3x−2 +2x−3 =13
b, Cho x > 1, y > 1, z > 1. Chứng minh bất đẳng thức: 2xyz + 1 > xy + yz + zx.
Câu 3: Cho a, b, c là 3 số đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện: ( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2.
Tính giá trị của biểu thức: P =
ab c c ac b b bc a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + .
Câu 4: Cho tứ giác lồi ABCD, có M và N là trung điểm của các đường chéo BD và AC. Gọi A’, B’ , C’ , D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC.
a, Chứng minh rằng A’C’ và B’D’ chia đoạn thẳng MN thành 3 đoạn thẳng bằng nhau.
b, Chứng minh rằng 4 đoạn thẳng: AA’ , BB’ , CC’ , DD’ cùng đi qua 1 điểm.
Đề thi năm học 2003 – 2004. Thời gian 120 phút
Câu 1: a, Số điện thoại nhà bạn Nam là một số tự niên có 6 chữ số; chữ số đầu tiên là 6 và cứ hai chữ số kề nhau thì tạo thành một số có hai chữ số chia hết cho 17 hoặc 23.
Hãy tìm số điện thoại nhà bạn Nam.
b, Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: 2xy + x + y = 21.
Câu 2: a, Cho a, b, c là 3 số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c:
A = ( )( ) ( )( ) (c a)(c b) c c b a b b c a b a a − − + − − + − − 2 2 2
b, Chứng minh rằng với hai 2 số dương a, b ta luôn có: a3 + 2b3 ≥ 3ab2
c, Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 3 2 3 2 3 x z z y y x + +
Câu 3: Cho hình bình hành ABCD; trên các cạnh BC, DC lấy các điểm M, N tương ứng sao cho BMBC = DCDN . Các đoạn thẳng AM và AN cắt BD lần lượt tại E và F.
a, Chứng minh BE = DF.
b, Chứng minh MF và NE cắt nhau trên đường chéo AC.
Câu 4: Cho tam giác vuông cân ABC (A∧ =900). Hãy dựng một tam giác vuông cân có đỉnh góc vuông nằm trên cạnh AC, hai đỉnh còn lại nằm trên hai cạnh AB và BC sao cho diện tích của nó nhỏ nhất.
---
Đề thi khảo sát chát lượng
Đề thi cuối năm 2001-2002. Thời gian 60 phút.
Câu 1: Đánh dấu x vào ô thích hợp:
Nội dung Đúng Sai
(x – 1)2 = x2 + 2x + 1
4x2 – 16 = (4 + 2x).(2x – 4)
Trong hình thang cân, 2 cạnh bên bằng nhau Hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau là hình thang cân
Câu 2: Rút gọn rồi tính:
a, (x + 1)2 + 2(x2 – 1) + (x – 1)2 Tại x = -1 b, y3 + 3y2 +3y + 1 Tại y = 9
Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AC, AB.
a, Chứng minh BCDE là hình thang cân.
b, Gọi M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh đường thẳng AM là đường trung trực của cạnh BC.
Câu 4: Cho x + y + z = 0; x, y, z khác 0. Tính giá trị biểu thức:
+ + + x z z y y x 1 . 1 . 1 ---
Đề thi cuối năm 2001-2002. Thời gian 60 phút.
Phần I. Trắc nghiệm (2 điểm):
Trong mỗi câu (từ 1 đến 4) có các phương án trả lời A, B, c, D trong đó chỉ có một phương án đúng. Em hãy ghi chữ cái đứng trước phương án đúng nhất vào bài làm.
Câu 1: Điều kiện xác định của phương trình: 11 21 =( +1)( −1) − − + x x x x x là: A. x # 1 B. x # ± 1 C. x # -1 D. x # 0; x # ± 1
Câu 2: Tập nhgiệm của phương trình: x2 – x = 3x – 3 là:
A. {3} B. {0; 1} C. {1; 3} D. Một kết quả khác.
Câu 3: Số nào dưới đây là một nghiệm của bất phương trình: -11x < 5: A. -1 B. 1 C. - 12 D. 0
Ta có tỷ lệ thức:
A. MBMA = ACAN B. AMAB =MNBC C. AMAB = NCAC D. MNBC = NCNA
Phần II: Tự luận (8 điểm)
Câu 5: Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số a. 3x – 7 ≥ 5 b, 5 – 2x < x + 13
Câu 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40 km /h. Cùng lúc đó một xe máy cũng đi từ A đến B với vận tốc 35 km /h nên đến B sau ô tô 30 phút. Tính quảng đường AB.
Câu 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3 cm; AD = 4 cm. Kẻ AH vuông góc với BD.
a. Chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác HBA. b. Tính độ dài đoạn BD; AH.
c. Gọi K là trung điểm của HD, I là trung điểm của BC. Chứng minh AK ⊥ IK.