Đặt A= n2+2n-

= n2+5n-3n-15+11

Để A 11 thì (n+5)(n-3) 11 ⇒(n+5)(n-3)=11k , k∈N

Thử các trờng hợp số d của phép chia A cho 11 ta thấy chỉ có giá trị của n là n= 11k - 5 hoặc n=11k+3 thì thỏa mãn bài toán . Vậy với n =11k-5 và n=11k -3 thì A

11 b) 5n-2n9 , n≥2 áp dụng hằng đẳng thức ta có 5n-2n=(5-2)(BS5+2n-1) = 3.(BS5+2n-1) (10) mà 5n-2n9 ⇒ 5n-2n=9k , (k∈N) (11) Từ(10) và (11) ⇒BS5+2n-1=BS3 Ta xét trờng hợp số d của phép chia 5n-2n3 +)Nếu n=3t (t∈N ) thì 5n-2n=53t-23t=(5t-2t)(BS5+22t) khi đó dễ thấy 5n-2n9 (do 11) vậy n=3t thỏa mãn

+)Nếu n=3t+1 , (t∈N ) thì 5n-2n=53t +1-23t +1

Ta có 2(53+ - 23+)  9 ( theo chứng minh trên) và 3.53+9 (vì 53+ luôn tận cùng là 25).

Vậy n = 3t + 1 không thỏa mãn +> Nếu n = 3t + 2 (t ∈ N) thì 5n - 2n = 53t +2 - 23t +2

= 25.53t - 4.23t

= 4.(53t-23t)+21.53t

Ta có 53t-23t9 (theo chứng minh trên) mà 21.53t=3.7.53t9 Nên n = 3t +2 không thỏa mãn

Vậy với n =3t thì 5n-2nv9

Đến đây ta thấy rõ đợc u thế của phơng pháp sử dụng tính chất chia hết mà phơng pháp quy nạp không thể sử dụng.

c) Đặt C=2n3+n2+7n+1 = n2+n+4+5/(2n-1)

Ta có n2+5 ∈ N, Nên để C 2n-1 thì 52n-1, n∈N hay (2n-1) phải là ớc của 5 (kí hiệu Ư(5)) mà Ư(5)= 1; 5 nên ta có :± ± 2n-1 = -1 => n = 0 2n-1 = 1 => n = 1 2n-1 = 5 => n = 3 2n-1 = -5 => n = -2 (loại) Vậy với n= 0 ; n = 3 ; n = 1 thì C (2n-1) d) n5+1  n3+1 , n > 0

Ta có n5+1n3+1 <=> n2(n3+1)-(n2-1) n3+1 <=> n2-1n3+1 <=> (n-1).(n+1) (n+1)(n2-n+1) <=> n-1n2- n+1 (vì n+1 ≠ 0) Nếu n = 1 ta đợc 01 Nếu n.1 thì n-1 < n(n-1)+1= n2-n+1 Do đó n-1 không thể chia hết cho n2-n+1

Vậy giá trị duy nhất tìm đợc của n thỏa mãn là 1

Nhận xét : đối với phần c ta có cách hỏi khac để có bài toán mới nh sau:

Bài toán 2.14: Tìm n ∈ Z để phân số C/(2n-1) nguyên Ta có bài toán tơng tự

Bài toán 2.15: Chứng minh rằng có vô sỗ số tự nhiên n để n+15 và n+72 là hai số nguyên tố cùng nhau

Nhận xét :

chú ý rằng bài toán yêu cùa chứng minh có vô số số tự nhiên n thỏa mãn giả thiết chứ không yêu cầu phải chỉ ra cụ thể một số hữu hạn n nào đó.Ta giải bài toán bằng cách : Tiến hành giải bài toán phủ định của bài toán này rồi phủ định lại kết quả mà ta vừa tìm đợc

Ta còn có thể có câu hỏi khác cho bài toán trên là: Chứng minh có vô số số tự nhiên n để phân số = ++1572 n n M tối giản Chứng minh : Phân số 15 72 + + = n n

(n+72 ; n+15) =1 hay n+72 n+15 ta có 15 72 + + = n n M = 15 57 1 + + n

Để M nguyên dơng thì n+15 phải là Ư(57) mà Ư(57) = 1; 3; 57± ± ±

Nếu n+15 =1 => n= -14 không thỏa mãn bài toánvì n ∈ N n+15 =-1 => n= -16 không thỏa mãn bài toánvì n ∈ N n+15 =3 => n= -12 không thỏa mãn bài toánvì n ∈ N n+15 =-3 => n= -18 không thỏa mãn bài toánvì n ∈ N n+15 =57 => n= 42 thỏa mãn bài toán

n+15 =-57 => n= -72 không thỏa mãn bài toánvì n ∈ N Vậy M nguyên thì n = 42

Do đó M tối giản khi n = N-42 hay có vô số số tự nhiên n để M tối giản.

Bài toán 2.16: Cho a,b,c ∈ Z và thỏa mãn a + b + c  6 Chứng minh rằng: a3+ b3+c36 Chứng minh : Đặt A = a3+ b3+c3 -(a+b+c) khi đó: A = a3-a+b3-b+c3-c = a(a2-1)+b(b2-1)+c(c2-1) = (a-1).a.(a+1)+(b-1).b.(b+1)+(c-1).c.(c+1) Do (a-1).a.(a+1) 2 (a-1).a.(a+1) 3 Mà (2,3) =1

nên (a-1).a.(a+1) 6 (12)

Mặt khác a,b,c có vai trò nh nhau nên ta có : (b-1).b.(b+1)6 (13) (c-1).c.(c+1) 6 (14) Từ (12) ;(13);(14) và giả thiết a+b+c  6

Nên a + b + c  6

Nhận xét : Thực chất của bài toán trên khi chứng minh ta đã sử dụng hệ quả 2.3 <chơng1>

Với bài toán này ta mở rộng thành bài toán tổng quát sau:

Bài toán 2.17: Chứng minh rằng nếu a+b+c  k thì an +bn +cn  k với k là bội chung nhỏ nhất của n số nguyên liên tiếp.

Bài toán 2.18 : Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên a,b,c thỏa mãn điều kiện : a2+b2= c2 thì abc chia hết cho 60

Nhận xét : cần chứnh minh abc 60 với điều kiện a2+b2=c2 ta nên sử dụng hệ quả 2.8 <chơng1> Chứng minh : Ta thấy n BS 3 1 => n± 2 =BS 3 +1 n= BS5 1 => n± 2 =BS 5 +1 n= BS5 2 => n± 2 =BS 5 +4 n= BS4 1 => n± 2 =BS 8 +1 n= BS4 2 => n± 2 =BS 8 +4

a2, b2, c2 đều chia hết cho 3 d 1 khi đó a2+ b2 = BS3+2 c2 = BS3+1

trái với giả thiết a2+ b2=c2

Vậy tồn tại một trong ba số a,b,c chia hết cho 3 do đó a.b.c 3

+> Nếu a,b,c đồng thời chia hết cho 5 thì a2, b2, c2 đều chia hết cho 5 d 1 hoặc 4 khi đó a2 + b2 chia hết cho 5 d 0; 2 ;3 c2 chia hết cho 5 d 1;4

trái với giả thiết a2+ b2=c2

Vậy tồn tại một trong 3 số a,b ,c chia hết cho 5 do đó a.b.c 5 +> Nếu a,b,c đều không chia hết cho 4 thì a2, b2, c2  8 d 1 hoặc 4 khi đó : a2 + b2 : 8 d 0,2,5

c2:8 d 1, 4 trái với giả thiết a2+ b2=c2

Vậy tồn tại một trong ba số a,b,c chia hết cho 4 do đó a.b.c  4 Từ (15),(16) & (17): a.b.c chia hết cho 3, 4,5 hay a.b.c chia hết cho 60

Nhận xét: các bài toán trên đều đợc đa ra với các điều kiện chia hết. Để chứng minh ta đều dựa chủ yếu vào hệ quả 2.3 và 2.8 ( chơng 1 ) Vậy với những bài toán liên quan đến số nguyên tố và hợp số thì ta sẽ chứng minh nh thế nào?

Để giải đợc những bài toán nh vậy ta phải nắm vững đợc các khái niệm về số nguyên tố và hợp số.

Bài toán 2.19: cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 P +8 cũng là số nguyên tố. Hỏi: P + 10 là số nguyên tố hay hợp số.

Nhận xét: Vì P là số nguyên tố lớn hơn 3 suy ra P không chia hết cho 3

Khi đó P có các cách biểu diễn p = 3k +1 ; p = 3k +2 ( k ∈ Z) thử các trờng hợp của P với P + 8 và p + 10 để dẫn đến điều cần chứng minh.

Chứng minh:

Vì P là số nguyên tố lớn hơn 3 suy ra P không chia hết cho 3 ta thực hiện phép chia p cho 3 ta có:

P = 3k + l (0< l <3)

+> Với l =1 tức p = 3k +1 thì p +8 = 3k +1 + 8 = 3k +9

=> p +8 3 do đó p +8 là hợp số (trái lại với giả thiết) +> Với l =2 tức p = 3k+2 thì p +8 = 3k+2+8 = 3k+10 (Với k ∈Z)

thỏa mãn giả thiết

p+10 =3k+2+10 = 3k+12 = 3.(k+4)  3 => p +10 là hợp số

Vậy với p là số nguyên tố lớn hơn 3: p +8 cũng là số nguyên tố thì p +10 là hợp số.

Bài toán 2.20: Tìm số nguyên tố p để : a) 4p +1 là số chính phơng b) 2p2 +1 cũng là số nguyên tố