Bài toán 3.1 : Có số tn nhiên nào chia hết cho 12 thì d 9, chia hết cho 15 thì d 1 không ?
Nhận xét:
Khi đọc đề bài toán trên học sinh rất dễ hiểu nhầm đề bài và giải bài toán bằng cách chỉ ra các số nào đó thỏa mãn bài toán ra nhng thực chất bài toán không đòi hỏi chỉ ra số cụ thể, ta biết rằng với đề bài này chúng ta chỉ có thể khẳng định hoặc phủ định bài toán. Phơng pháp chứng minh phản chứng lúc này giúp cho ta thực hiện đợc yêu cầu trên.
Giả sử có số a ∈N thỏa mãn giả thiết
Ta có a= 12k +9 = 3(4k + 3 ) 3 (21)
mà a = (15k +1) không chia hết cho 3 điều này mâu thuẫn với (21) vậy không có số tự nhiên nào thỏa mãn đề bài
Bài toán 3.2 : Từ bốn chữ số 1 ; 2 ; 3 ; 4 lập tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số gồm cả 4 chữ số ấy. Trong các số đó có tồn tại hai số nào mà một số chia hết cho số còn lại?
Nhận xét:
Đối với bài toán này ta không phải liệt kê các số lập đợc từ 4 số, rồi thử chia các số đó cho nhau để chỉ ra kết quả. Ta thấy số lớn nhất lập đợc từ bốn số là 4321, số bé nhất là 1234. Nên thơng có đợc từ phép chia một số cho các số còn lại chỉ có thể là 2 hoặc 3.
Từ nhận xét trên ta tìm các giữ liệu để giải bài toán:
Giả sử tồn tại hai số lập đợc từ bốn số trên thỏa mãn giả thiết là x, y. khi đó x y đợc thơng là p = 2 hoặc p = 3
+> với p = 2
khi đó nếu y = 1234 là số nhỏ nhất thì x phải nhận giá trị là x =2468 Điều này trái với giả thiết vì x đợc lập từ 4 số 1 ; 2 ; 3 ; 4
+> với p = 3
Khi đó ta có xy =3 => x3 điều này vô lí vì tổng các chữ số của x là 1 + 2 +3 + 4 = 10 không chia hết cho 3
Nhận xét việc chứng minh của toàn bài toán trên:
Sự khác biệt của bài toán chứng minh bằng phơng pháp phản chứng với các loại bài toán khác ở chỗ:
Nếu các bài toán chia hết làm băng phơng pháp khác: phơng pháp quy nạp, sử dụng các tính chất chia hết ..., điều đa ra chứng minh đã đợc khẳng định ta chỉ đi khẳng định lại thì ở các bài toán này ta lại phải xem xét điều đa ra có đúng không và phải đi khẳng định nó.
Dễ dàng nhận thấy từ hai bài toán trên mâu thuẫn đợc xoay quang sự chia hết và không chia hết. Việc chỉ ra mâu thuẫn đòi hỏi phải có sự “ tinh ý” trong cách nhận biết các dấu hiệu chia hết.
Bài toán 3.3 : Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y sao cho 3x2 + 7y2 = 2002
Nhận xét : ở bài toán này điều quan trọng là ta đi dẫn dắt, chứng minh để đa ra khẳng định là tồn tại hay không tồn tại hai số nh vậy.
Chứng minh: Ta có 3x2 + 7y2 = 2002 <=> 3x2 = 2002 - 7y2 <=> 3x2 = 7(286 - y2) mà (3,7) = 1 nên x7 <=> x2 7 286 - y2 = 286 -(y2 +1) 7 (21) => y2 +1 7 Giả sử y = 7k +l (0 ≤l ≤7)
Ta có y2 + 1 = (7k +l)2 +1
= 7(7k2 + 2kl) + l2 + 1
Thử với l =0; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 thì ta thu đợc kết quả l2 +1 không chia hết cho 7 (22)
Từ (21) và (22) => không tồn tại hai số nguyên x, y để 3x2 + 7y2 = 2002
Bài toán 3.4 : Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn phơng trình x2+y2 = z2
Chứng minh rằng: