Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phơng trình với phát triển t duy hàm cho học sinh THPT
2.2.1. Rèn kỹ năng vận dụng các dạng phơng trình mẫu
Xét theo quan điểm vận dụng các t tởng chủ đạo của t duy hàm, chúng tôi nhấn mạnh đến việc thiết lập sự tơng ứng giữa tình huống đợc đa ra trong mỗi bài toán phơng trình với tập hợp các dạng phơng trình mẫu học sinh đã đợc học. Đối với đa số bài toán có thuật giải đợc đa ra trong sách giáo khoa thì việc thiết lập sự tơng ứng này đợc thực hiện trực tiếp thông qua hoạt động nhận dạng. Có hai cấp độ thực hiện hoạt động nhận dạng khi khai thác các bài tập loại này:
- Nhận dạng bài toán thông qua thiết lập sự tơng ứng giữa các số hay tham số cho trong bài toán (tham số thực) với các tham số cho trong kiến thức lý thuyết về dạng phơng trình đã học (tham số hình thức).
- Nhận dạng sự chuyển loại của bài toán khi bài toán có chứa tham số dựa theo sự biến thiên giá trị của tham số.
Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phơng trình:
(m2 −1 x m 1 0) + − >
Yêu cầu học sinh xác định đợc dạng bất phơng trình? ax + b > 0
Xác định đợc các hệ số a, b? 2
a m= −1, b m 1= −
Rồi tiến hành thực hiện các bớc giải. Tất nhiên khi xây dựng quy tắc giải cần cho học sinh lập luận có căn cứ trong từng phép biến đổi, để đi đến quy tắc giải cho từng dạng toán nào đó.
Việc học sinh nhận dạng đúng bài toán cần giải là họ đã thiết lập đợc sự tơng ứng giữa bài toán đó với bài toán tổng quát đã có sẵn thuật giải. ở ví dụ trên khi a thay đổi, a nhận giá trị dơng, âm hoặc bằng không thì nghiệm của bất phơng trình cũng thay đổi theo. Nh vậy, là đã tiến hành đánh giá sự biến thiên của giá trị ra khi cho thay đổi giá trị vào.
Ví dụ 2: Cho phơng trình (m 2 x− ) 2 −2 m 1 x m 0( + ) + = (1) a. Giải phơng trình khi m = 3
b. Giải và biện luận phơng trình
- Yêu cầu học sinh xác định dạng phơng trình, các hệ số a, b, c của ph- ơng trình trong trờng hợp m = 3? Cách giải?
- Đa ra những câu hỏi gợi ý nh:
Hỏi: Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai khi nào?
a m 2 0= − ≠
Hỏi: Khi đó cho biết mối quan hệ khi thay đổi giá trị m với số nghiệm của ph-
ơng trình? ' 0
∆ < : phơng trình vô nghiệm ' 0 ∆ = : phơng trình có nghiệm kép ' b x a = − ' 0
∆ > : phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 b' ' a
− ± ∆ =
Nh vậy, sự biến thiên giá trị m dẫn đến sự thay đổi về dấu của biệt thức ∆', điều này kéo theo sự thay đổi về số nghiệm và giá trị nghiệm của phơng trình.
Hỏi: Phơng trình (1) suy biến khi nào? Giải phơng trình trong trờng hợp này?
Sự thay đổi của tham số có thể kéo theo về sự thay đổi về số nghiệm của phơng trình, có thể sự thay đổi của tham số trong một khoảng nào đó không làm thay đổi về số nghiệm mà có thể chỉ thay đổi về giá trị nghiệm.
Bên cạnh việc luyện tập cho học sinh áp dụng thành thạo một quy tắc tổng quát nào đó áp dụng cho mọi bài toán cùng loại, cần lựa chọn một số bài toán dựa vào sự phân tích tính đặc thù riêng có thể giải đợc bằng phơng pháp riêng đơn giản hơn khi áp dụng giải theo quy tắc tổng quát.
Chẳng hạn sau khi học công thức giải phơng trình bậc hai và sau khi cho học sinh luyện tập áp dụng công thức đó, ta cho học sinh giải phơng trình:
Nhiều học sinh giải bằng cách tính ∆' mà không dựa trên nhận xét a b c 0− + = nên x 1, x 3
2 3
= − = −
+ . Hay bài toán giải phơng trình tích:
( )2 2 x 3x 1 0 3 − + = ữ
Có khi học sinh sẽ mở dấu ngoặc, đa phơng trình về dạng bậc hai rồi áp dụng công thức nghiệm mà không thấy ở đây là một phơng trình tích A.B = 0 thì A = 0 hoặc B = 0, để có ngay nghiệm x1 2
3
= và x2 1 3
= − . Những trờng hợp nh vậy nhằm khắc phục thói quen áp dụng máy móc công thức, không làm thay đổi phù hợp với điều kiện mới và rèn luyện t duy linh hoạt cho học sinh.
Các yêu cầu cơ bản khi tiến hành rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng phơng trình mẫu đó là:
- Nắm vững quy tắc giải
- Nhận dạng đúng bài toán có quy tắc giải xác định - Tiến hành giải bài toán theo quy tắc đã học
Nh vậy, nếu phơng trình cho ở dạng mẫu mực, cơ bản học sinh chỉ cần nhận dạng, chọn cách giải ứng với mỗi dạng phơng trình. Nhng có những phơng trình mới chỉ nhìn qua học sinh cha nhìn ra dạng chuẩn mực, thì cần biến đổi đơn giản (có thể) đa về dạng chuẩn mực đã học. Chẳng hạn nh các bài toán ph- ơng trình qui về phơng trình bậc nhất, bậc hai ...
Ví dụ 3: Giải phơng trình:cos2x + 3sin2x = 2
Mới nhìn qua bài toán này hoặc sinh cha nhìn thấy ngay dạng đã học, nh- ng chỉ cần biến đổi lợng giác đơn giản nhờ nhớ lại công thức
cos2a =1 - 2sin2a thì lại có thể đa về dạng đã học.
Cần đa ra những bài toán mà khi giải học sinh không chỉ cần vận dụng một dạng phơng trình mẫu mà phải vận dụng kết hợp các dạng phơng trình mẫu mới giải đợc. Bên cạnh các dạng toán đã có sẵn thuật giải nh SGK đã trình bày, cần hình thành cho học sinh thói quen tự tìm tòi các dạng phơng trình, bất ph-
ơng trình (nếu có thể) từ bài toán cụ thể, đề xuất bài toán tổng quát, xây dựng qui tắc làm, rõ ràng xác định. Vì việc nêu ra tất cả các dạng phơng trình mẫu là điều không thể thực hiện đợc, hơn nữa làm nh vậy sẽ tạo ra ''sức ỳ '' cho học sinh.
Ví dụ 4: Giải phơng trình:
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9
Hớng dẫn học sinh giải:
ở bài toán này, chắc chắn ý định khai triển vế trái, biến đổi đa phơng trình về dạng : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (a ≠ 0), rồi thực hiện giải. Nh vậy học sinh sẽ gặp nhiều khó khăn vì học sinh mới chỉ học giải phơng trình trùng phơng.
- Hãy nhận xét các hệ số có mặt trong các thừa số ở vế trái ? 1 + 7 = 3 + 5 = 8.
- Hãy đa ra cách biến đổi thích hợp để các biểu thức gần nhau hơn!
ở vế trái, ghép các thừa số thứ nhất với thừa số thứ t, thừa số thứ hai với thừa số thứ ba ta đợc: (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) = 9
- Quan sát các thừa số ở vế trái và đa ra cách làm? Đặt t = (x2 + 8x +7), phơng trình trở thành: (t 7 t 15+ ) ( + ) =9 2 t 16 t 22t 96 0 t 6 = − ⇔ + − = ⇔ = − - Hãy làm tiếp tìm x? Khi t =-6 ta đợc x2 + 8x + 6 = 0 x 4 10 x 4 10 = − − ⇔ = − + Khi t = - 16 ta đợc x2 + 8x + 16 = 0 ⇔ = −x 4
Bằng cách trừu tợng hoá các số cụ thể, yêu cầu học sinh đề xuất bài toán tổng quát và xây dựng cách giải dạng toán này?
Bài toán tổng quát: Giải phơng trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e (2)
Với giả thiết a + d = b + c = α
⇔[x2 + (a + d)x + ad][x2 + (b + c)x + bc] = e ⇔(x2 +αx + ad)(x2 + αx + bc) = e
Đặt t = x2 +αx (vì x2 + αx = (x + )2 2 2 Điều kiện t 2
2 4 4 4
α −α ≥ −α ⇒ ≥ −α )
Khi đó (2) ⇔ (t + ad)(t + bc) = e (Đây là phơng trình bậc 2).
Ví dụ 5: Từ việc giải các phơng trình:
a. x4 - 4x3 + 5x2 - 4x + 1 = 0 b. x4 - 2x3 + 5x2 - 2x + 1 = 0
Hớng dẫn học sinh tự đa ra dạng toán tổng quát và xây dựng cách giải cho dạng toán này?
Loại 1: Phơng trình dạng: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (a≠0) (3)
Vì a≠0 nên x = 0 không là nghiệm của (3). Chia cả hai vế của (3) cho x2 ta đợc phơng trình : ax2 + bx + c + b a2 x x+ = 0 ⇔a(x2 + 12 x ) + b(x + 1 x ) + c = 0 Đặt t = x + 1
x (Điều kiện t ≥2). Khi đó (3) trở thành:
a(t2 - 2) + bt + c = 0 ⇔at2 + bt + c - 2a = 0. Đây là phơng trình bậc hai
Loại 2: Phơng trình dạng: ax4 - bx3 + cx2 - bx + a = 0 , (a ≠0) (4) Cách giải tơng tự nh loại 1: Vì a≠0 nên x = 0 không là nghiệm của (4). Chia cả hai vế của (4) cho x2 và đặt t = x - 1
x ta đợc phơng trình 2
at + +bt 2a c 0+ = . Đây là phơng trình bậc hai.
Khi đã xây dựng đợc tờng minh cách giải cho loại toán này thì vịêc áp dụng giải các bài toán cụ thể là không khó khăn. Tuy nhiên là giáo viên chúng ta không dừng lại ở đó mà tiếp tục khai thác, mở rộng dạng toán.
Chẳng hạn giải phơng trình : 16x4 - 32x3 + 8x2 + 8x + 1 = 0. Rõ ràng ph- ơng trình không thuộc dạng phơng trình loại 1 hay loại 2 (hay phơng trình hồi
quy hoặc phơng trình phản hồi quy) nhng có thể bắt chớc cách giải hai loại ph- ơng trình này.
Thật vậy: Vì x = 0 không là nghiệm của phơng trình đã cho nên chia cả hai vế cho x2 ta đợc : (16x2 + 12 x ) - 8(4x - 1 x) + 8 = 0 Đặt t = 4x - 1 x, khi đó phơng trình trở thành: t 2 - 8t + 16 = 0 ⇔t = 4 Trở về giải x ta đợc : x 1 2 2 ± =
Tổng quát hoá dạng toán? Có thể nêu ra cách giải cho dạng toán này đợc không?
Căn cứ vào mối quan hệ giữa các hệ số của phơng trình cụ thể trên 1 16= 2 8 ( ) 32 −
, có thể tổng quát hoá bài toán :
Giải phơng trình ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (abe ≠0) với giả thiết 2
e d ( )
a = b . Yêu cầu học sinh nêu cách giải ? (Đa về phơng trình bậc hai bằng cách đặt t x d )
bx
= + .
Lớp các bài toán có thể tổng quát hoá từ bài toán cụ thể, từ đó xây dựng cách giải tơng ứng cho dạng toán đó là đa dạng và phong phú. Giáo viên cần khích lệ học sinh tự tìm tòi, khám phá, giúp họ lĩnh hội kiến thức một cách chủ động, sáng tạo.