5. TỔNG QUAN VỀ MỘT HỆ ĐỒ HỌA
4.2.2. Các tính chất hữu ích trong việc thiết kế các đường cong B-Spline
i/ Các đường B-Spline cấp m là các đa thức riêng phần cấp m. Chúng là các Spline do chúng cĩ m-2 cấp đạo hàm liên tục ở mọi điểm trong giá mang của chúng.
Các hàm B-Spline cấp m tạo thành một cơ sở cho bất kỳ Spline nào cĩ cùng cấp được định nghĩa trên cùng các nút. Các Spline cĩ thể được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các B-Spline.
ii/ Hàm trộn B-Spline Nk,m(t) bắt đầu ở tk và kết thúc ở tk+m . Giá mang của nĩ là [tk,tk+m]. Giá mang của họ các hàm Nk,m(t) với k=0,...L là khoảng [t0,tm+L].
iii/ Một đường cong B-Spline đĩng dựa trên L+1 điểm kiểm sốt cĩ thể được tạo ra bằng cách dùng phương trình đường B-Spline tuần hồn sau:
P(t) = k L = ∑ 0 Pk.N0,m((t-k) mod (L+1))
Với giả thiết các nút cách đều nhau trong định nghĩa của hàm N0,m(...).
iv/ Nếu dùng vector chuẩn thì đường cong B-Spline sẽ nội suy các điểm kiểm sốt đầu tiên và cuối cùng. Các hướng khởi đầu và kết thúc của đường cong đĩ sẽ nằm dọc theo các cạnh đầu tiên và cuối cùng của đa giác kiểm sốt.
v/ Mỗi hàm B-Spline Nk,m(t) là khơng âm ∀t, và tổng các họ hàm bằng 1:
k L = ∑ 0 Nk,m(t) = 1 ∀t ∈ [t0 , tm+L ]
vi/ Các đường cong dựa trên các B-Spline là bất biến Affine. Do đĩ, để biến đổi một đường cong B-Spline, chỉ cần biến đổi các điểm kiểm sốt, sau đĩ khởi tạo lại đường cong từ các điểm kiểm sốt đã được biến đổi này.
vii/ Một đường cong B-Spline sẽ nằm trong bao lồi của các điểm kiểm sốt
Mạnh hơn: Ở bất kỳ t nào, chỉ cĩ m hàm B-Spline là khác 0. Vì vậy, ở mỗi t đường cong phải nằm trong bao lồi của hầu hết m điểm kiểm sốt kích hoạt kế nhau. (Các điểm kiểm sốt kích hoạt là các điểm mà tại đĩ hàm B-Spline khác 0)
viii/Độ chính xác tuyến tính của đường cong B-Spline: Nếu m điểm kiểm sốt kề nhau là tuyến tính cùng nhau thì bao lồi của chúng là một đường thẳng. Do đĩ đường cong cũng sẽ trở thành đường thẳng.
ix/ Tính chất giảm độ biến thiên: Số giao điểm giữa đường cong B-Spline với bất kỳ một mặt phẳng nào (nếu cĩ) luơn luơn nhỏ hơn số giao điểm (nếu cĩ) giữa đa giác kiểm sốt của nĩ với mặt phẳng đĩ.