CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP MƠ PHỎNG MONTE CARLO VÀ PHẦN MỀM MƠ PHỎNG VẬN CHUYỂN BỨC XẠ MCNP
2.1. PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO
2.1.1. Giới thiệu:
Mơ phỏng bằng phương pháp Monte Carlo là phương pháp mơ phỏng trên máy tính, dựa vào việc phát sinh các số ngẫu nhiên. Phương pháp này thường được sử dụng nghiên cứu các quá trình ngẫu nhiên của hệ thống. Phương pháp Monte Carlo hay cịn gọi là phương pháp thử thống kê cung cấp những lời giải gần đúng cho các bài tốn bằng cách thực hiện các thí nghiệm lấy mẫu thống kê sử dụng số ngẫu nhiên.
Phương pháp Monte Carlo đã cĩ từ rất lâu. Việc sử dụng phương pháp Monte Carlo cĩ từ năm 1873 khi giá trị hằng số tốn học Pi được tính bằng thực nghiệm. Nhưng về mặt lịch sử, thì phương pháp Monte Carlo được xem ra đời vào năm 1949 khi mà Nicolas Metropolis và Stan Ulam cơng bố cơng trình đầu tiên của họ trình bày vấn đề này một cách cĩ hệ thống. Trong vài thập niên gần đây nhờ cĩ sự phát triển của máy tính điện tử và các kỹ thuật tính nĩ mới trở thành một phương pháp số được phát triển đầy đủ, cĩ khả năng áp dụng để giải quyết những vấn đề phức tạp trong khoa học và cơng nghệ.
Trong rất nhiều ứng dụng của phuơng pháp Monte Carlo, quá trình vật lý được mơ phỏng trực tiếp, và khơng cần viết ra các phương trình vi phân mơ tả phản ứng của hệ. Yêu cầu là hệ vật lý (hay hệ tốn học) đĩ phải được mơ tả bằng những hàm xác suất. Bây giờ chúng ta giả sử rằng phản ứng của một hệ được mơ tả bằng hàm mật độ xác suất; khi hàm mật độ xác suất được biết, mơ phỏng Monte Carlo cĩ thể được thực hiện bằng cách lấy mẫu ngẫu nhiên từ hàm mật độ xác suất. Nhiều “phép thử” được lặp đi lặp lại và kết quả kỳ vọng nhận được bằng cách lấy trung bình trên số các sự kiện quan sát được (cĩ thể là một số quan sát đơn lẻ hoặc cĩ thể hàng triệu các quan sát,…). Trong nhiều ứng dụng thực tế, ta cĩ thể dự đốn sai số thống kê “phương sai” của kết quả trung bình này, và do đĩ dự đốn được số phép thử Monte Carlo cần thiết để đạt được một sai số cho trước.
Ngày nay quá trình tương tác của photon và electron được biết rất tốt, thơng tin về những dữ liệu tiết diện tương tác đã được cập nhật đầy đủ và do đĩ đã tạo tiền đề cho việc sử dụng phương pháp mơ phỏng Monte Carlo trog việc giải quyết các bài tốn vận chuyển bức xạ hình thành và phát triển.
2.1.2. Đặc trưng của phương pháp Monte Carlo
Tính đúng đắn của phương pháp Monte Carlo phụ thuộc vào một số yếu tố như: luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm, số ngẫu nhiên.
Định lý giới hạn trung tâm mơ tả cách ước lượng Monte Carlo tiến đến giá trị thực. Theo lý thuyết, ước lượng Monte Carlo luơn phân bố chuẩn quanh giá trị thực của bài tốn khi N lớn. Độ lệch chuẩn của việc tính tốn Monte Carlo khi đĩ được cho bởi căn bậc hai của phương sai chia cho N . Kết quả này quan trọng cho việc đánh giá chính xác tiến trình mơ phỏng Monte Carlo .
Luật số lớn phát biểu rằng ước lượng phương pháp Monte Carlo của tích phân khi sử dụng n số ngẫu nhiên sẽ hội tụ về giá trị thực của tích phân khi n đủ lớn.
b a n 1 i f(x)dx a b 1 ) n ( f n 1 ( 2.1)
Vế trái của phương trình (2.1) là ước lượng Monte Carlo của tích phân cịn vế phải là tích phân thực của hàm giữa a và b. Định lý này rất quan trọng do nĩ xác định các kết quả tính tốn Monte Carlo như những ước lượng phù hợp. Do đĩ, hai tính tốn Monte Carlo lý tưởng cần tạo ra cùng một ước lượng (trong sai số thống kê). Các kết quả được cho bởi phương trình trên cĩ thể ngoại suy tới hàm nhiều biến.
Vì phương pháp Monte Carlo sử dụng các số ngẫu nhiên nên điều quan trọng ở phương pháp này tạo ra các số ngẫu nhiên phân bố đều trên khoảng (0, 1) và cĩ mật độ xác suất bằng 1. Cĩ nhiều phương pháp tạo ra tập số ngẫu nhiên: phương pháp biến đổi ngược, phương pháp chấp nhận – loại bỏ, phương pháp đồng dư tuyến tính… Trong đĩ phương pháp đồng dư tuyến tính được dùng phổ biến nhất trong nhiều ngơn ngữ lập trình C, Fortran…Đồng thời cũng là phương pháp chính được sử dụng trong chương trình MCNP.
2.1.3. Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo
Ngày nay với sự phát triển của máy tính điện tử tốc độ cao đã làm cho phương pháp Monte Carlo được sử dụng phổ biến trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau:
- Trong lĩnh vực khoa học xã hội: tốn kinh tế, phân luồng giao thơng, nghiên cứu sự phát triển dân số…
- Trong lĩnh vực khoa học kĩ thuật: Thiết kế lị phản ứng, che chắn bức xạ, điều trị ung thư bằng bức xạ, sắc động lực học lượng tử…