Phương pháp ký hiệu biểu diễn (Symbolic representation) dựa trên việc sử dụng hoàn toàn mô hình trạng thái hữu hạn để biểu diễn một hệ thống. Cách biểu diễn thông thường là sử dụng kết hợp những hàm và toán tử logic gọi là Lược đồ quyết định nhị phân theo bậc(Ordered Binary Decision Diagrams – OBDD). Cách biểu diễn sử dụng OBDD có 3 ưu điểm chính: phù hợp với những lớp các hàm Boolean lớn, phù hợp với yêu cầu đưa ra đảm bảo thứ tự của biến đầu vào, có thể thao tác trực tiếp để hoàn thành tất cả các toán tử Boolean cơ bản một cách có hiệu quả. [2]
Hình 2.4 : Cây quyết định nhị phân theo bậc và OBDD cho (a ∧b)∨(c∧d) với thứ tự a<b<c<d
Một OBDD tương tự như một cây nhị phân quyết định, ngoại trừ cấu trúc của nó là một đồ thị bán liên thông có hướng, không đơn thuần là một cây, và có một sự quy định chặt chẽ thứ tự xuất hiện của các biến khi cây
được duyệt từ gốc tới các lá. Đặc biệt hơn, OBDD biểu diễn một hàm logic f
bằng cách giảm đi từ cây quyết định thứ tự nhị phân một số cấu trúc liên quan (Hình 2.4). Để lấy được giá trị thực tương ứng với một dãy giá trị của các biến trong f, ta phải duyệt cây nhị phân quyết định từ gốc tới các lá. Tại mỗi nút, giá trị của biến tương ứng sẽ quyết định đường đi tiếp theo: hoặc theo con trái hoặc theo con phải nếu giá trị của các nhãn được đánh nhãn là false/true hoặc 0/1. Do đó, cách thể hiện này được gọi là ký hiệu (symbolic), và giải thuật kiểm tra mô hình làm việc thực hiện thông qua biểu diễn ký hiệu được gọi là kiểm tra mô hình ký hiệu. Các giá trị trên cây xuất hiện theo thứ tự bậc tăng dần từ gốc tới các lá. Mô hình OBDD được tinh giảm từ cây nhị phân quyết định bằng cách hợp các nhánh giống nhau trên cây thành một cây đơn, và loại bỏ bất kỳ nút nào có các con trái hoặc phải là giống nhau. (Hình 2.4)
OBDD là một cấu trúc dữ liệu để biểu diễn ký hiệu của các tập trở nên thông dụng cho việc kiểm tra mô hình bởi vì chúng có những đặc tính sau:
¾ Mọi hàm Boolean đều là duy nhất, biểu diễn bằng BDD. Nếu bắt buộc phải chia sẻ các nút BDD, sự tương đương giữa hai hàm có thể được quyết định trong một thời gian hằng số.
¾ Các toán tử Boolean như: phủ định, phép kết nối,…có thể được thực hiện từng phần để giảm tính phức tạp.
¾ Phép chiếu được thực hiện một cách dễ dàng, trong trường hợp xấu nhất độ phức tạp có thể lên tới hàm mũ
Mô hình trạng thái hữu hạn của một hệ thống có thể biểu diễn dưới dạng OBDD như trên. Mỗi trạng thái được mã hoá bằng một phép gán các giá trị logic cho tập các biến tương ứng của hệ thống. Quá trình xử lý này được thực hiện hoàn toàn trong suốt với người sử dụng bằng các công cụ hỗ trợ
phương pháp ký hiệu biểu diễn. Chuyển quan hệ có thể diễn giải bằng các hàm Boolean dưới dạng hai tập các biến, một tập để mã hoá trạng thái hiện thời, và một tập để mã hoá trạng thái mới.
Tiếp cận theo phương pháp ký hiệu biểu diễn tránh được việc xây dựng biểu đồ trạng thái của hệ thống. Do đó, vấn đề không còn là kích cỡ của không gian trạng thái mà chính là kích cỡ của cách thể hiện OBDD. Trong những trường hợp thông thường nó có khả năng xác thực các hệ thống với quy mô lớn nhưng không toàn diện trên tất cả không gian trạng thái.
Các giải thuật dựa OBDD chưa thể thay thế hết các giải thuật khác vì nó không thể hoàn thành tốt trong mọi trường hợp. Trên thực tế, kích cỡ của OBDD chủ yếu dựa vào bậc của biến. Vấn đềở đây là tìm ra bậc hoặc thứ tự
mà trả về cây tối thiểu là một bài toán NP đầy đủ. Có một số các heuristic đã
được phát triển để tìm ra một thứ tự biến tốt nếu thứ tựđó tồn tại. Tuy nhiên có rất nhiều các hàm Boolean có kích cỡ là hàm mũ với mọi bậc của biến.
