Các đặc tính lọc nhằm truyền dẫn không có ISI [1]

TRUYỀN DẪN SỐ TRONG THÔNG TIN VỆ TINH

2.3.2. Các đặc tính lọc nhằm truyền dẫn không có ISI [1]

Ta sẽ xem xét tín hiệu băng gốc truyền qua hệ thống tương đương thông thấp qua mô hình cho trên hình vẽ 2.7. Tín hiệu từ nguồn gồm có M phần tử song chúng ta hạn chế chỉ khảo sát trường hợp khi các phần tử Si(t) của tập tín hiệu chỉ khác nhau về biên độ, tức là sẽ hạn chế chỉ xét hệ thống điều chế biên xung PAM (Pulse Amplitude Modulation). Thực tế hệ thống này có thể xem như gán cho mỗi một tin mk một hằng số ak mà biên độ của xung đầu ra của bộ tạo xung sẽ được nhân với nó.

s(t) s’(t)

a_k

Nguồn số Tạo xung Lọc phát Lọc thu Qu. định Nhận tin

mk δ(t-KT) T(ω)

n(t)

R(ω) m’k

Giả sử bộ tạo xung cho các xung Dirac tại các thời điểm t=kTs. Các xung dạng Dirac này, có biên độ thay đổi tuỳ theo sự thay đổi của các giá trị mk qua bộ lọc T (ω) sẽ tới kênh truyền. Phần máy thu trên hình 2.7 là máy thu tối ưu thu lọc phối hợp, mạch quyết định thực hiện lấy mẫu và so ngưỡng. Hàm truyền tổng cộng của hệ thống (đặc tính tổng cộng của hệ thống) là tích của hai đặc tính của hai bộ lọc phát và thu C (ω) = T (ω).R (ω). Bây giờ chúng ta sẽ tìm kiếm lớp đặc tính lọc C(ω) sao cho việc truyền chuỗi tín hiệu qua hệ thống sẽ không có ISI. Việc truyền được coi là không có ISI nếu vào thời điểm quyết định tín hiệu (lấy mẫu) thứ k, chỉ có đáp ứng xung của tín hiệu thứ k là khác không còn đáp ứng của các tín hiệu khác (các tín hiệu trước và sau tín hiệu thứ k) đều bằng không. Theo định lý Nyquist, độ rộng băng truyền dẫn nhỏ nhất để có thể truyền được không méo tín hiệu băng gốc là B=1/2T. Độ rộng băng ở đây có nghĩa là giải tần ngoài nó giá trị hàm truyền đồng nhất bằng không. Tần số 1/2T được gọi là tần số Nyquist. Do vậy, chúng ta sẽ xét các đặc tính lọc có độ lọc thông tần tối thiểu là 1/2T (hay π/T tính theo tần số góc).

Xét trường hợp C(ω) là đặc tính của bộ lọc thông thấp lý tưởng, tức là đáp tuyến pha của bộ lọc thì tuyến tính còn đáp tuyến biên độ |C (ω)| có dạng:

Bộ lọc này có đáp ứng xung là: ot ot t c   sin ) ( 

Có giá trị cực đại bằng 1 tại t=0 và có giá trị bằng không tại t= kπ/ω0

Giả sử đầu vào bộ lọc lý tưởng này có tín hiệu được tạo bởi bộ tạo xung như trên hình 2.7 tức là có tín hiệu lối vào bộ lọc T (ω) được cho bởi



Trong trường hợp này, đáp ứng xung đầu ra sẽ không gây nên ISI nếu tần số cắt của bộ lọc là f0 = ω0/2π = 1/2T.

Tuy vậy, không thể chế tạo bộ lọc lý tưởng trong thực tế, do đó cần tìm một lớp các bộ lọc có độ rộng băng thông lớn hơn 1/2T với đặc tuyến thoải ở hai biên (nhằm dễ chế tạo hơn) song cũng có các đáp ứng xung bằng không tại các thời điểm t=kT. Theo lý thuyết lấy mẫu, các bộ lọc có đặc tính C (ω) thoả mãn quan hệ:

1 ; 0 ≤|ω|≤ω0

0 ; |ω|>ω₀ |C(ω)| =

Trong đó Ceq là đặc tính tương đương của bộ lọc, sẽ có các đáp ứng xung cắt các điểm không tại thời điểm t=nT, với n≠0.

Đặc tính tương đương như trên được tạo ra bằng chia trục ω thành các đoạn có độ dài 2π/T và dịch các đoạn này có của hàm C (ω) đi từng đoạn ±π/T rồi lấy tổng trên tất cả các đoạn này.

Tất cả các bộ lọc thoả mãn quan hệ trên đều được gọi là thoả mãn tiêu chuẩn Nyquist thứ nhất và đều có đáp ứng xung có các giá trị bằng không tại các thời điểm t=nT (n≠0), do đó đều cho phép truyền chuỗi tín hiệu số PAM qua mà không có ISI. Trong đó các bộ lọc thoả mãn tiêu chuẩn Nyquist, các bộ lọc có độ rộng giải lớn hơn tần số Nyquist song nhỏ hơn 2 lần tần số Nyquist là đáng quan tâm hơn cả vì cho sử dụng phổ khá tốt. Để thoả mãn điều kiện trên các bộ lọc này cần phải có hàm truyền là tổng của hàm truyền bộ lọc lý tưởng với một hàm “làm cong” (roll-off) xác định trong khoảng (0,1/T), đối xứng tâm qua tần số1/2T. Kết quả là hàm truyền tổng cộng sẽ có dạng như trên hình 2.8c.

Hình 2.8 Hình thành bộ lọc cosine nâng const T k C Ceq k   



(a) Hàm truyền Nyquist lý tưởng

(b) Hàm uốn Roll-off

Do đơn giản trong tính toán, hàm số làm cong dạng như cosine thường được sử dụng để phân tích các bộ lọc này. Hàm truyền tổng cộng khi đó có dạng:

Và đáp ứng xung có dạng 2 2 2 / 4 1 / cos . / sin ) ( T t T t t T t t c      

Trong đó α là hàm uốn (roll-off factor) và có giá trị trong giải [0,1]. Bộ lọc có đặc tính như trên được coi là bộ lọc cosine nâng (raised cosine filter) do phần biên của đặc tính tần số có dạng hàm cosine được nâng lên. α càng lớn thì phổ tần chiếm của tín hiệu càng lớn. Ta thấy, ngoài các điểm có giá trị bằng 0 như của bộ lọc Nyquist lý tưởng, đáp ứng xung của bộ lọc cosine nâng còn chứa cả

1 ; 0 ≤|ω|≤π(1-α)/T

0 ; |ω|>π(1+α)/T

|C(ω)| = _{½ {1- sin [T(ω-π/T)/2α]} ; π(1-α)/T≤ |ω|≤ π(1+α)/T}

các điểm không khác. Khi α =0, bộ lọc cosine nâng trở thành bộ lọc Nyquist lý tưởng.

Ta thấy rằng các bộ lọc lý tưởng hay các bộ lọc cosine nâng không thể thực hiện được trong thực tế vì đáp xung của chúng khác không cả với các giá trị t<0, điều này không thể có trong thực tế vì như thế có nghĩa là ngay cả khi chưa có tín hiệu đầu vào, đầu ra của bộ lọc đã có đáp ứng xung, tức là không thoả mãn quan hệ nhân-quả.

Hình 2.10. Đáp ứng xung của bộ lọc cosine nâng với 1 số giá trị của α

Tiếp theo, ta hãy chú ý rằng đáp ứng xung của bộ lọc Nyquist lý tưởng có biên độ (ở đây biên độ được hiểu là các giá trị cực đại của đường gợn sóng đáp ứng xung) chỉ giảm tuyến tính với sự gia tăng của t. Giả sử đầu vào của bộ lọc có chuỗi tín hiệu thì đáp ứng đầu ra sẽ nhận các giá trị bằng ak tại các thời điểm lấy mẫu/quyết định t=kT như mong muốn, tuy vậy tại các thời điểm khác thì tổng các giá trị mẫu của đáp ứng xung không bị ngăn chặn. Do vậy khi đồng bộ không tuyệt đối chính xác, tức là khi thời điểm quyết định (lấy mẫu) khác kT, tín hiệu lối ra của bộ lọc sẽ có thể có những giá trị rất lớn, tức là ISI rất lớn. Điều này có thể chứng minh được như sau. Tai thời điểm quyết định và lấy mẫu t0, nếu có sai lệch đồng bộ (t0≠kT) thì biên độ tín hiệu lối ra của bộ lọc sẽ là tổng của các giá trị c(t0-kT) với k chạy từ -∞ tới +∞ và có dạng

Giá trị mẫu lối ra =



     k o to kT kT to o ) ( ) ( sin   ~



Chuỗi



là chuỗi không hội tụ, tức là mẫu lối ra có thể có những giá trị cực lớn trong khi giá trị mong muốn lấy mẫu phải là ak (hữu hạn). Do đó, ta có thể kết luận được bộ lọc lý tưởng giá có thể chế tạo được cũng không thể ứng dụng trong thực tế nếu không bảo đảm được đồng bộ tuyệt đối. Đáp ứng xung của các bộ lọc cosine nâng và mọi bộ lọc làm cong có hàm truyền và đạo hàm hàm truyền liên tục thì có biên độ gợn sóng suy giảm theo luỹ thừa 3 của biến t. Do vậy, ngay cả khi đồng bộ không lý tưởng thì giá trị của đáp ứng xung đầu ra của các bộ lọc này, tương đương với chuỗi hội tụ



   k k³ 2 1 1  , sẽ bị chặn. Do đó ISI sẽ nhỏ ngay cả khi đồng bộ không lý tưởng.

Trong thực tế, các tín hiệu đầu vào modem không phải là các xung PAM mà là các tín hiệu có dạng sóng b(t) nào đó. Hàm dạng sóng b(t) có thể xem là đáp ứng xung của một mạch lọc với hàm truyền B(ω)=F{b(t)}, với F{.} là biến đổi Fourier. Khi đó bộ điều chế có thể xem như một bộ tạo xung Dirac (PAM) mắc nối tiếp với bộ lọc nói trên. Ta có thể thấy ngay điều kiện để truyền không có ISI là kênh phải có hàm truyền dạng

C’(ω) = C(ω). 1/B(ω)

Trong đó C(ω) là hàm truyền của bộ lọc cho phép truyền xung Dirac không có ISI. Giả sử bộ điều chế cho ra tín hiệu dạng sóng b(t) là các xung dạng NRZ có độ dài T, thì do phổ B(ω) của chúng có dạng sinx/x nên 1/B(ω) sẽ có dạng x/sinx. Nghĩa là để truyền không có ISI trong trường hợp này giữa bộ điều chế và bộ lọc phát phải mắc thêm một bộ lọc có hàm truyền dạng x/sinx.

Các kết quả trên đây đối với việc truyền tín hiệu băng gốc có thể dễ dàng mở rộng cho các tín hiệu dải thông của trường hợp tín hiệu điều chế biên độ với tần số sóng mang ωc : đặc tính bộ lọc thông thấp thoả mãn tiêu chuẩn Nyquist thứ nhất được dịch truc một cách đơn giản từ ω =0 lên ω =ωc do phép biến đổi trộn tần của hệ thống là biến đổi tuyến tính. Loại bộ lọc dải thông này, tương tự với bộ lọc thông thấp tương đương, sẽ không gây nên ISI vì phổ của tín hiệu điều chế biên độ thuần túy là phổ của tín hiệu băng gốc được dịch trục một cách tương ứng. Hơn thế nữa, bộ lọc dải thông này hiển nhiên có hàm truyền đối xứng qua ωc. Hệ quả là nó không tạo nên các thành phần vuông pha với tín hiệu đầu vào. Do vậy nếu tín hiệu đầu vào gồm các thành phần tín hiệu vuông pha, như tín hiệu QAM chẳng hạn, thì bộ lọc nói trên sẽ không gây ra xuyên nhiễu chéo (crosstalk) giữa các thành phần tín hiệu đó ở đầu ra. Như vậy, các bộ lọc

kiểu này sẽ cho phép truyền một cách lý tưởng đối với các tín hiệu QAM cũng như PSK, do tín hiệu PSK có thể xem như trường hợp riêng của tín hiệu QAM.