2.1. Định lý (định lý tổ hợp nghiệm)
Giả sử y1 và y2 là nghiệm trên I của phương trình thuần nhất y" + p(x)y' + q(x)y = 0.
Khi đĩ
y3 = c1y1 + c2y2 (với c1 và c2 là các hằng số) cũng là nghiệm trên I của phương trình này. Chứng minh .
Do y1 và y2 là nghiệm của phương trình , nên với mọi x thuộc I ta cĩ : ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ // / 1 1 1 // / 2 2 2 y (x)+p(x)y (x)+q(x)y (x)=0 y (x)+p(x)y (x)+q(x)y (x)=0
Nhân hai vế của phương trình trên cho c1 và nhân hai vế của phương trình dưới cho c2, rồi cộng vế , ta được
// // ⎡⎣ / / ⎤⎦ ⎡⎣ ⎤⎦
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
c y (x)+c y (x)+p(x) c y (x)+c y (x) +q(x) c y (x)+c y (x) =0. Suy ra y (x)+p(x)y (x)+q(x)y (x)=0//3 /3 3
Vậy y3 là nghiệm của phương trình vi phân.
2.2. Độc lập tuyến tính
2.2.1. Định nghĩa độc lập tuyến tính
Xét hai hàm số y1 và y2 xác định trên I.
− Hai hàm số y1 và y2 được gọi là độc lập tuyến tính trên I nếu và chỉ nếu (∀c1, c2∈ \, ∀x ∈ I, c1y1(x) + c2y2(x) = 0) ⇒ ( c1 = 0 ∧ c2 = 0 )
− Hai hàm số y1 và y2 được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu chúng khơng độc lập tuyến tính.
2.2.2Định lý
Cho y1 là hàm số liên tục và luơn khác 0 trên I, v là hàm số trên I và khơng là hàm hằng . Giả sử y2(x) = v(x) y1(x), ∀x ∈ I
Chứng minh Coi c1, c2 là các hằng số tùy ý.
Giả sử c1y1(x) + c2y2(x) = 0 , ∀x ∈ I Khi đĩ, với mọi x ∈ I ta cĩ
c1y1(x) + c2v(x) y1(x) = 0 y1(x) [c1 + c2v1(x)] = 0 c1 + c2v(x) = 0 ( do y1(x) ≠ 0 ) Nếu c2≠ 0 thì v(x) = 2 1 c c
− , điều này vơ lý vì v khơng là hàm hằng. Do đĩ c2 = 0. Suy ra c1 = 0.
Vậy y1 và y2 độc lập tuyến tính.
2.2.3.Định nghĩa hàm số Wronski
Giả sử y1, y2 là hai hàm khả vi trên I.
Hàm số Wronski của y1 và y2 ( ký hiệu W(y1, y2)) được định nghĩa là hàm số xác định trên I và cĩ biểu thức
W(y1, y2) (x) = / /
1 2 1 2
y (x)y (x)-y (x)y (x), ∀x ∈ I. Nếu sử dụng ký hiệu định thức thì 1 2 1/ 2/ 1 2 y (x) y (x) W(y ,y )(x)= y (x) y (x) hay / 1 1 1 2 / 2 2 y (x) y (x) W(y ,y )(x)= y (x) y (x) . 2.2.4. Định lý vềđộc lập tuyến tính
Giả sử y1, y2 là nghiệm trên I của phương trình vi phân y" + p(x)y' + q(x)y = 0
Khi đĩ, hai hàm số y1, y2 độc lập tuyến tính trên I nếu và chỉ nếu ∃xo∈ I , W(y1, y2) (xo) ≠ 0
Chứng minh – Giả sử tồn tại xo∈ I thỏa W(y1, y2) (xo) ≠ 0
Coi c1, c2 là hai hằng số tùy ý sao cho c1y1(x) + c2y2(x) = 0 với mọi x∈ I. Lấy đạo hàm hai vế ta được c1 / /
1 2 2
y (x)+c y (x)=0 với mọi x∈ I. Ta cĩ hệ hai phương trình bậc nhất với ẩn là c1 và c2 như sau :
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ 1 1 o 2 2 o / / 1 1 o 2 2 o c y (x )+c y (x )=0 c y (x )+c y (x )=0
Nhân hai vế phương trình trên cho y x2/( )o , nhân hai vế phương trình dưới cho y2(xo), rồi trừ vế ta được ( / / ) 1 o 2 o 1 o 2 o 1 y (x )y (x )-y (x )y (x ) c =0 ⇒ W(y ,y )(x ).c =01 2 o 1 ⇒ c1 = 0 . Tương tự, ta tìm được c2 = 0. Vậy y1, y2 độc lập tuyến tính.
– Giả sử ( bởi phương pháp phản chứng) rằng W(y1, y2) (x) = 0 với mọi x∈ I. Ta sẽ chứng minh y1, y2 phụ thuộc tuyến tính.
Nếu y1(x) = – y2(x) với mọi x ∈ I thì y1 và y2 phụ thuộc tuyến tính, ta khơng cần chứng minh tiếp. Sau đây ta xét trường hợp tồn tại xo∈ I thỏa y1(xo) ≠ –y2 (xo).
Đặt y3=c1y1+c2y2 , với c1 = y2(xo) và c2 = – y1(xo). Do nguyên lý tổ hợp nghiệm thì y3 là nghiệm của phương trình y" + p(x)y' + q(x)y = 0. Mặt khác, ta cĩ
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ . 3 o 1 1 0 2 2 0 2 0 1 0 1 0 2 0 / / / / / o 1 0 2 0 2 o o 1 o o 1 2 0 3 1 2 1 2
y (x )=c y (x )+c y (x )=y (x )y (x )+(-y (x ))y (x )=0,
y (x )=c y (x )+c y (x )=y (x )y (x )-y (x )y (x )=-W(y ,y )(x )=0
Do đĩ y3 là nghiệm của bài tốn ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ o o
y"+ p(x)y'+ q(x)y=0, y(x )=0, y'(x )=0.
Ta thấy hàm hằng y ≡ 0 cũng là nghiệm của bài tốn.
Suy ra y2(xo) y1(x) + (– y1(xo)) y2(x) = 0 với mọi x ∈ I, trong đĩ hằng số y2(xo)≠ 0 hay (– y1(xo))≠ 0 ( do hai số này khác nhau).
Do đĩ y1, y2 phụ thuộc tuyến tính. Định lý đã được chứng minh.
2.3. Định lý về nghiệm tổng quát
Xét phương trình vi phân cấp hai thuần nhất y" + p(x)y' + q(x)y = 0 trong đĩ các hàm số p, q liên tục trên I.
Giả sử y1, y2 là hai nghiệm của phương trình vi phân và độc lập tuyến tính trên I. Khi đĩ, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là
y = c1y1 + c2y2, trong đĩ c1, c2 là các hằng số.
Chú thích:
• Nghiệm y = c1y1 + c2y2 , với c1 và c2 là các hằng số, được gọi là nghiệm tổng quát vì hai tính chất sau đúng:
a) Mọi hàm số cĩ dạng y = c1y1 + c2y2 đều là nghiệm của phương trình vi phân, trong đĩ c1 và c2 là các hằng số tùy ý.
b) Mọi nghiệm y = y(x) của phương trình vi phân đều cĩ dạng y = c1y1 + c2y2, trong đĩ c1, c2 là các hằng số.
• Hai nghiệm độc lập tuyến tính y1, y2 được gọi là hai nghiệm cơ sở. • Khơng gian gồm tất cả các nghiệm là một khơng gian 2 chiều.
Chứng minh định lý − Xét hàm số cĩ dạng y = c1y1 + c2y2 với c1 và c2 là các hằng số.
Áp dụng định lý tổ hợp nghiệm 2.1, ta cĩ y là nghiệm của phương trình vi phân. − Coi Φ là một nghiệm tùy ý của phương trình vi phân.
Ta sẽ chứng minh Φ cĩ dạng y = c1y1 + c2y2 với c1 và c2 là các hằng số. Hai hàm y1, y2 độc lập tuyến tính nên theo định lý 2.2.4 thì tồn tại xo∈ I thỏa W(y1, y2) (xo) ≠ 0 ⇔ y y (x )-y (x )y (x )¹0/ /