( )3 x4 x( x)101 vì
2.2.4. Rèn kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán
Trong khi tiến hành giải phơng trình, ngời ta thờng biến đổi, đa về những phơng trình đơn giản hơn và cuối cùng dẫn đến một phơng trình đã biết cách giải.
Tuy nhiên nếu hiểu từ "biến đổi" theo nghĩa thông thờng, thuần túy thì không phải sự biến đổi nào cũng dẫn đến phơng trình đơn giản hơn và đã có cách giải. Rất nhiều trờng hợp cách làm đó không đem lại kết quả gì, do việc tính toán dẫn đến vô cùng phức tạp, bài toán dẫn đến không rơi vào trờng hợp
đặc biệt quen biết rõ ràng nào cả. Bằng cách "biến đổi" theo nghĩa rộng, phát biểu lại bài toán mà với cách phát biểu này, bài toán mới hoàn toàn tơng đơng với bài toán ban đầu nhng dới dạng dễ hiểu, cho ta cách giải bài toán tự nhiên và đơn giản.
Việc chuyển đổi cách phát biểu bài toán đa về bài toán tơng đơng bao hàm sự biến đổi đại số hoặc lợng giác, phép thế, ẩn số phụ, bằng cách chuyển đổi từ ngôn ngữ toán học này sang ngôn ngữ toán học khác (đại số, hình học, giải tích, tổ hợp ...).
ở đây chúng tôi quan tâm nhiều đến việc chuyển đổi cách phát biểu bài toán ban đầu sang bài toán mới tơng đơng với nó, bằng cách đặt ẩn phụ, đây cũng là cách thờng gặp khi giải phơng trình.
Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
(x 3 x 2) ( ) m x 2(x 3) 1 0 x 3
+
− + + − + =
− (1)
Lời giải cha đúng:
Điều kiện: x∈ −∞ − ∪( ; 2] (3; + ∞) Đặt ( ) x 2 2 ( ) ( ) u x 3 u x 3 x 2 x 3 + = − ⇔ = − + − Phơng trình (1) trở thành: u2 +mu 1 0+ = (2) Điều kiện để phơng trình có nghiệm là: m ≥2.
Hai tình huống có thể xảy ra:
Thứ nhất: Học sinh có ý tìm hiểu miền biến thiên của u để từ đó biết
rằng tơng ứng với u nào sẽ có x nhng rất tiếc vì họ đã không giải quyết đợc điều đó cho nên không thiết lập đợc sự tơng ứng.
Thứ hai: Học sinh sẽ không nghĩ đến điều đó, không ý thức đợc quy luật
rằng mỗi x thì tơng ứng vơi một u nhng có thể một u nào đó sẽ không có x nào cả.
Rút cuộc đáp số cũng là m ≥2 nhng muốn giải đúng thì phải bổ sung thêm đoạn sau:
Với u0 > 0 thì ( ) 0 x 2 x 3 u x 3 + − = − ( ) ( ) 2 2 2 0 0 x 3 x 3 x 3 x 2 u x x 6 u 0 > > ⇔ ⇔ − + = − − − = 2 0 2 0 1,2 x 3 1 4u 25 x 1 4u 25 2 x 2 > + + ⇔ ± + ⇔ = = Với u0 ≤0 thì ( ) 0 x 2 x 3 u x 3 + − = − ( ) ( ) 2 2 2 0 0 x 2 x 2 x 3 x 2 u x x 6 u 0 ≤ − ≤ − ⇔ ⇔ − + = − − − = 2 0 2 0 1,2 x 2 1 4u 25 x 1 4u 25 2 x 2 ≤ − − + ⇔ ± + ⇔ = =
Từ hai trờng hợp trên suy ra: Mọi u đều tồn tại x. Bài toán quy về tìm m để ph- ơng trình u2 +mu 1 0+ = (ẩn u) có nghiệm.
Thực ra bài toán trên nếu khắc sâu mối quan hệ giữa ẩn cũ và ẩn mới, làm cho học sinh luôn ý thức tìm điều kiện cho ẩn phụ u khi biết miền xác định của x là (−∞ − ∪; 2] (3; + ∞). Đồng thời ý thức đựoc sự tơng quan giữa tính có nghiệm của phơng trình ban đầu với phơng trình sau khi chuyển đổi, tránh thói quen áp đặt yêu cầu bài toán đối với ẩn ban đầu sang áp dụng cho ẩn phụ thì bài toán trên còn có cách giải khác (dĩ nhiên trong bài toán này việc tìm điều kiện cho ẩn phụ không dễ dàng gì nên chọn cách làm ở trên vẫn hơn).
Việc chuyển đổi cách phát biểu bài toán về bài toán tơng đơng bằng cách đặt ẩn phụ, cần rèn cho học sinh thói quen đặt điều kiện cho ẩn phụ có lập luận, có căn cứ chặt chẽ, tránh đa ra những nhận định về điều kiện của ẩn phụ một
cách cảm tính thiếu cơ sở chặt chẽ nh t 3= x 1+ thì điều kiện là t > 0 vì t là hàm số mũ hay t x 1
x
= + với x > 0 thì t > 0 vì t là tổng của hai số dơng...
Cố nhiên trong các bài toán giải phơng trình, bất phơng trình không chứa tham số thì việc đặt điều kiện đúng cho ẩn phụ chỉ giúp ta loại bỏ trờng hợp vô nghiệm chứ không dẫn đến những sai lầm trong khi giải toán.
Song, đối với những bài toán chứa tham số thì việc đặt đúng điều kiện cho ẩn phụ có tính chất tiên quyết đối với việc giải phơng trình, bất phơng trình đã cho.
Trong trờng hợp này, nếu ta lờ đi việc đặt điều kiện cho ẩn phụ hoặc đặt có điều kiện cho ẩn phụ nhng không chính xác (điều kiện của ẩn phụ quá rộng hoặc quá hẹp) đều dẫn đến việc giải bài toán sai ngay từ bớc đầu khi chuyển đổi bài toán thậm chí bế tắc không tìm ra đợc hớng giải.
Ví dụ 2: Xác định m để phơng trình sau có nghiệm:
( ) 2 x 1( 2 ) ( ) x 12
m 2 2− + −2 m 1 2+ + +2m 6 0− = (3)
Lời giải cha đúng: Đặt t 2= x 12+ . Điều kiện t > 0 (vì t là hàm số mũ). Khi đó phơng trình có dạng:
( ) ( ) 2 ( )
f t = m 2 t− −2 m 1 t 2m 6 0+ + − = (4) Bài toán chuyển về tìm m để (4) có nghiệm t > 0. Xảy ra các trờng hợp sau:
Trờng hợp 1: m 2 0− = ⇔ =m 2
( )4 6t 2 0 t 1 0 3
⇔ − − = ⇔ = − < . Do đó phơng trình vô nghiệm.
Trờng hợp 2: m 2 0− ≠ ⇔ ≠m 2
(3) có nghiệm ⇔ (4) có nghiệm t > 0 Khả năng 1: (4) có một nghiệm t > 0
( ) ( ) ( )
af 0 < ⇔0 m 2 2m 6− − < ⇔ < <0 2 m 3 Khả năng 2: (4) có hai nghiệm t > 0:
2m 12m 11 0 m 12m 11 0 0 m 1 S 0 0 m 1; m 1 m 2 P 0 2m 6 0 m 2 − + − ≥ ∆ ≥ + > ⇔ > ⇔ < − ≥ − > − > −
Do đặt điều kiện cho ẩn phụ cha thật chính xác nên cha thiết lập đợc sự t- ớng ứng giữa t và x, t > 0 chỉ là điều kiện hẹp, bởi thực chất điều kiện cho t phải là t 2≥ nên việc chuyển đổi bài toán ban đầu về bài toán theo ẩn phụ không t- ơng đơng. Vì vậy, làm việc với bài toán trên ẩn phụ không giải quyết đợc vấn đề đặt ra.
Sau khi đặt đúng điều kiện của ẩn phụ t 2≥ thì bài toán chuyển về tìm m để (4) có nghiệm t 2≥ . Không khó khăn khi học sinh giải quyết bài toán mới này cho đáp số 2 m 9< ≤ .
Nếu không ý thức đợc mối quan hệ giữa miền biến thiên của ẩn phụ với miền xác định x của bài toán, lãng quên điều kiện của ẩn phụ thì học sinh sẽ lúng túng khi chuyển đổi bài toán hoặc giữ nguyên yêu cầu bài toán từ ẩn ban đầu áp đặt sang bài toán đối với ẩn phụ tức là chuyển đổi sai bài toán. Chẳng hạn nh ví dụ 3, học sinh lãng quên điều kiện của t nên cho rằng (3) có nghiệm t- ơng đơng với (4) có nghiệm.
Cần làm rõ mối quan hệ hai chiều giữa ẩn và ẩn mới, việc tìm điều kiện cho ẩn mới t= ϕ( )x chính là việc tìm tập giá trị của hàm t= ϕ( )x với mọi x thuộc miền xác định cuả bài toán. Cách vạn năng để tìm tập giá trị của hàm
( )
t= ϕ x là dùng đạo hàm nhng tùy từng bài cụ thể mà ta có thể có cách làm ngắn gọn hơn nh áp dụng các bất đẳng thức cơ bản, tính chất của bất đẳng thức, của hàm số mũ, tam thức bậc hai...
Cần rèn cho học sinh ý thức đợc sự tơng ứng giữa yêu cầu của bài toán ban đầu và bài toán sau khi chuyển đổi.
( )
4 3 2
x +mx + m 5 x− +mx 1 0+ = (5) có 4 nghiệm phân biệt.
Học sinh nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình (5) nên chia cả hai vế của phơng trình cho x , ta đợc:2
2 2 2 1 1 x m x m 5 0 x x + + + + − = ữ ữ
Để tiến hành giải phơng trình học sinh đặt ẩn phụ t x 1 x
= + , điều kiện t ≥2 Đợc: t2 +mt m 5 0+ − = (6)
Vấn đề đặt ra là để (5) có 4 nghiệm phân biệt thì (6) có bao nhiêu nghiệm? Thỏa mãn điều kiện gì?
Học sinh phải nhận thức đợc mỗi x thì tơng ứng với một t nhng ngợc lại thì thế nào?
Với mỗi t thì có thể không có x nào (khi t <2), có thể có một x (khi t = 2), có thể có hai x phân biệt (khi t >2), cơ sở có kết luận này từ việc đặt ẩn phụ t x 1
x
= + (x 0≠ ) ⇔x2 − + =tx 1 0 khi nào có nghiệm, vô nghiệm. Học sinh nắm bắt đợc mối quan hệ tác động qua lại giữa số nghiệm ph- ơng trình (5) và số nghiệm phơng trình (6) không những giải quyết tốt bài toán trên mà còn giải quyết đợc các bài toán nh: Tìm m để phơng trình vô nghiệm, có một nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, có ba nghiệm phân biệt. Đồng thời có thể tổng quát hóa bài toán. Quay trở lại bài toán trên: Học sinh nhận thức đợc sự tơng ứng mỗi nghiệm t của (6) mà t >2 ta đợc hai nghiệm phân biệt của (5). Do đó để (5) có bốn nghiệm phân biệt thì (6) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 sao cho t1 >2 và t2 >2.
Bài toán trở về tìm m để (6) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 sao cho t1 >2 và t2 >2. Phần việc còn lại học sinh giải quyết bài toán cần huy động kiến thức về tam thức bậc hai.
Cần rèn cho học sinh kỹ năng chuyển đổi từ ngôn ngữ thông thờng sang ngôn ngữ toán học
Từ việc phát biểu bài toán bằng ngôn ngữ thông thờng sang phát biểu bài toán bằng công thức, bằng ký hiệu toán học và ngợc lại. Điều này không chỉ cần khi giảng dạy toán phơng trình , cho học sinh thấy đợc sự ứng dụng thực tế của lý thuyết phơng trình trong khoa học và đời sống mà còn giúp học sinh lĩnh hội tốt các phần kiến thức khác, nắm bắt các khái niệm, định lý ở dạng lời và ở dạng công thức toán học.
Việc "phiên dịch" một vấn đề từ ngôn ngữ thông thờng sang ngôn ngữ toán học và ngợc lại, giúp học sinh nắm vững kiến thức hơn đồng thời giúp cho việc hình thành các liên tởng thuận và các liên tởng nghịch ở học sinh.
Thực ra việc rèn học sinh kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ từ ngôn ngữ thông thờng sang ngôn ngữ toán học khi dạy học phơng trình chính là việc làm kết hợp giữa dạy học giải phơng trình và dạy học giải toán bằng cách lập trình.
Theo Nguyễn Bá Kim khâu mấu chốt là dạy cho học sinh biết lập phơng trình xuất phát từ tình huống thực tế của bài toán, cần xoáy vào rèn luyện cho học sinh hai khả năng sau:
- Rèn luyện cho học sinh khả năng phát hiện những hệ thức giữa những đại lợng.
- Rèn luyện cho học sinh khả năng sử dụng những biểu thức chứa biến để biểu thị những tình huống thực tế.
Rèn kỹ năng chuyển đổi cách phát biểu bài toán, cần làm rõ cho học sinh xác định yêu cầu của bài toán trớc và sau khi biến đổi, dựa trên phép biến đổi đó là tơng đơng hay hệ quả.
Ví dụ 4: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
2
x − − =1 x m (7)
Bằng việc chuyển vế và bình phơng hai vế, đa về phơng trình: 2
2mx= −m −1 (8)
Học sinh phải xác định đợc phơng trình (7) có nghiệm không tơng đơng với phơng trình (8) có nghiệm, nghiệm của (7) là nghiệm của (8) nhng ngợc lại
không luôn đúng, vì phép biến đổi là phép biến đổi hệ quả. Nh vậy, ý thức đợc điều này học sinh mới chuyển đổi đúng: Để phơng trình (7) có nghiệm thì (8) phải có nghiệm x≥ −m. Ngoài ra cần rèn cho học sinh kỹ năng chuyển đổi bài toán từ bài toán thuận sang bài toán nghịch và ngợc lại, sự chuyển đổi đó phải đầy đủ và triệt để.
Việc chuyển đổi từ bài toán thuận sang bài toán ngợc và ngợc lại giúp ta giải quyết nhiều bài toán dễ dàng, đơn giản hơn. Nhng cần phải giúp học sinh ý thức đợc sự chuyển đổi đó phải đúng và đầy đủ, nhiều học sinh mắc phải sai lầm khi chuyển đổi do không nắm vững lý thuyết mệnh đề hoặc áp dụng không đúng.
Ví dụ 5: Định m để bất phơng trình sau vô nghiệm:
( ) ( ) 2 ( )
f x = m 1 x+ −2 m 1 x 3m 3 0− + − <
Nhiều học sinh cho rằng: Bài toán ngợc của bài toán trên là "Định m để
( )
f x ≥0 có nghiệm". Họ lý giải phủ định của f(x) < 0 là f x( ) ≥0, phủ định của vô nghiệm là có nghiệm. Họ đã mắc sai lầm về nội dung suy luận khi ghép chúng lại (Bài toán f x( ) ≥0 có nghiệm cho đáp số m > -2, còn bài toán f(x) < 0 vô nghiệm cho đáp số m > 1).