N (4.2.34) Xét thí dụ về tín hiệu năng lượng hữu hạn
4.2.12Tính đối ngẫu giữa thực tế và toán học.
Ta đã khảo sát các công cụ phân tích tần số sau: 1. Chuỗi Fourier dùng cho tín hiệu liên tục, tuần hoàn.
2. Biến đổi Fourier dùng cho tín hiệu liên tục, không tuần hoàn. 3. Chuỗi Fourier dùng cho tín hiệu rời rạc, tuần hoàn.
4. Biến đổi Fourier dùng cho tín hiệu rời rạc không tuần hoàn.
Hình 4.27 tóm tắt các công thức phân tích và tổng hợp các dạng tín hiệu trên. Ta đã thấy là có hai đặc tính trong miền thời gian nhằm xác định dạng phổ tín hiệu, đó là biến thời gian liên tục hay rời rạc, và tín hiệu tuần hoàn hay không tuần hoàn. Ta có tóm tắt sau
Tín hiệu liên tục theo thời gian có phổ không tuần hoàn.
Khi xem xét kỹ các công thức phân tích chuỗi Fourier và biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn, thì không cho thấy tính tuần hoàn trong miền phổ. Thiếu sót tính chu kỳ là hẹ quả của việc hàm mũ phức exp(j2πFt) là hàm của biến thời gian liên tục t, nên không tuần hoàn trong F. Do đó, tầm tần số của tín hiệu liên tục từ F = 0 đến F = ∞.
Tín hiệu rời rạc có phổ tuần hoàn.
Chuỗi Fourier và biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc đều tuần hoàn với chu kỳ ω = 2π. Do tính tuần hoàn này, nên tầm tần số của tín hiệu rời rạc là hữu hạn, từ ω = –π đến ω =π radian, với ω = π tương ứng với tốc độ dao động lớn nhất có thể.
Tín hiệu tuần hoàn có phổ rời rạc.
Tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier. Các hệ số chuỗi Fourier cung cấp các “vạch ” tạo nên phổ rời rạc. Các đường vạch cách nhau ∆F hay ∆f bằng với nghịch đảo của Tp hay N, trong miền thời gian. Tức là, ∆F = 1/Tp khi tín hiệu là liên tục tuần hoàn và ∆f = 1/N khi tín hiệu rời rạc.
Tín hiệu không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn có phổ liên tục.
Đặc tính này là hệ quả của cả X(F) và X(ω) là hàm của exp(j2πFt) và exp(jωn) là hàm liên tục của các biến F và ω. Tính liên tục của tần số là cần thiết để làm gãy tính hài hòa, và tạo nên các tín hiệu không tuần hoàn.
Tóm lại, ta có thể kết luận là tính tuần hoàn với ‘chu kỳ” α trong một miền
sẽ tự động tạo sự rời rạc với “khoảng” là 1/α trong miền khác, và ngược lại.
Nếu ta nhớ lại là “chu kỳ” trong miền tần số là tầm tần số, “khoảng cách” trong miền thời gian là chu kỳ lấy mẫu T, khoảng cách vạch trong miền tần số là ∆F, nên α = Tp tạo 1/α = 1/Tp= ∆F;α = N tạo ∆f = 1/N, và α = Fs tạo T = 1/Fs.
Xem xét kỹ hình 4.27 cũng cho thấy tính đối xứng và đối ngẫu của nhiều quan hệ phân tích tần số. Đặc biệt, ta thấy có tính đối ngẫu giữa các phương trình phân tích và tổng hợp sau:
1. Các phương trình phân tích và tổng hợp của biến đổi Fourier liên tục theo thời gian.
2. Các phương trình phân tích và tổng hợp của biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian.
3. Phương trình phân tích của chuỗi Fourier liên tục theo thời gian và phương trình tổng hợp của biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian.
4. Phương trình phân tích của biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian và phương trình tổng hợp của chuỗi Fourier liên tục theo thời gian.
Chú ý là đặc tính đối ngẫu chỉ khác nhau ở dấu của hàm mũ trong hàm mũ phức tương ứng. Điều thú vị là thay đổi này có thể tạo phép gấp tín hiệu trong miền thời gian hay phổ, do
e−j2πFt =ej2π(−F)t =ej2πF(−t)
Ngoài ra, ta đã dùng từ phổ mật độ năng lượng cho tín hiệu không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn, và phổ mật độ công suất cho tín hiệu không tuần hoàn. Điều này phù hợp với việc tín hiệu tuần hoàn là tín hiệu công suất còn tín hiệu không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn là tín hiệu năng lượng.