Vì bộ cân bằng thích ứng bù cho kênh truyền chưa biết và thay đổi theo thời gian, nó đòi hỏi thuật toán cụ thể để cập nhật các hệ số bộ cân bằng và lần theo sự thay đổi kênh truyền. Đã có nhiều thuật toán thích ứng các hệ số bộ lọc. Phát triển các thuật toán thích ứng này rất phức tạp. Phần này mô tả một vài thuật toán bộ cân bằng, và đặc điểm chính của ba thuật toán cơ bản cho cân bằng thích ứng. Mặc dù các thuật toán trong phần này áp dụng cho bộ cân bằng ngang, tuyến tính, nhưng chúng cũng có thể mở rộng cho những cấu trúc bộ cân bằng khác, bao gồm cả những bộ cân bằng phi tuyến.
Hiệu suất của thuật toán được đánh giá theo các chuẩn sau :
• Tốc độ hội tụ : là số lần lặp lại cần thiết của thuật toán, với ngõ vào không thay đổi, hội tụ đến gần đúng giải pháp tối ưu. Tốc độ hội tụ nhanh cho phép thuật toán thích ứng nhanh môi trường tĩnh chưa được thống kê. Hơn nữa, nó cho phép thuật toán lần theo thay đổi có tính thống kê khi hoạt động trong môi trường không ổn định.
• Độ mất điều chỉnh : thông số này cung cấp phép đo định lượng tổng số giá trị cuối cùng của trung bình bình phương sai số, trung bình toàn bộ các bộ lọc thích ứng, phương sai của trung bình bình phương sai số nhỏ nhất tối ưu.
• Độ phức tạp tính toán : là số phép tính cần thiết để hoàn thành vòng lặp của thuật toán.
• Các đặc tính số : Khi một thuật toán thực hiện bằng số, sai số sẽ xuất hiện vì làm tròn nhiễu, và sai số đặc trưng trong máy tính. Các loại sai số này ảnh hưởng đến tính ổn định của thuật toán.
Trong thực tế, giá phải trả cho việc tính toán, công suất budget, và đặc tính truyền vô tuyến chi phối việc lựa chọn cấu trúc bộ cân bằng và giải thuật cho nó. Trong các ứng dụng vô tuyến cầm tay, công suất pin tại thuê bao được xem xét hơn cả, như thời gian đàm thoại cần phải đạt tối đa. Các bộ cân bằng chỉ được thực hiện nếu chúng có thể cho phép tăng mối liên kết đồng thời đảm bảo năng lượng và giá cả.
Các đặc tính kênh truyền vô tuyến và thiết bị thuê bao sử dụng cũng là vấn đề then chốt. Tốc độ di chuyển của di động xác định tốc độ fading kênh truyền và trải Doppler, ảnh hưởng trực tiếp đến thời gian phù hợp của kênh truyền. Việc lựa chọn thuật toán và tốc độ hội tụ tương ứng của nó, phụ thuộc vào tốc độ dữ liệu kênh truyền và thời gian phù hợp.
Độ trải trễ thời gian kỳ vọng tối đa của kênh truyền quyết định số khối sử dụng trong việc thiết kế bộ cân bằng. Bộ cân bằng chỉ có thể cân bằng trên khoảng trễ nhỏ hơn hoặc bằng độ trễ tối đa trong cấu trúc bộ lọc. Ví dụ, nếu mỗi thành phần trễ trong bộ cân bằng cho phép trễ 10µs, và bộ cân bằng sử dụng bốn thành phần trễ tạo thành bộ cân bằng năm khối, do đó độ trải trễ tối đa có thể cân bằng thành công là 4x10µs = 40µs. Truyền trải trễ đa đường vượt quá 40µs không thể cân bằng. Vì độ phức tạp mạch điện và thời gian xử lý tăng theo số khối và các thành phần trễ, do đó biết được số tối đa các thành phần trễ là rất quan trọng trước khi lựa chọn một cấu trúc bộ cân bằng và thuật toán của nó.
8.1. Giải thuật đưa về zero
Trong bộ cân bằng đưa về zero, các hệ số bộ cân bằng cn được chọn sao cho tại tất cả các mẫu của kênh truyền kết hợp và đáp ứng xung bộ cân bằng là zero ngoại trừ một trong những điểm mẫu cách nhau NT trong đường trễ của bộ lọc. Bằng cách cho số hệ số tăng không giới hạn, ta sẽ có được bộ cân bằng chiều dài không xác định không có ISI. Khi mỗi thành phần trễ có độ trễ thời gian bằng chu kỳ ký tự T, đáp ứng tần số Heq(f) của bộ cân bằng là tuần hoàn có chu kỳ bằng tốc độ ký tự 1/T. Đáp ứng kết hợp của kênh truyền có bộ cân bằng phải thỏa mãn tiêu chuẩn đầu tiên của Nyquist.
Hch(f).Heq(f) = 1, |f| < 1/2T (27) với Hch(f) là đáp ứng tần số của kênh truyền gấp lại. Do đó, bộ cân bằng ISI, zero, chiều dài không xác định đơn giản là một bộ lọc nghịch đảo của đáp ứng tần số kênh truyền gấp lại.
Giải thuật đưa về zero áp dụng cho thông tin cáp. Bộ cân bằng đưa về zero có khuyết điểm là bộ lọc đảo có thể khuếch đại nhiễu quá mức tại những tần số mà phổ kênh truyền gấp lại bị suy giảm cao. Bộ cân bằng đưa về zero vì thế bỏ qua tác dụng của nhiễu nói chung, và thường không sử dụng cho các liên kết vô tuyến.
8.2. Giải thuật trung bình bình phương nhỏ nhất
Bộ cân bằng mạnh hơn là bộ cân bằng LMS mà tiêu chuẩn sử dụng là cực tiểu hóa trung bình bình phương sai số (MSE) giữa ngõ ra mong muốn của bộ cân bằng và ngõ ra bộ cân bằng thực tế.
Trong hình sau sai số dự đoán là :
ek = dk – dÂk = xk – dÂk (28) và từ (9) ek = xk – ykTk = xk - kT yk (29) lỗi e Tín hiệu vào k y 0k w cập nhật các trọng số wnk 2k -1 1k w w k-1 y z cân bằng Ngõ ra bộ k + - k k d được cài bằng x hoặc biết trước đặc tính
Nk
w
z-1 z-1
thuật toán thích ứng
Bộ cân bằng tuyến tính cơ bản
Để tính trung bình bình phương sai số |ek|2 tại thời điểm k, bình phương phương trình (11) thu được :
= E [ ek* ek ] (30)
Giải thuật LMS tìm cực tiểu trung bình bình phương sai số cho trong phương trình (30).
Với đường truyền cụ thể, sai số dự đoán ek độc lập đối với vector độ lợi N, vì thế MSE của bộ cân bằng là hàm theo N. Đặt hàm giá trị J(N) là trung bình bình phương sai số là hàm của vector độ lợi N. Để cực tiểu hóa MSE, cho đạo hàm ở phương trình (31) bằng zero:
( )ω =−2 +2 =0 ω ∂ ∂ ωN NN N N N R p J (31) Rút gọn phương trình (31) ta được : RNNâN = pN (32)
Phương trình (32) là kết quả kinh điển, gọi là phương trình chuẩn, do đó sai số được cực tiểu hóa và trực giao (chuẩn hóa) với hình chiếu của tín hiệu mong muốn xk. Khi phương trình (32) thoả mãn, MMSE của bộ cân bằng là:
Jopt = J(âN) = E [ xkxk* ] – pNTâN (33) Để thu được vector độ lợi tối ưu âN, phương trình chuẩn (32) phải được giải lặp đi lặp lại để bộ cân bằng hội tụ đến giá trị nhỏ chấp nhận được của Jopt. Có nhiều cách để làm việc này, và nhiều biến thể của thuật toán LMS được xây dựng dựa trên việc giải phương trình (33). Một kỹ thuật rõ ràng là tính:
â = R-1
NNpN (34) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ưu điểm của phương pháp này giải trực tiếp phương trình (34) là chỉ yêu cầu N ký tự ngõ vào để giải phương trình chuẩn. Vì vậy, chuỗi huấn luyện dài là không cần thiết.
Trong thực tế, việc cực tiểu hoá MSE được thực hiện đệ qui bằng cách sử dụng thuật toán
stochastic gradient. Thường được gọi là giải thuật trung bình bình phương sai số nhỏ nhất (LMS). Giải thuật LMS là giải thuật cân bằng đơn giản nhất và chỉ cần 2N+1 phép toán mỗi vòng lặp. Các trọng số bộ lọc được cập nhật bởi các phương trình cập nhật cho ở dưới đây. Biến n là chuỗi những phép lặp, LMS được tính lặp đi lặp lại như sau:
dÂk(n) = NT(n)yN (n)
ek(n) = xk(n) – dÂk (n) (35)
N(n+1) = N(n) – ek*(n)yN (n)
với chỉ số N là số tầng trễ trong bộ cân bằng, và là kích thước nấc điều khiển tốc độ hội tụ và tính ổn định của giải thuật.
Bộ cân bằng LMS làm tăng tối đa tỉ số tín hiệu trên nhiễu tại ngõ ra bộ cân bằng. Nếu tín hiệu vào có đặc tính tán xạ thời gian lớn hơn nhiều độ trễ truyền qua bộ cân bằng, thì bộ cân bằng sẽ không thể làm giảm độ méo dạng. Tốc độ hội tụ của thuật toán LMS chậm vì chỉ có một thông số, kích thước nấc , điều khiển tốc độ thích ứng. Để tránh bộ cân bằng không ổn định, giá trị được chọn trong khoảng :
∑= = λ < α < N i i 1 2 0 (36) với i là eigenvalue thứ i của ma trận RNN. Vì :
( ) ( )n y nyT N yT N N N i i = λ ∑ −1
kích thước nấc có thể được điều khiển bằng tổng công suất ngõ vào để tránh mất ổn định trong bộ cân bằng.
8.3. Giải thuật đệ quy bình phương nhỏ nhất
Tốc độ hội tụ của thuật toán LMS dựa trên gradient rất chậm, đặc biệt khi eigenvalue của ma trận sai biệt ngõ vào RNN trải rất lớn, nghĩa là maz / min >>1. Để đạt được độ hội tụ nhanh hơn, các giải thuật phức tạp đòi hỏi thêm những thông số khác. Các giải thuật có độ hội tụ nhanh hơn dựa trên kỹ thuật bình phương nhỏ nhất, đối lập với kỹ thuật thống kê sử dụng trong giải thuật LMS. Đó là, độ hội tụ nhanh dựa trên phép đo sai số biểu diễn trung bình thời gian tín hiệu thu được thực tế thay vì trung bình thống kê. Giải thuật đệ quy bình phương nhỏ nhất (RLS) giúp cải thiện độ hội tụ của bộ cân bằng thích ứng.
Sai số bình phương nhỏ nhất dựa trên trung bình thời gian được định nghĩa là:
( ) ∑ ( ) ( ) = − λ = n i i n e i n ei n n J 1 * , , (37)
với là hệ số trọng số gần bằng 1, nhưng nhỏ hơn 1, e*(i,n) là liên hợp phức của e(i,n), và sai số e(i,n) là:
e( i,n) = x(i) – yT
N(i)N(n) 0 i n (38)
và yN(i) = [y(i),y(i-1),……,y(i-N+1)]T (39)
với yN(i) là vector dữ liệu vào tại thời điểm i, và N(n) là vector độ lợi mới tại thời điểm n. Do đó, e(i,n) là sai số sử dụng độ lợi mới tại thời điểm n để kiểm tra dữ liệu cũ tại thời điểm i, và J(n) là sai số bình phương lũy tích của những độ lợi mới trên tất cả dữ liệu cũ.
Cách giải RLS là cần tìm vector độ lợi của bộ cân bằng N(n) để sai số bình phương lũy tích J(n) được cực tiểu hóa. Nó sử dụng tất cả dữ liệu trước đó để kiểm tra những độ lợi mới. Thông số là hệ số gán trọng số dữ liệu, đo độ tĩnh của dữ liệu mới trong việc tính toán, vì thế J(n) có khuynh hướng bỏ qua dữ liệu cũ trong môi trường không ổn định. Nếu kênh truyền tĩnh, có thể gán bằng 1.
Để đạt được cực tiểu sai số bình phương nhỏ nhất J(n), gradien của J(n) trong phương trình (37) bằng zero. ( )=0 ω ∂ ∂ J n N (40) Sử dụng phương trình (38) –(40), rút ra RNN(n)âN(n) = pN(n) (41)
với âN là vector độ lợi tối ưu của bộ cân bằng RLS.