- Vào workbench NC Manufacturing Review và kích chuột
2.3 Nội dung của phương pháp phần tử hữu hạn
Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số đặc biệt có
hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền
xác định V của nó. Tuy nhiên phương pháp phần tử hữu hạn không
tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn bộ miền V mà chỉ trong từng miền con Ve (phần tử) thuộc miền xác định V. Do đó, phương
pháp này rất thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và kĩ thuật
trong đó hàm cần tìm được xác định trên những miền phức tạp
gồm nhiều vùng nhỏ có được tính hình học, vật lý khác nhau, chịu
những điều kiện biên khác nhau. Phương pháp ra đời từ trực quan
quát như một phương pháp biến phân hay phương pháp dư có
trọng số nhưng được xấp xỉ trên mỗi phần tử.
Để giải một bài toán biên trong miền xác định V, bằng phép
tam giác phân, ta chia thành một số hữu hạn các miền con Ve (e = 1,..., n) sao cho hai miền con bất kì không giao nhau và chỉ có thể chung nhau đỉnh hoặc các cạnh.
Mỗi miền con Ve được gọi là một phần tử hữu hạn (phần tử hữu
hạn).
Người ta tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên ban đầu trong một
không gian hữu hạn chiều các hàm số thoả mãn điều kiện khả vi
nhất định trên toàn miền V và hạn chế của chúng trên từng phần tử
hữu hạn Ve là các đa thức. Có thể chọn cơ sở của không gian này
gồm các hàm số ψ1(x),..., ψn(x) có giá trị trong một số hữu hạn
phần tử hữu hạn Ve ở gần nhau. Nghiệm xấp xỉ của bài toán ban
đầu được tìm dưới dạng:
c1ψ1(x) + ... + cnψn(x)
Trong đó các ck là các số cần tìm. Thông thường người ta đưa
việc tìm các ck về việc giải một phương trình đại số với ma trận
thưa (chỉ có các phần tử trên đường chéo chính và trên một số
đường song song sát với đường chéo chính là khác không) nên dễ
giải. Có thể lấy cạnh của các phần tử hữu hạn là đường thẳng hoặc
pháp phần tử hữu hạn có thể dùng để giải gần đúng các bài toán biên tuyến tính, phi tuyến và các bất phương trình.
Thông thường với bài toán cơ vật rắn biến dạng và cơ kết cấu
tùy theo ý nghĩa vật lý của hàm xấp xỉ, người ta có thể phân tích
bài toán theo 3 dạng mô hình sau:
Trong mô hình tương thích:
Người ta xem chuyển vị là đại lượng cần tìm trước và hàm xấp
xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phân tử.
Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình được thiết lập trên cơ
sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng, hay nguyên lý biến phân
Lagrange.
Theo mô hình cân bằng:
Hàm xấp xỉ được biểu diễn dạng gần đúng phân bố của ứng suất
hay nội lự trong phần tử. Các ẩn số được xác định từ hệ phương
trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý năng lượng hệ toàn phần dừng
hay nguyên lý biến phân về ứng suất (Nguyên lý Castigliano).
Theo mô hình hỗn hợp:
Coi các đại lượng chuyển vị ứng suất là 2 yếu tố độc lập. Các
hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phân tử. Các ẩn số được xác định từ hệ phương
trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Reisner.
Sau khi tìm được các ẩn số bằng việc giải một phương trình đại
diễn đại lượng cần tìm trong tất cả các phần tử. Và từ đó cũng tìm